Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 76

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 76 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 76 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 76 - страница

Полученное противоречие доказывает существование номере йЕ(а) для любого а. Отметим, что геометрический смысл проведенных выше рассуждений заключается в том, что последовательность минимальных поверхностей 5», не может сходиться к поверхности, из которой вырастали бы длинные и тонкие »усы», не влияющие в пределе на поведение функции плотности Ч",. Итак, из последовательности Х„можно выбрать подпоследоватальность Х такую, что 8" 8'(Х ) ~(4 для любого номера Ф зц докАз»тельство ГлОБАльнон минимАльности заз п, »х-»-оо. Обозначим эту подпоследовательность (с») ~ (а» снова через (и) и отметим важное обстоятельство: поскольку исходная последовательность ие подвергалась '5-перестройкам в размерности й (в отличие от М-процесса), то сохраняется нетронутым основное соотнои:ение чо!».»(Х,~,,5~)-+4,, » ( сю.

Применим к последовательности Х„М-процесс такой, что на первом шаге этого процесса мы повторим построение функции Ч'»!(х„!. Тогда мы получим множество А () 5', вокруг которого накапливаются 5„". На втором и на всех последующих шагах выполним М-процесс произвольным образом. В результате получим компакт Х'(М) ~ Ю такой, что А 05» = Х' (М), чо!» (Х'",А)=чо(» (Х'",А) чо1» (5»)=»(»(ОО. Далее, Х'(М) ~5»-'(М) н чо!»,(Х' 4») чо(»»(Х»-'',Х») = = чо1»»(5»-') =7»,(ос, где число Х»» определено М-процессом и можно считать, что Х», построено по системе окрестностей У„'.

Из доказательства лемм 30.2.1, 30.2.2, шаг 2, немедленно следует, что подмножество 5'-'(М) с= Х'(М) удовлетворяет всем требованиям пункта (2) теоремы 7.2.1. Так как чо(», (Х„~,5~) ~ это!»,(Х„'~У„'), то чо1»»(Х„'~5~) ~ а~ ' и 1!т чо1»,(Х„~,5.')~ л сю 11ш»»'„-', т. е. »(»)А»». С другой стороны, поскольку л ю Х» я (Х)„то А»» — — чо!», (Хэ'~,7(») )»(»,, т. е. »(»» — — »л». Итак, компакт Х»(М)~(Х)» „т. е. мы доказали, что (Х)»»чьф.

Г!усть теперь Х ~ (Х)», — произвольный компакт из этого класса. Как и при доказательстве первого пункта, выделим в Х компакт А () 5», определенный однозначно. Тогда чо1„,(Х',А'~5») =»1»»( л- оо и можно рассмотреть последовательность компактов Х„"' эм Х, и 1, 2, 3,;... и построить функцию плотности Ч'»,(~х*ч на , л М',А'~5». Далее, рассмотрим 5»-» с М',А",5», 5»-» = (Р ен я М',А",5» ,'Ч», (Р) >О), и применим к последовательности Х," М-процесс, что даст нам некоторый компакт У(»(М) такой, что А()5»95'-'~ХПХ'(М) и множества А, 5", 5»-' входят в разложение компакта Х'(М), определяемое М-процессом. Из доказательства леммы 30.1А, шаг 2, следует, что чо1»»(5»-») =Х»» —— »,»,(М)<со.

Так как Х»(М)енО, то чо!»»(Х",А",5»)= = чо!»»(5"-') м=»(»,, т, е. Х», )и»,. С другой стороны, если У вЂ” открытая окрестность А () 5», то чо1», (Х»", У) ( ~чо1»,(Х»~,А~,5»), т. е.е~ '~чо1»,(Х",А",5»)=чо!»,(Х', ',А'~5») = »(»». Отсюда Х»»<б~ », т. е. »1»»=Х»». Поскольку 5»-'~Х» (М), то в силу лемм 30.2.! и 30.2.2 получаем, что 5"-' с= Х удовлетворяет всем требованиям пункта (2) теоремы 7.2.1.

Пункт 2доказан. Продолжая теперь описанные выше рассуждения в меньшие размерности, мы и получаем доказательство теоремы 7.2.1. 324 миним»льныв повгвхностн в в»»мационных класс»х О [гл!'е 31.2. Доказательство теоремы о совпадении наименьщмго стратифнцированного объема с наименьшим Х-вектором в вариацнонном классе. В действительности мы уже фактически докввалн теорему 29.5.1 в процессе доказательства теоремы 7.2.1.

В частности, мы доказали, что й,=1,, при 3«-в =й и что каждый компакт Х ~ (Х), является результатом некоторого М-процесса. То обстоятельство, что вектор (й», й» м ..., й») — наименьший в лексикографическом упорядочении, также следует из доказательства теоремы 7.2.1. Итак, теорема 29.5.1 доказана. В теоремах 7.2.1 и 29.5.1 утверждается существование глобально минимальной во всех размерностях поверхности в каждом 2-устойчивом классе У (»ъ).

Однако относительными минимальными свойствами обладают также и все компакты Х'(М), полученные при произвольном М-процессе. Более точно, Х» (М) = А () 5» () ()5»-'()...Ц5», где чо(,(5») 1,, и 7»,=!п!чо!,(Х",Х»'»), Хан ядф) н Х»Х"'. В самом деле, если бы существовал компакт Х такой, что Х=эХ"' и чо1,(Х',Х"»)СЕ,— е, е)0, то выполнялось бы неравенство чо(, (Х,У) < чо1,(Х',Х"') (Х, — е для любой открытой окрестности У = У (Х'"), т.

е. ь»'„ч Е, — е, к,(ь, — е, что невозможно. Итак, с геометрической точки зрения это означает, что пленка 5' является глобально минимальной поверхностью в абсолютном смысле, если рассматривать только такие компакты Х, которые содержат Х'+', т. е. при условии фиксации в многообразии М компакта-«контура» Х'+'. й 32. Фундаментальные (ко)циклы глобально минимальных поверхностей.

Точная реализация и точная заклейка 32.1. Теорема о фундаментальных (ко)циклах. Пусть Н',"'— обычная теория (ко)гомологий, непрерывная и относительно инварнаитная на категории компактных пар (построение таких теорий см. выше). Рассмотрим произвольный вариационный класс Ю = =Н(А, Е, Е'), где 3(й~п — 1, п=пипМ, Ес=.Н'~» ~п(А), 1.' ~ Н»~' (М). Как было доказано выше, класс У является (й — 1)-устойчивым. Ясно также, что все М-процессы сводятся здесь только к осуществлению первого шага в размерности й, т.

е, А()5»=Х», 5«=ф при З~сс =.й — 1. Кроме того, так как й»Соо, то любой М-процесс в классе О конечен. Пусть Х»вя еи Н (А, Е, Е') — глобально минимальная поверхность, тогда а!гп Х,=й. Теорема 32.1.1. Пусть М вЂ” компактное гладкое риманово многообразие, А ~ М вЂ” фиксированный компакт-«контур», «1-группа козффициентов теории гомологий Н,.

Пусть 0 — векторное пространство над некоторым полем Р и б!шгб !. 5 3»! Фунд»мент»лъные (когцнклы повеехностен 325 Предположим, чпю в компакте-«контуре» А нет й-мерных циклов, т. е.'~ что Н„(А, О) =0; например, пусть йт А =й — 1, где 3 ~й'б= и — 1. Тогда мы утверждаем, что: (1)(ели Хо ~ Н„(А, 1., 0), йт Х, = я, — глобально минимальная поверхиость, где йс= Й»,(А, О) и 1.~0, то Н,(Х„0)-0; (2) ечли Хо ~ Н, (А, 1„Ь'), б!т Х, — — Ф, — глобально минима ь- ная поверхность, где 1: с Н»(М, О), Е' чь О, то гомоморфизм 1о: Н»(Х», О)- Н„(М, О), где 1: Х,- -М вЂ” вложение, является мономорфизмом.

3 а м е ч а и и е. Эта теорема имеет прозрачный геометрический смысл. В случае (1) мы утверждаем, что если контур-граница А не содержит й-мериых циклов, то минимальная пленка заклеиваю- щего типа (заклеивающая А) не содержит к-мерных циклов, т. е. устроена наподобие «многообразия с краем А». В случае (2) оказывается, что минимальность пленки реализующего типа влечет за собой минимальность ее й-мерных гомологий: ни один я-мерный цикл не аннулируется при вложении Х- М, т.

е. каждый ее цикл участвует в минимизации й-мерного объема. Доказательство теоремы опирается на следующую лемму. Лемма 32.1.!. Пусть Х,— метрический компакт размерно- сти й, Х, ~ Я, где Я вЂ” некоторый подкомпа«т. Пусть группа 0 «овффициентов пгеории гомологий является векторным простран- ством над некоторым полем с и д!те0=1, Н»(Я, 0)=0, и пусть Хо'~Р— открытое топологичгское я-меркое многообразие. Пусть Г ен Н„(Хы О), Г ~0. Тогда существует открытый диск Р= Р'(1') с Хо'~Н такой, что если 1»: Н»(Х»"Я)-+Н»(Х»)— еомоморфизм, индуцированный вложением, то выполняются утвер- ждения: (1) ! — мономорфизм; (2) Сойт (1т 1 ) 1 в группе Н»(Х„0); (3) 1' ~1т1».

Доказательство. Рассмотрим следующую диаграмму: Н,,(Х„',Р) Н»(5») ' 1.', О Н„(Х,) -' Н„(Х„Н) 1ь Н, (Х,я) с,' а„ т„ О Н,(Х;,Р)' Н,(Х; Р, П) -'" Н,((Х.)Н) .!(Р)) 0 где Р=Р' — некоторый открытый диск в Хо' 1«, 1: Хо-~- Х»11« — проекция, х ~(Я), 5» =Хо!(Х»~,Р) (напомним, что Н,(А, В)= =Н„(А)В)), 1» и 1: — изомоРфизмы, Положим 1=1»<Р„(Г), тогда 1Ф О. ПУсть Т Хо!Р. ДопУстим, что нам Удалось найти диск((Р) с с Т,х, что 14!то»о.

Тогда Г ф !т1„. Итак, мы свели задачу к изучению компакта Т, который является топологическим мно- зяб минимзльныв повзэхностн в влэиацнонных классах и . в гообразием всюду, кроме одной точки х. Введем на Т какую, либо метрику г(. Группа Нз(Т) является обратным пределом сцектрв групп Н„(Т ), где аелОл'Т, а Т„-нерв покрытия а. Тзк как А йт Т, то в множестве Сот! Т можно выбрать конфи!)альков подмножествоСочгТ, состоящее из конечных покрытий кратности, не превосходящей Й, диаметры которых стремятся к нулю. Это означает, что нервы Т„аевСот!Т, являютсяконечным!(симплициальными комплексами, йт Т„«- 'и, Так как ! Ф О, то существует элемент аз епСоч! Т такой, что представитель ! †элеме (, ен еп Нз(Т, ) †отлич от нуля.

Пусть У я ае является элементом покрытия а„, где х ен У и Т',У + ф (можно считать, что покрытие а, взято уже достаточно мелким). Пусть и ев Т,„есть вершина, соответствующая Узна«. Рассмотримоткрытый шар В(х, г) такой, что В (х, г) с У, и пусть е > 0 выбрано так, что В (х, г+ з) с У. Построим конечное покрытие к компакта Т",В(х, г) открытыми множествами ((0), гомеоморфными диску 0=0'. Пусть ц)0— число Лебега покрытия и, $=~п(п(з, т!), $)0. Впишем в ае покрытие а, так, чтобы а,ыСоФ Т н йат(а)(5. Тогда существует гомоморфизм л",'.

Нз(Т,)- Нз(Т,), причем существует !а~ е= Нз (Ти,), (ч, чь 0 такой~ что пав ((а,) (а«. Пусть Саг 1ч~ носитель элемента (,„в нерве Т~. Тогда, так как йшТч, Ф, отношение гомологичности в А-мерных цепях неподвижно, а потому существует однозначно определенный набор симплексов Ьз в Т, иа которые и оседает цепь ~,„,. Для вершин з из Саг (,„возможны два варианта расположения в Т: 1) 5ПВ(х, г) Ф ф для любой вершины з~Саг)ч,; 2) существует вершина з,яСагг©, такая, что 5„сТ",В(х, г), здесь 5 = 5 (з). Разберем случай !). Так как 5 П В (х, г) чй ф, то 5 с с:В(х, г+е), поскольку б(ат(а,)«-$(е, а тогда и подавно 5 с У.

Это означает, что все вершины з ен Саг)„, содержатся в У. Отобразим Т«„в Т„, следующим образом: все ве(1)пины зев Саг(,„, отобразим в и я Т „а остальные вершины з' я Саг(„, отобразим произвольно по включению. Так как гомоморфизм ф: Н,(Т„) -«-Нз(Т,) ие зависит от выбора симплициального отображения по включению Т„, -«-Т, то ~р ((„,) * („„ф = ю4,'. С другой стороны, <р((,„,) О, т. е, (ч,=О, что противоречит выбору этого элемента. Итак, в действительности реализуется случай (2). Так как 5, с с Т',В(х, г) и б(ат 5о<йаш(а ) С$<п, то 5е целиком содержится в некотором открытом диске г(0') покрытия и (см. выше).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
4980
Авторов
на СтудИзбе
471
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее