А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 82

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 82 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 82 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 82 - страница

ОФ <! Вообще говоря, слабой сходимости всех конечномерных распределений Р!. ц — Рь„.л„О<Г~ <Гз<" <Г»=1, А>1 (т. е. сходимости Р!н1=»Р !»о г в обозначениях задачи 3 в $1) еще не достаточно (см. п. 5 в $1) для сходи- мости распределений функционалов ДХ!М) = зцр ]Х]~ — !Х!~] к функциокск1 опалу 7(Х) = эцр ]Х~ - (Х1 ], где Хс = Вс — броуновское движение, О < ! < 1, ой~к~ Однако в рассматриваемом случае это действительно так и вытекает из следующих рассмотрений.

Траектории процессов Х!»О принадлежат пространству 0 =0[0, 1], а траектории Х вЂ” пространству С = С[0, 1] С 0 (см. пп. 6 и 7 3 2 гл. П). В пространстве 0 можно ввести «метрику Прохорова» р (в [5, гл. 3] р обозначено до, в [87, гл. Ч!] р = 6), относительно которой метрическое пространство (О, У, р) становится польским, т. е. полным сепарабельным пространством. (Пространство (О, У, р) с «метрикой Скорохода» д, определенной в п. 7 $2 гл.

П, будет только сепарабельным, а для последующего применения теоремы Прохорова из $2 гл. РП нужна еще и «плотность».) Относительно метрики р функционал Т(х) = эцр ]х, — гх~] (совпадаюокгк~ щий, очевидно, с эцр ]х~ — (х~]), где х = (х~)ем~<1 Е О, является непреокг<~ рывным, и поэтому для доказательства сходимости 7(Х!»О)- 7(Х) (т. е.

4 !3. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 489 сходнмости по распределению) достаточно (задача 2) доказать лишь слабую сходимость Ргп — Р (в (О, У, р)). Обычная процедура установления этой сходимости, непосредственно инициируемая теоремой Прохорова, основана иа справедливости (задача 3; см. также обозначения в задаче 3 $1) следующей импликации: [[Р'М ~ Р] Ю [плотность (Р~н7)] ® а[класс.д~~(0) является определяющим]) ~ (Рио- Р). (22) !!гп Р[ИОн(и7)<у)=Р( зцр ]В;]<у~, н оа (о<!к~ (23) где В' = (В;)о<7к~ — броуновский мост. !б — 9727 (Здесь .Жо(0) — класс цилиндрических множеств; п.

5 $ ! .) В рассматриваемом случае имеется сходимость конечномерных распределений РРЛ=~Р и класс цилиндрических множеств йе(0) действительно является определяющим (п. 7 $2 гл. П). Самое трудное, конечно, в применении импликации (22) — это проверка того, что рассматриваемое семейство мер (Р!47) плотно.

Эта проверка основывается на характеризации компактных множеств в О, входящих в определение (формула (1) в $2) плотности семейства мер, что выходит за рамки настоящей книги. (Соответствующие доказательства см. в [5, теорема !5.2] и [87, гл. у'1, 3.21].) В заключение этих рассмотрений заметим, что существует и другой путь установления сходимости ((Х!н7) — ((Х). Состоит он в следующем. Разрывные процессы ХОЛ можно аппроксимировать непрерывными процессами Х!м такими, что зцр [Х]~(и7)-Х7! !(и7)]<в для всякого е>0 при всех 9<7<1 достаточно больших А7 и всех и7 е П. Поэтому достаточно доказывать лишь сходимость ((Х!н7) -+ ((Х), что несколько проще, поскольку тогда можно оперировать не с пространством О, а с более простым пространством С, в котором критерии <плотности» ([5, гл.

2], [87, гл. у'!], по крайней мере в рассматриваемом случае, легко проверяемы. 5. Положим В;=В7 — ГВН 0<! <1. Этот процесс является гауссовским, Во =О, ЕВ; =О и ЕВ;В;=ппп(з, !) — з!. В п. 7 $13 гл. П этот процесс был назван условным винеровским процессом или броуновским мостом. Итак, из предшествующих рассмотрений приходим к такому заключению: ГЛ.

П!. СХОДНМОСТЪ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР Из теории броуновского движения известно (см., например, [5, гл. 2, 511[), что распределение К(у) = Р( зцр [В;[<у), называемое распре!(ок«~ делением Колмогорова, определяется следующим образом: К(у) ~ ~( !)э -2РУ~ у > 0 (24) Таким образом, спрзведлив следующий результат (А. Н. Колмогоров): 1нп Р(А~Ч0,ч(м) <у)=К(у), у>0. (25) оо Аналогично изложенному показывается также, что !пп Р( Л0н+(ы) < у) = Р) зцр В; < у). (26) и ео Токи<! Распределение величины зцр В; проще, нежели распределение величины о<~к! зцр [В;[, и имеет следующий вид (см.[5, гл.2, А!1[): окс<! Р[ зцр В; < у) = 1 — е ~э, у > О.

