А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 77

Пусть м: Т' 3(0")- Т есть вложение. Построим отображение спектров Н~(Т,.)-~Н~(Т,.), где Т Т"3(0~, а в-'(а'), в-': Ыч!Ть -~СоФ Т сопоставляет каждому а его прообраз на Т при вложении ы. Рассмотрим вложение !»"„, ' '; Т„-1<...-«.т„; тогда зйездй етнд»мент»льиыа <кощиклы повеэхноствн взт О~На(Х»М) ~Н (Х ) " 6~™Н ~(~Щ ' Н„,[Х) — » О Ясно, что 1т!»чьО, и так как б!тб 1, то 1т1,=6, т. е.

ф, — моиоморфизм. Так как то1»(Х»)>чо1»(Х»~,0), то Х»'~0 ен е Н„(А, 1., 0), т. е. существует 1ыН»,(А), 1чьО, такой, что а, (1) ~ О, но так как (), (1) =.О, то ф,а, (1) = О, что противоречит мономорфности ф» Случай (1) доказан. Рассмотрим случай (2). Пусть Х»ен Н»(А, 1„0'), где 1,~ с Н„, (А), Е' ~ О, и предположим, что существует Г я Н„(Х»), Г ~ О, такой, что 1, (Г) = О, где 1,: Н» (Х») -»- Н» (М) индуцирован вложением. В силу леммы 32.1.! существует диск 0=0'»Г) с= с=Х~~,(А(.)2~) такой, что Г ~1т), и Соб)т(1т1») 1в Н,(Х,), 1: Х»'~0- Х» — вложение.

Тогда существует разложение в прямую сумму векторных подпространств Н„(Х,) О (Х! 1т („где одномерное подпространство О натянуто на вектор 1'. Пусть а — произвольный элемент из Ь', ать О, Тогда а=( (ф), где ф ен Н»(Х») ф )»1'+ф', ф'~0 (иначе а ц,(Г) 0) и ф'ен1т1,. Отсюда получаем, что а 1, (ф) = 1,„(ф'1 (11), (ф"), ф" ~ Н»(Х»",0), т. е. Ь' с 1т (11) „, н Х»',Р ы Н» (А, О, Ь'). Докажем, что, более того, Х»",Рви Н,(А, Ь, Е'). Рассмотрим коммутативную диаграмму: 11.ВЮ '" 1„(,Г,) ' ~ '»,Н„,(Х,Н) Р 1Р„(Х,) )'.

Г Фе Н (И) 1(а»Щ 81 (з») Т,, ие принадлежит образу Т кмь т. е. ~ 1т «(Т„-мяо), откуда 1 ~ 1т е» . Итав, 1' ~!т1,. Из диаграммы следует, что 1т1, =О, а так как Йй1~0 1, то 1т(,=б,т. е. Н»(Х»)=69 Н»(Х»",О), что и требовал ь. Лемма доказана. Доказательство теоремы 32,1.1. Сначала мы рассмотрим случай (1).

Положим Н А () Х, где Е Я» есть множество сингулярных точек в 5». Тогда в силу теоремы 7.2.1 имеем то1»(Х)=0.' Так как по предположению Н»(А) О, то ясно, что Н»(Н) 0 (это следует, например, из леммы 19.А в 135! и ее. следствий). Пусть Х»ен Н,(А, Ь, 0), 1.чьО, 1.с-Н»,(А), и предположим, чтосуществует Г ен Н»(Х,), 1'чь 0: В силу леммы 32.1,1 существует диск 0 0'(Г) такой, что 1' ~ 1т1„где 1: Х,' Р- -« Х» — вложение, Рассмотрим коммутативную диаграмму: 328 минимкльныа поввохиости в влоикционных кл»сс»х 6 гл в Здесь Ц ~1ш»р, Как и при доказательствеслучая 1), пол ем, что р„— мономорфизм, а тогда ф, (Е) О. т.

е. Хв 0 ен евН,(А, Ц Е'), что невозможно ввиду неравенства чо(»(Х~',Р) .-. ( чо1„(Х,). Теорема доказана. В формулировке теоремы 32.1.1, очевидно, нельзя отдаваться от предположения Н»(А) О, так как в противном фучае на компакте-границе А могли бы оседать нетривиальные циклы. Нельзя отказаться и от предположения, что группа коэффициентов теории гомологий является одномерным векторным простран-' ством над некоторым полем. В самом деле, положим, например, 6= 5'= Р(шод1) (окружность) и докажем существование минимальной поверхности Х,вн Н,(А, Ц 0), обладающей не только нетривиальной группой Н»(Х„5'), но и реализующей нетривиальный цикл в многообразии М.

Рассмотрим М З»хмР'», где РР" — вещественное проективное пространство, и положим А = РРьп с=У,Р™ Х,. Ясно, что Х» ы Нч (А, Б», 0) и Х» ЯвлЯетсЯ глобально минимальной поверхностью в многообразии М, однако поверхностью Х, реализует подгруппу Е'чьО, Е'=У» с= Н„(М, Б»). 32.2. Точная минимальная реализация и точная минимальная заклейка.

С точки зрения минимальных реализаций представляет интерес следующий вопрос: в каких случаях можно реализовать фиксированную подгруппу с помощью глобально минимальной поверхности, группа гомологий которой изоморфна реализуемой подгруппе? Другими словами, в каких случаях минимальная поверхность реализует больше циклов, чем их содержится в выбранной ранее подгруппе, а в каких случаях поверхность реализует ровно столько циклов, сколько было выбрано заранее? Пусть сд,„=Н,((1), О, Е'), Е'~0, Е'енН„(М), положим чо1(Е')=д»((?), О, Е'), и пусть Е(с: Ц, Ц/ЦчьО. Верно ли, что чо)»(Е,')с чо!,(Ц), т.

е, что с уменьшением количества циклов в подгруппе Е' строго уменьшается и объем подгруппы, т. е, число чо1,(Е')? Элементарные примеры показывают, что в общем случае это утверждение неверно, т. е. бывают случаи, когда чо1» (Е',) чо1, (Ц). Однако легко доказывается следующее утверждение.

Предложение 32.2.1. Пусть М вЂ” компактное гладкое риманово многообразие, 0 — одномерное векторное пространство над некоторым полем Р. Тогда любая подгруппа Е' ~ О, Е' ~ Н„(М, б), содержит такую подгруппу Е', что йш Е' — йш Е' = 1 и чо!»(Е')< (чо1»(Е'). Более того, если О =Н (А, Ц Е'), где Е'~0, Н»(А, О) О, йше0=1, товсегда суп(ествует подгруппа Е' с: Е', йшЕ' — дина'=1, такая, что д»(А, Ц Е'))с(»(А, Е, Еъ). Доказательство предложения 32.2.1 аналогично доказательству теоремы 32.1,1, поэтому мы не будем останавливаться на повторении этих рассуждений, Из предложения 32.2,1 вытекает след- ечндьментьльныв ~когциклы поверхностен заз стен пусть выполнены все предположения предложения 32.2,1; пуст ' ~ Н,(М, 6) — произвольная подгруппа.

Тогда существуег убывающий ряд подгрупп Е' =Е,' ~ Е,':э... ~ Ен такой, что ЙтЕ»-(.б(тЦ+~ =1 при 0(р~У вЂ” 1, гВтЕн=! и чо)»(Е»)) '= чо!»(~'+,). О п р ч де л е и и е 32.2.1. Будем говорить, что подгруппа Е' ~ Н»(М) допускает точную минимальную реализацию, если существует минимальная поверхность Хр ен Н ((!), О, Е') такая, что вложение О Хр-~ М индуцирует изоморфизм 1: Н»(Х») <ь«Е', Простые примеры показывают, что существуют такие подгруппы Е' ы Н„(М), которые ие допускают (в данной римановой метрике) точную минимальную реализацию.

Более того, такие подгруппы составляют «большинство» среди всех возможных подгрупп в Н„(М), В то же время в каждом конкретном примере всегда удается не только указать подгруппы Е', допускающие точную минимальную реализацию, но и составить из ннх аддитивный базис в группе Н,(М). Оказывается, это является отражением некоторого общего факта, который мы сейчас докажем.

В дальнейшем через (а,,, „а„) будем обозначать подгруппу, порожденную элементами а„..., а ен Н» (М). П редл о же н не 32.2.2. Пусть М вЂ” компактное гладкое замкнутое риманово многообразие, пусть группа О ковффициеюпов теории гомологий является группой е,, где рчьО, р — простое число, г б(т Н» (М, е,„). Тогда, если г ) 1, то в группе Н»(М, Х ) существует базис е„..., е, такой, что: (1) чо1, (е~) (чо1»(Н» (М)) при любом ! и чо)»(е~) (чо!»(е,, ..., е,) при 1)1; (2) все одномерные подгруппы (е,), 1(1(г, допускают точную минимальную реализацию; (3) если элемент аен Н,(М, Е ) имеет вид а= ~,' а, е~, где все а, отличны от нуля, то »»' чо)»(а)~тахчо!»)е~ ), 1«-.р~в.

ои Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 32.2.1. Как и в случае предложения 32.2.1, справедливо более общее утверждение: пусть М вЂ” компактное замкнутое риманово многообразие, О=Я, р — простое, А ~ М вЂ” фиксированный компакт-граница такой, что Н„(А, 6) =О, и пусть Нр(А, Е, Е')~ф, где Е'~0, Ес=Н,,(А, б), г=а)тх Е'.

Тогда, если г ~ 1, то в подгруппе Е' можно выбрать базисе„... ..., е, такой, что: 1) а»(А, Е„(ет))<й»(А, Е, Е'), 1(1'ч~г; й»(А, Е, (еф(й»(А, Е, (е„..., е,)) ~й»(А, Е, Е') при !' 1; 2) существуют минимальные поверхности Хн~Н,(А, Е, (е,)) такие, что (1т Нр(Хы)) П Е' (ет) при вложении поверхностей Хрт ЗЗО минимлльныз повзгхности в вьгияционных классах в М; 3) если авиа н п ~', а, е!, где а! чьО, 1 ~р то йь(А, 1„(сс»)» /пах йь(А, х„(е! )). /' ! ~р~з / Определение 32.2.2. Пусть А ~М вЂ” фиксирсванйый компакт-граница '(контур). Мы скажем, что подгруппа ЕАьО, Ьс: ~ Н,,(А), допускает точную минимальную заклейку, еслй существует минимальная поверхность Хь ен Н (А, 1., 0) такая, что /!ь(Хь, А)=Л Как и в случае точной реализации, точная минимальная заклейка возможна для небольшого класса подгрупп, однако, оказывается, нз таких подгрупп можно выбрать аддитнвный базис в группе гомологий.

Сб!значим через чо!ь(Ь) число й„(А, Ь, 0) н сформулируем следующее сбщее утверждение. П редл о же н не 32.2.3. Пусть М вЂ” компактное гладкое гам. «нутое романово многообразие, С Хю рным и р — проапое число, А с-М вЂ” фиксированный компакт-граница (контур) пикой, что Нь(А, С) О, и пусть |чьО, Ьс=Нь !(А,С), 1<б!щ1,=с<со, Н (А, Л, 0)чь(1!. Тогда в подгруппе 7. можно выбрать базис е!, ..., е, такой, что: (1) чо1,(е~»~чо1ь(Ь) при каждом 1 и чо!ь (е~»( чо1! (е!, ..., ет» ~ то!ь (Ц, 1(! ~ г; (2) существуют минимальные поверхности Хы ен Н, (А, (е~», 0) такие, ипо Ьь(Хвм А)()Ь (в/»; 1ч-)ч-г; (3) если иена, ычьО и а ~', а! е!, а! чьО, 1~ры;.в, то то!ь(и».и: и!ах чаев! !», р 1 !ч,гС! Если положить Е Н! !(А), то тогда базис е„..., е, допускает точную минимальную заклейку. Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 32.2.2.