Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии

А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 74

DJVU-файл А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии, страница 74 Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление (2659): Книга - 4 семестрА.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии: Дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление - DJVU, страница 74 (2659) - Студ2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 74 - страница

Пусть ф„=у,,/„п и 2ли= ф. (У,и) 2.о = = ф„(У»,). Отметим, что А,*,с — — ф„(А»и), так как и (А»и) с= с В (О, р„),В(0, р„)/! — 25$и). В самом деле (рис. 77), ОТ = = р.созф=р„3/1 — 25ви, т. е. Т ендВ(0, р„~/1 — 25Зи), что и требовалось доказать. (и. Рис.

76. Рис 77. В то же время' ясно, что п(А„,), в отличие от п(А„,), не содержится, вообще говоря, в В (О, р„)',В(0, р„)/1 — 274и). Докажем, что компакт (Х„'~У„)()(2„()д»Г,) принадлежит классу гд. Мы уже отмечали, что цилиндром отображения ах А„,— П,П П В(0, р„) является компактС(По, Аии)() 1П,ПВ(0, р„)!. Построим гомотопию Р„стягивающую компакт А„и в плоскость Пс вдоль проекции гк Р„(Г, х)=(1 — 1)х+(п(х), где вектор хин А„и, х— радиус-вектор, исходящий нз точки О; вектор и (х) е= Пм Р„(0, х) = х, Р,(1, х)=п(х).

Ясно, что Р„(1, А и)=п(А,и) с сВ(0, р„);В(0, р, )' 1 — 25$и). Докажем, что (Х,'~У„)() Ц[С(П, А„)1) п(У„)1~О. Выполним гомотопию Р„(!, х) только до значения 1= 1/2 и рассмотрим компакт (Х„' У„) () Л„() () Р„(1/2, У„)-Х„, где Л.=(Р(1, А„), 0=-1==.1/2). Ясно, что Р„(1/2, У„) гомеоморфно У„и, в частности, Р„(1/2, А,) — А„ т. е. А„= А х(0, 1/2). Пусть У„= А„Ц Р(1/2, У„), Х„= = (Х„'~У„Щ У„; тогда определены следующие отображения: вло.

жение 1,: У,-» У, и проекция 1„: У„- У„, причем (и(! — — 17, 7! А. т. Фа»емко З!4 миннмальныв поввгхности з ззгилпионных классах О ~гл. ° ! (з гомотопно 1 — „, т. е. (, является гомотопнческой эквивалентностью, Построим непрерывное отображение г: Х„-1 Х„положив / х, если х я [(Х„~,У,) Ц Ц'~1г„ ! (,(х), если хен У,. Тогда отображение 1'. (Х„, )г„)-~.(Х„, У,) является относительным гомеоморфизмом. Из следукицей коммутатнвной диаграммы (аналогичная диаграмма строится н в когомологическом случае): Ьч+1(Хлэ Уа)-~ Ьч(Ул)-~-Ьч(Ул)-ч.йд(Хяв Ул)-+ Ь~ 1(Уа) ! ! ! 1 .! Ь„,(х„, 37„) Ь,()г„) й,(Х„) Ьч(Х„, $7„) й,,(У„) немедленно следует, что гомоморфнзмы 1,: Ьч (Х ) -~ йр (Х,) являются изоморфнзмами для всех д ~ Е. Поскольку нложейие 1: Х„-~.М гомотопно отображению Ц: Х„-» М, то Я,Ь,(Х„) =(,й,(Х„), где й Х,-~-М вЂ” вложение, т.

е, Х„вил, что н тре. бовалось доказать. Далее, компакт (Х„'~У„)Ц[С(П, А,)Цп(У„Я получается нз компакта Х„гомотопией вложения 1 (т. е.' нужно выполнить до конца гомотопию Р, ((, х)), следовательно, (Х„'~У,) Ц[С(П, А,)1 ц Цп(У„) вне. Применяя к этому компакту гомотопию ~„, мы получаем, что компакт (Х„'~У„) Ц Г, Ц [(„и (У)1 принадлежит классу Ю. Наконец, выполняя последнюю гомотопню — выдавхиванне из К на границу дВ(0, р,), мы получаем, что (Х„,У„) Ц(д„г.) Ц[И. (У.)1- -(Х„,1 „) Ц(д„г.) Ц р„(У„) =(Х„.,У„) Ц(д,.г„) Пг„.Е.