(27) ),ока<~ Тем самым, имеет место следующий результат (Н. В. Смирнов): !пп Р(т/Р0+(ш)<у)=1 — е ™, у>0. (28) 6. Остановимся на том, как, скажем, знание результата (25), где К(у) определяется формулой (24), позволяет дать критерий согласия эксперимента с теорией. С этой целью приведем сначала небольшую таблицу значений функции распределения К(у): К(у) К(у) К(у) 0,28 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0,000001 0,000009 0,002808 0,036055 0,135718 0,288765 0,455857 0,607270 0,730000 Если Ф достаточно велико, то можно считать, что К(у) дает хорошее приближение для значений Р(т/Ф0н(м) < у).

1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 0,822282 0,887750 0,931908 0,960318 0,977782 0,988048 0,993828 0,996932 0,998536 0,999329 2,!О 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 0,999705 0,999874 0,999949 0,999980 0,9999925 0,99999?4 0,9999990 0,9999997 0,99999990 0,9999999? а! 3. ФундАментАльные теОРемы мАтемАтическОЙ стАтистики 491 Естественно, что если величины ~IР0н(«), подсчитанные по эмпирическим значениям ~~(ь«), ..., Сн(м), оказываются болыиими, то гипотезу о том, что (гипотетическое) распределение вероятностей этих величин есть именно (непрерывная) функция Р =Р(х), надо отклонить.

Приведенная таблица дает представление о степени надежности сделанных таким образом выводов. Если, скажем, ъ/Мбн(и) > 1,80, то (поскольку К(1,80)=0,996932) можно утверждать, что такое событие имеет вероятность, примерно равную 0,003068 (=1,000000-0,996932). Считая, что события с такой малой вероятностью (=0,003068), практически малореализуемы, мы приходим к выводу, что гипотезу о том, что распределение РК~ <х)=Р(х), где Р(х) — именно та функция, которая участвовала в подсчете величин Он (ю), надо отклонить.

Если же Урн(ш) < 1,80, то мы можем сказать (опираясь на закон больших чисел), что согласие «эксперимента с теорией» будет выполняться в 996932 таких случаях нз ! 000 000. Замечание. Важно подчеркнуть, что при применении критериев согласия, основанных на использовании распределения Колмогорова или распределения Смирнова, предполагается, что (тестируемая) функция распределения Р =Р(х) полностью специфицирована. Эти критерии «не работают», если, скажем, известно лишь только то, что функция распределения Р =Р(х) принадлежит некоторому параметрическому семейству 4» = (4« = 4«(х; в); де 9) функций распределения 4«(х; й), зависящих от параметра де ч». (При каждом й функция 4«(х; в) считается полностью определенной.) В этом случае напрашивается следующий путь проверки того, что эмпирические данные согласуются с тем, что истинная функция распределения Р ер: сначала по А/ наблюдениям построить оценку дн =дн(ь«) параметра й, затем образовать величину ~/Р знр ~1Рн(х; ю) — 0(х; дн(ы))( и «ея принимать решение так, как было проделано в приведенном выше примере.

К сожалению, функция распределения 4«(х; дн(ы)) будет случайной и распределение статистики ~/М зцр 1рн(х; ь«) — 6(х; дн(ь«))! не будет, вообще «ея говоря, даваться распределением Колмогорова К =К(у). По поводу того, как же все-таки проверять гипотезу Р е О, см. [132]. 7. Задачи. 1. Доказать формулу (18).

2. Доказать, что Ран Р (в (с«, з«, р)) влечет сходимость )(Х1н1) - ((Х). 3. Доказать справедливость импликации (22). гб Библиографическая справка (главы! — Ш) ВВЕДЕНИЕ История теории вероятностей до Лапласа изложена в монографии И. Тодхантера [68]. Период от Лапласа до конца Х1Х в, освещен в статье Б. В. Гнеденко и О. В.

Шейнина, опубликованной в сборнике [45). В книге С. Стиглера [122] дается весьма подробное изложение истории теории вероятностей и математической статистики до 1900 г. В книге Д. Е. Майстрова (44) история теории вероятностей изложена от ее возникновения до 30-х годов прошлого столетия. Краткий очерк теории вероятностей имеется в учебнике Б. В. Гнеденко [!5). О происхождении многих вероятностных терминов см. книгу Н.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5142
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее