И.В. Савельев - Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, волны, оптика (1115514), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не Остается постоянной — она убывает с расстоянием от ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ 2зо источника по закону 11г (см. $98). Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид $ = — соз (ГР1 — йг+ а), (94. 10) г где а — постоянная величина, численно равная амплитуде иа расстоянии от источника, равном единице. Размерность а ранна размерности колеблющейся величины, умноженной на размерность длины. Для поглощающей среды в формулу (94.10) нужно добавить множитель е т'.
Напомним, что в силу сделанных предположений уравнение (94.!О) справедливо только при г, значительно превышающих размеры источника. При стремлении г к нулю выражение для амплитуды обращается в бесконечность. Этот абсурдный результат объ. ясняется неприменнмостью уравнения для малых г. 9 95. Уравнение плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении Найдем уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, образующем с осями координат х, !1, г углы а, (1„у. Пусть колебания в плоскости, проходящей через начало координат (рис. 95.1), ио имеют вид $, =а соз (е!1+а) .
(95. 1) и Возьмем волновую поверхность (плоскость), отстоящую от начала координат !7 д на расстояние 1. Колебания в этой плоскости будут отставать от колебаний (95.1) на время т=1Й! $ = асов ~е! ~1 — — „) +а~ = = а соз (<о1 — й1+ а) (95.2) (/г=ы1о; см. формулу (94.7)). Выразим 1 через радиус-вектор точек рассматриваемой поверхности. Для этого введем единичный вектор и нормали к волновой поверхности. Из рис. 95.1 видно, что скалярное произведение и на радиус-вектор г любой нз точек поверхности равно й пг=-г соз !р=1. Заменим в (95.2) 1 через пг: а=а соз(а1 — йпг+а). (95.3) Вектор (95.4) Ьбб.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ равный по модулю волковому числу 6=2пй и имеющий направление нормали к волновой поверхности, называется в о л н о в ы м В е к т о р о м. Таким образом, уравнение (95.3) можно представить в виде $(г, 1)=а соь(о)( — )(г+а). (95.5) Мы получили уравнение плоской незатухающей волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором ((. Для затухающей волны нужно добавить в уравнение множитель Е 7(=Š— тог Функция (95.5) дает отклонение от положения равновесия точки с радиусом-вектором г в момент времени ( (напомним, что г определяет равновесное положение точки).
Чтобы перейти от радиуса- вектора точки к ее координатам х, у, г, выразим скалярное произведение йг через компоненты векторов по координатным осям: йг=й„х+Иоу+И,г. Тогда уравнение плоской волны примет вид е(х, д, г; г)=асоь(о)( — Й„х — й„у — л,г+а). (95.6) Здесь 2Л 2и ги Й„= — соь а, Й„= — соь р, йг = — соь у. (95.7) Функция (95.6) дает отклонение точки с координатами х, д, г в момент времени Г. В случае, когда п совпадает с е„, й„= — гг, й„=йг=0 и уравнение (95.6) переходит В (94.8). Очень удобна запись уравнения плоской волны в анде $ = Г(е ае( ("г-"г+о). (95.8) Знак Йе обычно опускают, подразумевая, что берется только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме того, вводят комплексное число а — пега (95.9) которое называют комплексно й амплитудой.
Модуль этого числа дает амплитуду, а аргумент — начальную фазу волны. Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в виде $ асг'(ВГ-Вг) (95.10) Преимущества такой записи выяснятся в дальнейшем. 9 96. Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого в о л и о в ы м. Чтобы установить внд волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по ГЛ. Х!У. УПРУГИЕ ВОЛНЫ координатам и времени от функции (95.6), описывающей плоскую волну. Продиффереицнровав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим дхй д! вхл сов(в/ кг+я) а — = — А,'а соэ (а/ — йг+ а) = — АЯ, д% дх' —, = — /г„'а СОЗ (а/ — КГ+ и) = — /!х$, ду Р ! дх5 —,, = — А',асов(а( — йг+сГ) = — АБ, Сложение производных по координатам дает — + — + — = — (ях+йх+йх)$= — ЛЯ (96.1) дх5 д% дх5 Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив л-"/вз через 1/о'.
(см. (94.7)), получим уравнение дх$ д'$ дх$ ! дх3 — + — + — = —— дхх дух дхх Рх дГх (96.2) 'Это и есть волновое уравнение. Его можно написать в виде /х$ = —— ! дха (96.3) где /! — оператор Лапласа (см. формулу (1!.57)). Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (95.6), но и любая функция вида /(х, у, г; 1) =/(в! — и„х — й у — л,г+а), (96,4) Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (96.4), через ~, имеем — = — — = /'в — = в — — = ах/".
д/ и/ д~ , дх/ д/' д~ д! д~ д! ' д!' д4 д! (96.5) /(налогично (96.6) Подстановка выражений (96.5) и (96.6) в уравнение (96.2) приводит к выводу, что функция (96.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить о=-а/й. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (96.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели- чины, обратной коэффициенту при дЯ/д!х, дает фазовую скорость этой волны. Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид д!В ! дЯ (96.7) $9П СКОРОСТЬ УПРУГИХ ВОЛН В ТВЕРДОЙ СРЕДЕ 283 $97.
Скорость упругих волн в твердой среде Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью Основания Я и высотой Лх (рис. 9?.1). Смещения 9 частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см.
рис. 93.3, на котором изображено $ в функции от х). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение е, то смещение основания с коордииатОй х+Лх будет $+Л$. Поэтому рассматриваемый объем деформируется — он получает удлинение М (О — алгебраическая величина, Ы ~ О соответствует сжатию цилиндра) илн относительное удлинение О$7Ох. Величина О$/Лх дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что 9 меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинако- а,+й +1~) Г 4 4 "д4 Рис.
973. Рис. 97.2. вой. Чтобы получить деформацию В в сечении х, нужно устремить бх к нулю, Таким образом, е= — „ д$ дх (97.1) (симзол частной производной взят потому, что $ зависит не только от х, но и от Г). Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения а, при малых деформациях пропорционального величине деформации.
Согласно формуле (14.6) 1-го тома о= Ее= Е— дД ди (97.2) (Š— модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация д$ дх, а следовательно, и напряжение о в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 97.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение ГЛ. Х!Ч. УПРУГИЕ ВОЛНЫ равны нулю, В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т.
е. растяжения и сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим„как уже отмечалось в 5 93, продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды. Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 97.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Лх очень малым, проекцию ускорения на ось х можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной ба$/йа. Масса цилиндра равна рЯ Лх, где р — плотность недеформированной среды.
Проекция иа ось х силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра Я на разность нормальных напряжений в сечениях (х+Лх+$+Л$) и (х+$): ~Е ((а ).,л. е,ае (,дх).а Д' (97 ~) Значение производной д3/дх в сечении х+6 можно для малых 6 представить с большой точностью в виде (ах) = ~дх) + ~дх (дх) ~ = ~д ) + дха ' (97' ) где под да$/дха подразумевается значение второй частной производной $ по х в сечении х.
Ввиду малости величин Лх, $ и Л$ произведем в выражении (97.3) преобразование (97.4): ".="([('-') + — "' "+"-+'~)1-И.-) + — Ч1= =ЕЕ д, (Лх+Лй) ж БЕ а.' Лх (97.5) (относительное удлинение д$/дх при упругих деформациях бывает много меньше единицы. Позтому Л~(<Лх, так что слагаемым Л$ в сумме (Лх+Л$) можно пренебречь). Подставив найденные значения массы, ускорения и силы в уравнение второго закона Ньютона, получим РО ЛХ да =БЕ д а ЛХ. д% дай Наконец, сократив на Я Лх, придем к уравнению а% ра; дха Е дР ' (97.6) которое представляет собой волновое уравнение, написанное для случая, когда $ не зависит от у и г. Сопоставление уравнений (96.7) и (97.6) дает, что (97.7) 288 555. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ Таким образом, фазовая скорость продольных упругих волн равна корво квадратному из модуля Юнга, деленного на плотность среды. Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению ~а Р (97.8) где 6 — модуль сдвига.
9 98. Энергия упругой волны Пусть в некоторой среде распространяется в направлении оси х плоская продольная волна 5 =О соз(Ы1 — йх+ц). (98. 1) Выделим в среде элементарный объем ЛУ, настолько малый, чтобы скорость движения и деформацию во всех точках этого объема можно было считать одинаковыми и равными, соответственно, д$!д1 и д$1дх. Выделенный нами объем обладает кинетической энергией 2 (дг) (98.2) (р ЛУ вЂ” масса объема, дя/д1 — его скорость). Согласно формуле (28.4) 1-го тома рассматриваемый объем обладает также потенциальной энергией упругой деформации Р 2 2 (д) (е=-д$!дх — относительное удлинение цилиндра, Š— модуль Юнга среды). Заменим в соответствии с (97.7) модуль Юнга через рн"- (р — плотность среды, и — фазовая скорость волны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