Ясно, что (я,Г,)ЦЯ„~ (й„Й,) ЦЕ„но так как Г, с дВ(Р', р„), то д„Г„ав1'„. Так как Е„ееЕ„~сППдВ(0, р„), то чо1,(Х,е) = О, а потому чо1, (Е, Ц я Г,) =чо), (й„Г ) = чо1, (й,.Г„) = чо1, (Г„) = чо1, (Г„) ( 2, ((Зо + 2еэ) Ь, (ог) $ (см. (1.3.4)). Пусть чо),~Х;~(l", '( Х'е'|~=оэ'„+е„', е,') О, е„'-ю-0; тогда то1,(а„) = 1,[[(Х. У„) ц(й.г.) цг 1, ий- ()("')! «а ~ ы* + е,', — 2-'-Щю, (иг) +2~ ([)о -(-2еэ) й„(ог) й.

свояств» эчнкции плотности В)Ь Здесь мы воспользовались соотношением (1.3.1), а именно: чо1,(У.)= чо1,(У„) = чо1,(К„(Р", р„)!ч(чо(,Я,(Р', ог/2))- '/»()а/0(ог/2) =()ю(ог)'2-'-'~1+(Лог)/2) '= ~ ()а (ог)' 2-'-' (1+ й,ог)-' = йо2-'-»/», (ог). Следовательно, чо1, (»г„) - ь»'„+ е„' — й, (ог) 12»»()а — $ Фо+ 2з») х х8С, (з) р, (ог)-'(1+ т)»р„)'(1 — 25Р) пз] Здесь е,=е,($), о=о($), р„(ог)-'«;1, а потому прн достаточно малом $ выражение в квадратной скобке приблизительно равно 2-'-' (3а, а потому эта квадратная скобка определяет число положительное н, кроме того, не зависящее от п. Отсюда сразу следует, что чо!,(ьг„) «ы'„-)-е„' — т, где т ) 0 н не зависит от и, т.

е. существует номер /ч', такой, что прн всех и) л/, мы будам иметь чо), (Й,) = ы', — (т — е,') ' ь»', — — ( оо, что невозможно, поскольку (Х,'~,У,Щ(д„Г„)()2, ензг, а число ь»', построено по окрестности (/» '(Х'+'). Полученное противоречие означает, что проекция п(У„„) полностью покрывает шар В(0, р,,р 1 — 25$»), а потому в силу леммы 28.3.1 имеем чо(,(У,,»1 = чо(,(У,,») ~ )У,Р'„(1 — 25в»)-'~', т. е. чо1,(У„)~У,Р* (1 — 25з») н»(1+»)ьог)-'.

Устремляя $-~-0, а~со, р,-~-р, а затем используя произвольность числа г, мы н получаем, что Ч",(Р) ~ 1, что и доказывает лемму. Извлечем важное следствие нз этой леммы. Оказывается, система неравенств Ч, (Р) ~ 1, Р вн 5', 3 «з «й, обеспечивает минимальность всех поверхностей 5', а именно: чо1,,(5')=Х,. Лемма 30.1.4 Пусть компакт Х»=Х»(М) получен в результате некоторого М-процесса и 5'с:Х», 3«з«й, Х»~Х'= = Х'+' и 5'.

Тогда выполнены равенства чо(,(5») = чо1,(Х" ~,Х"') = чо1,(Х»'~Хам) г,„где»,,— з-я компонента ) вектора М-процесса (при 3 ~ в «й — 1), и чо(„(Х»",А) = чо!»(Х»~А) =г(». Более того, Ч',(Р) =1 почти всюду на множестве 5' и»Р, =чо1, 15'() П В(Р, г)! почти для всех г«й» '(Р). Если )„=О, то 5'= ф 3 а меча н ие. В этой лемме мы впервые воспользуемся конечностью М-процесса. Все построения, которые проводились до снх пор, выполнялись для произвольного М-процесса. Кроме того, в этой лемме мы впервые воспользуемся тем обстоятельством, что Хзеег.

Доказательство леммы 30.1.4. Доказательство будем вести нндукцией по числу з, начиная с з = 2. Поскольку 5' ф и »э 0 ввиду 2-устойчнвостн вариацнонного класса, то первый 11ь В16 миннмхльныв повврхностн в варн(сцнонных клАссах о сгл.е шаг нндукцнн уже выполнен по тривиальным соображенням. Итак, пусть теперь лемма доказана для всех подмножеств 5', где 3 «а' «а — 1; в частности, зто означает, что чо1,,(Х",Х') = = чо(, ! (5в-с) = Л, ( оо.

Отсюда следует, что чо1, (Х'",Х"') = чо1,(Х'" Х"') = чо1,(5'). Докажем, что чо!,(Хв",Хви')~Л,. В самом деле, допустим противное: пусть чо1, (Хв,Хи+с) < Л,. Тогда, поскольку Л, = = 1(П! «(4„ГдЕ Сев„«(а!+с, тО СущЕСтВуЕт НОМЕР П, таКОй, Чта л са чо1,(Хв~,Хи(в) ас'„„. Рассмотрнм систему окрестностей (С„' '(Х''), определяющих в М-процессе числа 4»'„. Тогда имеем чо1,)Х"41" ') «чо1в (Х",Х") < «4'.„что невозможно, так как Х*~ Ю. В силу леммы 10.2.3 в 116] для каждого р) 0 мы можем найти счетное семейство непересекающихся шаров В(Рь р(), где бг( » р, Р( ен 5', В (Р(, г() П Х"' = ф для любого с', причем такое, что 44(В Вс /С(В(вь „4)и/ !! В(вь В(), рь! где р=1, 2, 3, ...

Из леммы 30.1.3 следует, что К урга=,)" у,гс(1+И.р()-'(1+И,г()в«(1+Ивр)в,У, 'Ии(г)== с ! ( ( ! са св- (поскольку ср (Р;) ~ ~1) «(1+ И р)' )~ ~вр, (рс, Рд =* ( ! (1-(-й,р)' Ч~ ~1!СП ) (П( 4Рв(Г(4 Р(, ХВ '+ )1-я ! п со !а~и ча(1+И,р)и Вщ (п( У,'вр,(гс, Рс, Х," ,'+и):: асора( ч-(поскольку шары В(Р(, р() не пересекаются) ч:; =(1+И,р) !пп [чо1,(Х'„'-*+",Х'"'))= л со = (1+ Усвр)' В П! (а(4„+ Е„') = (1+ Ир)в Л„ л са Итак, мы нмеем,У, 'увг( «(1+ йир)' Л, <- со (в силу конечности ( ! М-процесса), т.

е, ряды ~ у„гс сходятся, Напомним, что для с ! каждого р «О мы подобрали, вообще говоря, свое семейство шаров В(Р„г(). Используя специальный выбор шаров (см. (1.4,1)), СВОЙСТВА ФУНКПИЙ ПЛОТНОСТИ 317 мы получаем чо!,' (5')» ~Ч~ у,г,' ла (1+ йср)') „откуда, устрем<=< ляя р к нулю, получаем Уо(,(5с)~)<,. Сравнивая это неравенство с предыдущим, имеем Уо1,(5') =Х,. Теперь рассмотрим пересечение 5сПВ(Р, г), где г(У' (Р), и выберем счетное семейство шаров (В(Р<, г<)), как н в (1.4,1), но так, чтсбы В (Р<, г;) ~ В (Р, г) для каждого номера <.

Поскольку Чг,(Р)~1 на 5'ПВ(Р, г), то, повторяя приведенные выше рас- суждения для 5'П В(Р, г), мы получаем (1.4.2) уо1, [5с Д В (Р, г)] ~ <Р, ~ ( 1пп Ы чо),~ Х<»-*+и'ПВ(Р, г)[, а »Эл Пусть теперь Реи5', гс. В»-*(Р), и пусть г выбрано так, что чо!,15'ДдВ(Р,г)]=0, чо!,[Х'„" '+и ()дВ(Р,г)]=0для каждого а, выбранного из какой-либо бесконечной подпоследовательиости в (и).

Такие значения г всюду плотны на полуиитервале !О, Я»-с(Р)]. Пусть, кроме того, В(Р, г) П(с'„(Х ~ )=ф. Поскольку Ч',(Р)) 1 на множестве 5"«В(Р, г), то, повторив все предыдущие рассу- ждения для 5";В(Р, г), получаем (1,4.3) чо)ДР' В(Р, г)]~ а~ 1пп <и! Уо!с[(Х<»- +<У««Р- ) В(Р л со а~а а Откуда следует, что то1 г<5 «В (Р, г)] < 1пп Ы Уо! [(Х<»-'+ О'««У»-') В(Р л со а~а Здесь мы воспользовались выбором числа г, Итак, )с чо1,(5») =чо1,(5с«В(Р, г)]+То!с[5'ПВ(Р, г)]~ а-!!Тп !и! чо1, [(Х<»-'+и'«,0' — ')«,В(Р, г)[-1- л сола а -(-1пп <п! Уо1,[(Х<» '+и' «(I» ')ДВ(Р, г)1» и а>и ~ 1пп 1п! уо(,[Х<»-'+ и' '«(Г» — *[ло Вт (»<')=)<„ л со О.ла и и л со а откуда следует, что неравенства (1.4.2) и (!.4.3) являются в дей- ствительности равенствами, а потому <р, = УС!,15с() В(Р, г)] почти для всех г(Я» (Р), В частности, Ч',(Р)=1пп(у,'г"'УО1,]5с() 0 ПВ(Р, г)]).

Осталось доказать, что Ч',(Р) =1 почти всюду на 5'. Обозначим через 2 подмножество в 5', на котором Ч',(Р)~ 1 )1)- —, я<=1,2,3,...; тогда Е,„замкнуто в М««Хс+', Пред- положим, что Уо!,(2 ))О, и пусть число е выбрано так, что О~е~чо1с(Е )/2<п. Покроем множество 2 открытым в много- З1З минимьльныв поввгхиости в вхьихциониых клхссьх о <гл, ь образин М множеством С, где С ~ М'~,5Р+', так, чтобы чо1,!СП(В'~,2 Д(е. Тогда, в силу леммы 10.2.3 в 116)„для любого р)0 можно найти счетное семейство непересекающихся шаров В(Рь !'!), где Р! ен Е„, г<(Р- (Р,), 5г<(р, В(Рь г!) с: С а . г~!Ц В<!ь .,>3~( ! ! В!Рь жф Р=в, ! З....

!! <! р+! Ясно, что семейство В(Р„г!) покрывает все множество Е, ча исключением, быть может, множества ~ с=Я, где чо1,(ь„)='О. Тогда мы имеем чо1,(2„)+е»(поскольку чо1,!СП(У~,2 )1Се)» ~ ~ чоЦВ'() В (Р„г!)) = ~ Ч!,(го Рь В')» ! ! ! ! СО ;и (поскольку Ч', (Р) =- 1+ т-') = ~ , '(! + т-!) й, (г,) ! 1 СО ы (1+пг!) ~~ ~чг<(1+Ьг!)-'»(1+т-!)(!+Ир)- ~ч', ус!Ли ! ! ! ! » (1+т-!) (1+й,р) чо!ь (Е ).

Так как это неравенство должно выполняться при любом е)0 и при любом р) О, то чо(,(Е„!)»(1+т-') чо1,(3 ), откуда получаем, что чо),(У )=0 при любом т. Так как Ч',(Р)»1 на В!, то отсюда вытекает, что Ч',(Р) =1 почти всюду на множестве В'. На последнем шаге при е й все рассум<дения будут аналогичны проведенным выше, однако не нужно будет использовать окрест; ности У"„П 0'„=А. Можно, впрочем, считать, что У", замкнуты а и К4,еаА. Лемма доказана. 30.2. Каждый страт является гладким минимальным подмного. образнем, за исключением, быль может, множества особых точек меры нуль. Как и в случае обычной теории гомологий (см. !16!), можно доказать следующее утверждение. Лемма 30 2.1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее