Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика

И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика, страница 54

DJVU-файл И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика, страница 54 Физика (2656): Книга - 3 семестрИ.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика: Физика - DJVU, страница 54 (2656) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 54 - страница

Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не Остается постоянной — она убывает с расстоянием от ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 2зо источника по закону 11г (см. $98). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид $ = — соз (ГР1 — йг+ а), (94. 10) г где а — постоянная величина, численно равная амплитуде иа расстоянии от источника, равном единице. Размерность а ранна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (94.10) нужно добавить множитель е т'.

Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (94.!О) справедливо только при г, значительно превышающих размеры источника. При стремлении г к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объ. ясняется неприменнмостью уравнения для малых г. 9 95. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, !1, г углы а, (1„у. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 95.1), ио имеют вид $, =а соз (е!1+а) .

(95. 1) и Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат !7 д на расстояние 1. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (95.1) на время т=1Й! $ = асов ~е! ~1 — — „) +а~ = = а соз (<о1 — й1+ а) (95.2) (/г=ы1о; см. формулу (94.7)). Выразим 1 через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор и нормали к волновой поверхности. Из рис. 95.1 видно, что скалярное произведение и на радиус-вектор г любой нз точек поверхности равно й пг=-г соз !р=1. Заменим в (95.2) 1 через пг: а=а соз(а1 — йпг+а). (95.3) Вектор (95.4) Ьбб.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ равный по модулю волковому числу 6=2пй и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется в о л н о в ы м В е к т о р о м. Таким образом, уравнение (95.3) можно представить в виде $(г, 1)=а соь(о)( — )(г+а). (95.5) Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором ((. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель Е 7(=Š— тог Функция (95.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-вектором г в момент времени ( (напомним, что г определяет равновесное положение точки).

Чтобы перейти от радиуса- вектора точки к ее координатам х, у, г, выразим скалярное произведение йг через компоненты векторов по координатным осям: йг=й„х+Иоу+И,г. Тогда уравнение плоской волны примет вид е(х, д, г; г)=асоь(о)( — Й„х — й„у — л,г+а). (95.6) Здесь 2Л 2и ги Й„= — соь а, Й„= — соь р, йг = — соь у. (95.7) Функция (95.6) дает отклонение точки с координатами х, д, г в момент времени Г. В случае, когда п совпадает с е„, й„= — гг, й„=йг=0 и уравнение (95.6) переходит В (94.8). Очень удобна запись уравнения плоской волны в анде $ = Г(е ае( ("г-"г+о). (95.8) Знак Йе обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число а — пега (95.9) которое называют комплексно й амплитудой.

Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент — начальную фазу волны. Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в виде $ асг'(ВГ-Вг) (95.10) Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем. 9 96. Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого в о л и о в ы м. Чтобы установить внд волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по ГЛ. Х!У. УПРУГИЕ ВОЛНЫ координатам и времени от функции (95.6), описывающей плоскую волну. Продиффереицнровав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим дхй д! вхл сов(в/ кг+я) а — = — А,'а соэ (а/ — йг+ а) = — АЯ, д% дх' —, = — /г„'а СОЗ (а/ — КГ+ и) = — /!х$, ду Р ! дх5 —,, = — А',асов(а( — йг+сГ) = — АБ, Сложение производных по координатам дает — + — + — = — (ях+йх+йх)$= — ЛЯ (96.1) дх5 д% дх5 Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив л-"/вз через 1/о'.

(см. (94.7)), получим уравнение дх$ д'$ дх$ ! дх3 — + — + — = —— дхх дух дхх Рх дГх (96.2) 'Это и есть волновое уравнение. Его можно написать в виде /х$ = —— ! дха (96.3) где /! — оператор Лапласа (см. формулу (1!.57)). Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (95.6), но и любая функция вида /(х, у, г; 1) =/(в! — и„х — й у — л,г+а), (96,4) Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (96.4), через ~, имеем — = — — = /'в — = в — — = ах/".

д/ и/ д~ , дх/ д/' д~ д! д~ д! ' д!' д4 д! (96.5) /(налогично (96.6) Подстановка выражений (96.5) и (96.6) в уравнение (96.2) приводит к выводу, что функция (96.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить о=-а/й. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (96.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели- чины, обратной коэффициенту при дЯ/д!х, дает фазовую скорость этой волны. Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид д!В ! дЯ (96.7) $9П СКОРОСТЬ УПРУГИХ ВОЛН В ТВЕРДОЙ СРЕДЕ 283 $97.

Скорость упругих волн в твердой среде Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью Основания Я и высотой Лх (рис. 9?.1). Смещения 9 частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см.

рис. 93.3, на котором изображено $ в функции от х). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение е, то смещение основания с коордииатОй х+Лх будет $+Л$. Поэтому рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение М (О — алгебраическая величина, Ы ~ О соответствует сжатию цилиндра) илн относительное удлинение О$7Ох. Величина О$/Лх дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что 9 меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако- а,+й +1~) Г 4 4 "д4 Рис.

973. Рис. 97.2. вой. Чтобы получить деформацию В в сечении х, нужно устремить бх к нулю, Таким образом, е= — „ д$ дх (97.1) (симзол частной производной взят потому, что $ зависит не только от х, но и от Г). Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения а, при малых деформациях пропорционального величине деформации.

Согласно формуле (14.6) 1-го тома о= Ее= Е— дД ди (97.2) (Š— модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация д$ дх, а следовательно, и напряжение о в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 97.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ равны нулю, В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т.

е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим„как уже отмечалось в 5 93, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды. Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 97.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Лх очень малым, проекцию ускорения на ось х можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной ба$/йа. Масса цилиндра равна рЯ Лх, где р — плотность недеформированной среды.

Проекция иа ось х силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра Я на разность нормальных напряжений в сечениях (х+Лх+$+Л$) и (х+$): ~Е ((а ).,л. е,ае (,дх).а Д' (97 ~) Значение производной д3/дх в сечении х+6 можно для малых 6 представить с большой точностью в виде (ах) = ~дх) + ~дх (дх) ~ = ~д ) + дха ' (97' ) где под да$/дха подразумевается значение второй частной производной $ по х в сечении х.

Ввиду малости величин Лх, $ и Л$ произведем в выражении (97.3) преобразование (97.4): ".="([('-') + — "' "+"-+'~)1-И.-) + — Ч1= =ЕЕ д, (Лх+Лй) ж БЕ а.' Лх (97.5) (относительное удлинение д$/дх при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Позтому Л~(<Лх, так что слагаемым Л$ в сумме (Лх+Л$) можно пренебречь). Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим РО ЛХ да =БЕ д а ЛХ. д% дай Наконец, сократив на Я Лх, придем к уравнению а% ра; дха Е дР ' (97.6) которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда $ не зависит от у и г. Сопоставление уравнений (96.7) и (97.6) дает, что (97.7) 288 555. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корво квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению ~а Р (97.8) где 6 — модуль сдвига.

9 98. Энергия упругой волны Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна 5 =О соз(Ы1 — йх+ц). (98. 1) Выделим в среде элементарный объем ЛУ, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, д$!д1 и д$1дх. Выделенный нами объем обладает кинетической энергией 2 (дг) (98.2) (р ЛУ вЂ” масса объема, дя/д1 — его скорость). Согласно формуле (28.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации Р 2 2 (д) (е=-д$!дх — относительное удлинение цилиндра, Š— модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (97.7) модуль Юнга через рн"- (р — плотность среды, и — фазовая скорость волны).

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее