А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 76

Полученное противоречие доказывает существование номере йЕ(а) для любого а. Отметим, что геометрический смысл проведенных выше рассуждений заключается в том, что последовательность минимальных поверхностей 5», не может сходиться к поверхности, из которой вырастали бы длинные и тонкие »усы», не влияющие в пределе на поведение функции плотности Ч",. Итак, из последовательности Х„можно выбрать подпоследоватальность Х такую, что 8" 8'(Х ) ~(4 для любого номера Ф зц докАз»тельство ГлОБАльнон минимАльности заз п, »х-»-оо. Обозначим эту подпоследовательность (с») ~ (а» снова через (и) и отметим важное обстоятельство: поскольку исходная последовательность ие подвергалась '5-перестройкам в размерности й (в отличие от М-процесса), то сохраняется нетронутым основное соотнои:ение чо!».»(Х,~,,5~)-+4,, » ( сю.

Применим к последовательности Х„М-процесс такой, что на первом шаге этого процесса мы повторим построение функции Ч'»!(х„!. Тогда мы получим множество А () 5', вокруг которого накапливаются 5„". На втором и на всех последующих шагах выполним М-процесс произвольным образом. В результате получим компакт Х'(М) ~ Ю такой, что А 05» = Х' (М), чо!» (Х'",А)=чо(» (Х'",А) чо1» (5»)=»(»(ОО. Далее, Х'(М) ~5»-'(М) н чо!»,(Х' 4») чо(»»(Х»-'',Х») = = чо1»»(5»-') =7»,(ос, где число Х»» определено М-процессом и можно считать, что Х», построено по системе окрестностей У„'.

Из доказательства лемм 30.2.1, 30.2.2, шаг 2, немедленно следует, что подмножество 5'-'(М) с= Х'(М) удовлетворяет всем требованиям пункта (2) теоремы 7.2.1. Так как чо(», (Х„~,5~) ~ это!»,(Х„'~У„'), то чо1»»(Х„'~5~) ~ а~ ' и 1!т чо1»,(Х„~,5.')~ л сю 11ш»»'„-', т. е. »(»)А»». С другой стороны, поскольку л ю Х» я (Х)„то А»» — — чо!», (Хэ'~,7(») )»(»,, т. е. »(»» — — »л». Итак, компакт Х»(М)~(Х)» „т. е. мы доказали, что (Х)»»чьф.

Г!усть теперь Х ~ (Х)», — произвольный компакт из этого класса. Как и при доказательстве первого пункта, выделим в Х компакт А () 5», определенный однозначно. Тогда чо1„,(Х',А'~5») =»1»»( л- оо и можно рассмотреть последовательность компактов Х„"' эм Х, и 1, 2, 3,;... и построить функцию плотности Ч'»,(~х*ч на , л М',А'~5». Далее, рассмотрим 5»-» с М',А",5», 5»-» = (Р ен я М',А",5» ,'Ч», (Р) >О), и применим к последовательности Х," М-процесс, что даст нам некоторый компакт У(»(М) такой, что А()5»95'-'~ХПХ'(М) и множества А, 5", 5»-' входят в разложение компакта Х'(М), определяемое М-процессом. Из доказательства леммы 30.1А, шаг 2, следует, что чо1»»(5»-») =Х»» —— »,»,(М)<со.

Так как Х»(М)енО, то чо!»»(Х",А",5»)= = чо!»»(5"-') м=»(»,, т, е. Х», )и»,. С другой стороны, если У вЂ” открытая окрестность А () 5», то чо1», (Х»", У) ( ~чо1»,(Х»~,А~,5»), т. е.е~ '~чо1»,(Х",А",5»)=чо!»,(Х', ',А'~5») = »(»». Отсюда Х»»<б~ », т. е. »1»»=Х»». Поскольку 5»-'~Х» (М), то в силу лемм 30.2.! и 30.2.2 получаем, что 5"-' с= Х удовлетворяет всем требованиям пункта (2) теоремы 7.2.1.

Пункт 2доказан. Продолжая теперь описанные выше рассуждения в меньшие размерности, мы и получаем доказательство теоремы 7.2.1. 324 миним»льныв повгвхностн в в»»мационных класс»х О [гл!'е 31.2. Доказательство теоремы о совпадении наименьщмго стратифнцированного объема с наименьшим Х-вектором в вариацнонном классе. В действительности мы уже фактически докввалн теорему 29.5.1 в процессе доказательства теоремы 7.2.1.

В частности, мы доказали, что й,=1,, при 3«-в =й и что каждый компакт Х ~ (Х), является результатом некоторого М-процесса. То обстоятельство, что вектор (й», й» м ..., й») — наименьший в лексикографическом упорядочении, также следует из доказательства теоремы 7.2.1. Итак, теорема 29.5.1 доказана. В теоремах 7.2.1 и 29.5.1 утверждается существование глобально минимальной во всех размерностях поверхности в каждом 2-устойчивом классе У (»ъ).

Однако относительными минимальными свойствами обладают также и все компакты Х'(М), полученные при произвольном М-процессе. Более точно, Х» (М) = А () 5» () ()5»-'()...Ц5», где чо(,(5») 1,, и 7»,=!п!чо!,(Х",Х»'»), Хан ядф) н Х»Х"'. В самом деле, если бы существовал компакт Х такой, что Х=эХ"' и чо1,(Х',Х"»)СЕ,— е, е)0, то выполнялось бы неравенство чо(, (Х,У) < чо1,(Х',Х"') (Х, — е для любой открытой окрестности У = У (Х'"), т.

е. ь»'„ч Е, — е, к,(ь, — е, что невозможно. Итак, с геометрической точки зрения это означает, что пленка 5' является глобально минимальной поверхностью в абсолютном смысле, если рассматривать только такие компакты Х, которые содержат Х'+', т. е. при условии фиксации в многообразии М компакта-«контура» Х'+'. й 32. Фундаментальные (ко)циклы глобально минимальных поверхностей.

Точная реализация и точная заклейка 32.1. Теорема о фундаментальных (ко)циклах. Пусть Н',"'— обычная теория (ко)гомологий, непрерывная и относительно инварнаитная на категории компактных пар (построение таких теорий см. выше). Рассмотрим произвольный вариационный класс Ю = =Н(А, Е, Е'), где 3(й~п — 1, п=пипМ, Ес=.Н'~» ~п(А), 1.' ~ Н»~' (М). Как было доказано выше, класс У является (й — 1)-устойчивым. Ясно также, что все М-процессы сводятся здесь только к осуществлению первого шага в размерности й, т.

е, А()5»=Х», 5«=ф при З~сс =.й — 1. Кроме того, так как й»Соо, то любой М-процесс в классе О конечен. Пусть Х»вя еи Н (А, Е, Е') — глобально минимальная поверхность, тогда а!гп Х,=й. Теорема 32.1.1. Пусть М вЂ” компактное гладкое риманово многообразие, А ~ М вЂ” фиксированный компакт-«контур», «1-группа козффициентов теории гомологий Н,.

Пусть 0 — векторное пространство над некоторым полем Р и б!шгб !. 5 3»! Фунд»мент»лъные (когцнклы повеехностен 325 Предположим, чпю в компакте-«контуре» А нет й-мерных циклов, т. е.'~ что Н„(А, О) =0; например, пусть йт А =й — 1, где 3 ~й'б= и — 1. Тогда мы утверждаем, что: (1)(ели Хо ~ Н„(А, 1., 0), йт Х, = я, — глобально минимальная поверхиость, где йс= Й»,(А, О) и 1.~0, то Н,(Х„0)-0; (2) ечли Хо ~ Н, (А, 1„Ь'), б!т Х, — — Ф, — глобально минима ь- ная поверхность, где 1: с Н»(М, О), Е' чь О, то гомоморфизм 1о: Н»(Х», О)- Н„(М, О), где 1: Х,- -М вЂ” вложение, является мономорфизмом.

3 а м е ч а и и е. Эта теорема имеет прозрачный геометрический смысл. В случае (1) мы утверждаем, что если контур-граница А не содержит й-мериых циклов, то минимальная пленка заклеиваю- щего типа (заклеивающая А) не содержит к-мерных циклов, т. е. устроена наподобие «многообразия с краем А». В случае (2) оказывается, что минимальность пленки реализующего типа влечет за собой минимальность ее й-мерных гомологий: ни один я-мерный цикл не аннулируется при вложении Х- М, т.

е. каждый ее цикл участвует в минимизации й-мерного объема. Доказательство теоремы опирается на следующую лемму. Лемма 32.1.!. Пусть Х,— метрический компакт размерно- сти й, Х, ~ Я, где Я вЂ” некоторый подкомпа«т. Пусть группа 0 «овффициентов пгеории гомологий является векторным простран- ством над некоторым полем с и д!те0=1, Н»(Я, 0)=0, и пусть Хо'~Р— открытое топологичгское я-меркое многообразие. Пусть Г ен Н„(Хы О), Г ~0. Тогда существует открытый диск Р= Р'(1') с Хо'~Н такой, что если 1»: Н»(Х»"Я)-+Н»(Х»)— еомоморфизм, индуцированный вложением, то выполняются утвер- ждения: (1) ! — мономорфизм; (2) Сойт (1т 1 ) 1 в группе Н»(Х„0); (3) 1' ~1т1».

Доказательство. Рассмотрим следующую диаграмму: Н,,(Х„',Р) Н»(5») ' 1.', О Н„(Х,) -' Н„(Х„Н) 1ь Н, (Х,я) с,' а„ т„ О Н,(Х;,Р)' Н,(Х; Р, П) -'" Н,((Х.)Н) .!(Р)) 0 где Р=Р' — некоторый открытый диск в Хо' 1«, 1: Хо-~- Х»11« — проекция, х ~(Я), 5» =Хо!(Х»~,Р) (напомним, что Н,(А, В)= =Н„(А)В)), 1» и 1: — изомоРфизмы, Положим 1=1»<Р„(Г), тогда 1Ф О. ПУсть Т Хо!Р. ДопУстим, что нам Удалось найти диск((Р) с с Т,х, что 14!то»о.

Тогда Г ф !т1„. Итак, мы свели задачу к изучению компакта Т, который является топологическим мно- зяб минимзльныв повзэхностн в влэиацнонных классах и . в гообразием всюду, кроме одной точки х. Введем на Т какую, либо метрику г(. Группа Нз(Т) является обратным пределом сцектрв групп Н„(Т ), где аелОл'Т, а Т„-нерв покрытия а. Тзк как А йт Т, то в множестве Сот! Т можно выбрать конфи!)альков подмножествоСочгТ, состоящее из конечных покрытий кратности, не превосходящей Й, диаметры которых стремятся к нулю. Это означает, что нервы Т„аевСот!Т, являютсяконечным!(симплициальными комплексами, йт Т„«- 'и, Так как ! Ф О, то существует элемент аз епСоч! Т такой, что представитель ! †элеме (, ен еп Нз(Т, ) †отлич от нуля.

Пусть У я ае является элементом покрытия а„, где х ен У и Т',У + ф (можно считать, что покрытие а, взято уже достаточно мелким). Пусть и ев Т,„есть вершина, соответствующая Узна«. Рассмотримоткрытый шар В(х, г) такой, что В (х, г) с У, и пусть е > 0 выбрано так, что В (х, г+ з) с У. Построим конечное покрытие к компакта Т",В(х, г) открытыми множествами ((0), гомеоморфными диску 0=0'. Пусть ц)0— число Лебега покрытия и, $=~п(п(з, т!), $)0. Впишем в ае покрытие а, так, чтобы а,ыСоФ Т н йат(а)(5. Тогда существует гомоморфизм л",'.

Нз(Т,)- Нз(Т,), причем существует !а~ е= Нз (Ти,), (ч, чь 0 такой~ что пав ((а,) (а«. Пусть Саг 1ч~ носитель элемента (,„в нерве Т~. Тогда, так как йшТч, Ф, отношение гомологичности в А-мерных цепях неподвижно, а потому существует однозначно определенный набор симплексов Ьз в Т, иа которые и оседает цепь ~,„,. Для вершин з из Саг (,„возможны два варианта расположения в Т: 1) 5ПВ(х, г) Ф ф для любой вершины з~Саг)ч,; 2) существует вершина з,яСагг©, такая, что 5„сТ",В(х, г), здесь 5 = 5 (з). Разберем случай !). Так как 5 П В (х, г) чй ф, то 5 с с:В(х, г+е), поскольку б(ат(а,)«-$(е, а тогда и подавно 5 с У.

Это означает, что все вершины з ен Саг)„, содержатся в У. Отобразим Т«„в Т„, следующим образом: все ве(1)пины зев Саг(,„, отобразим в и я Т „а остальные вершины з' я Саг(„, отобразим произвольно по включению. Так как гомоморфизм ф: Н,(Т„) -«-Нз(Т,) ие зависит от выбора симплициального отображения по включению Т„, -«-Т, то ~р ((„,) * („„ф = ю4,'. С другой стороны, <р((,„,) О, т. е, (ч,=О, что противоречит выбору этого элемента. Итак, в действительности реализуется случай (2). Так как 5, с с Т',В(х, г) и б(ат 5о<йаш(а ) С$<п, то 5е целиком содержится в некотором открытом диске г(0') покрытия и (см. выше).