А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 11

DJVU-файл А.Н. Ширяев - Вероятность-1, страница 11 Теория вероятностей и математическая статистика (2654): Книга - 3 семестрА.Н. Ширяев - Вероятность-1: Теория вероятностей и математическая статистика - DJVU, страница 11 (2654) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "А.Н. Ширяев - Вероятность-1", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 11 - страница

Обозначим р! = Р(С =х!). Интуитивно ясно, что если наблюдать за значениями случайной величины С в «и повторных независимых экспериментах», то значение х! должно встретиться примерно ар; раз, ! =1, ..., й. (Полезно сопоставить это высказывание с утверждениями законов больщих чисел, формулируемых далее в Я 5, 12.) Таким образом, «среднее значение» этой случайной величины, подсчитанное по результатам и экспериментов, есть примерно — (п р!к! +... + и рьх»1 = ~~! р;хь ! Это замечание делает понятным следующее Определение 4. Математическим ожиданием или средним зна- Ф чением случайной величины С = 2 х!г(А!) называется число Е4 = ~ к; Р(А;).

(6) Поскольку А; = (ин С(ь!) = х!) и РЕ(к!) = Р(А;), то Е~ = ~ хгре(х;). !=! По индукции легко устанавливается, что если С!, Сэ, ..., С„ — независимые бернуллиевские случайные величины с Р(с! =1)= р, Р(с!=!!)=Ч то случайная величина !, = с! +... +с„имеет биномиаяьное распределение 54. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 59 Вспомнив определение функпни распределения РС = Ре(х) и обозначив ~Ре(х) Рс(х) Рс(х ) находим, что Ре(х!) = 45Р4(х!) н, следовательно, Е5=~~ х!Врс(х!). (8) Прежде чем переходить к рассмотрению свойств математических ожи- даний, заметим, что часто приходится иметь дело с различными представ- лениями случайной величины 5 в виде 5(ы) = ~ х,'1(В;), !=1 где В! + ...

+ В! = й, но среди х,' могут быть, вообще говоря, одинаковые значения. В этом случае Е5 можно подсчитывать по формуле 2 , 'х,'Р(В;), г=! не переходя к представлению (5), где все х; различны. Действительно, х'Р(В!) =х; ~~! Р(В;) =х;Р(А;) !!чу!=м1 1!чк'=х!! и, значит х'Р(В!) = ~ х;Р(А;). г=! !=1 5. Сформулируем основные свойства математических ожиданий: 1) Если 5 > О, то Е5 > О. 2) Е(а5+Ьг)) =аЕ5+ ЬЕг1, а, Ь вЂ” постоянные.

3) Еслибы>г), то Е5>Е41. 4) 1Е5) < Еф. 5) Если 5 и !) независимы, то Е(г) = Е5 Ег). 6) (Е)цг)1)з ( Ест Ег)т (неравенство Коши — Буняковского, называемое также неравенством Коши — Шварца нли неравенством Шварца). 7) Если 5=7(А), то Е5=Р(А). Свойства 1) н 7) очевидны. Для доказательства 2) пусть х!7(А!), г) = ~~! у!/(В!). ! ! Тогда а5+ьг1=а ~ ~хг)(Агг!В;)+ь ч ~у;7(АгпВ!)=~~! (ах!+ьу;ЯА!лВ;) !.! ч! ГЛ. 1.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Е(а~+ Ьт1) = Ч ~(ах! + Ьу!) Р(А; П В;) = =~ ах(Р(А!)+ ~) Ьу!Р(В,) = ! ! =а ~~) х(Р(А;)+Ь ~ ~у;Р(В!)у аЕС+ЬЕР). ( ! Свойство 3) следует нз 1) н 2). Свойство 4) очевидно, поскольку (Е()=/~,ду(АА/Е! )д)Р(АА=Е)(). ! ( Для доказательства свойства 5) достаточно заметить, что В!В=В(~'д((АА) (~' у((ВА) = ! ! =Е ~ Чх(у;1(А(Г)В;)дд~ ху!Р(А(Г)В;)де д! с! (у~у(ВАР(ВА= (ф дР(А )) (В ' Е~Р(ВА) =ЕЕ-ЕЕ, !.! ! ! А; =(ш: Цш) =х!) н В1 =(ш: Р1(ш) =у!) являются независимыми: Р(А; й В;) = Р(А;) Р(В!). Чтобы доказать свойство 6), заметим, что 42=к х2!(А!), В)з=Е И,'.1(В!) Е~з = ~~) хзР(А!), ! ЕР)з = ~~' УзР(В!), ! Пусть Е(з >О, Ее)з > О.

Положим б ~/Е(~ Поскольку 2)Й) < АЗ+В!В, то 2Е(Я! (Е)Щз< Ест Ег)з. Е < Е~з + Ег)з = 2. Значит, Е )Я < 1 н где мы воспользовались тем, что для независимых случайных величин С н )) события й 4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ б! Если же, скажем, Есз=О, то это означает, что 2 хйР(А!) =0 и, сле! довательно, среди значений, принимаемых случайной величиной С, есть значение О, причем Р(ин с(и!) =0)=1. Поэтому, если по крайней мере одно из значений Еоз или Ег)з равно нулю, то, очевидно, Е!Сг)1=0 и, следовательно, неравенство Коши — Буняковского также выполняется. Замечание. Свойство Б) обобщается очевидным образом на любое конечное число случайных величин: если 4!, ..., Е, независимы, то Ес! ... с, = ЕЕ!...

ЕЕ,. Доказательство здесь то же, что и для случая л = 2, или по индукции. Пример 3. Пусть с — бернуллиевская случайная величина, принимающая значения 1 и 0 с вероятностями р и д. Тогда Ес=1 Р(с=1)+О.Р(с=О)= р. Пример 4. Пусть с!, ..., с„— л бернуллиевских случайных величин с Р(с! = 1) = р, Р($ = О) = д, р + д = 1. Тогда для 5л=с!+" +6 находим, что Е5„=лр.

К этому результату можно прийти и другим путем. Нетрудно понять, что Е5„не изменится, если предположить, что бернуллиевские случайные величины С!, ..., 4„независимы. При этом предположении, согласно (4), Р(5„=й)=С~рад" ~, й=О, 1, ..., л.

Поэтому л л =~ 'йС„'Р'4" '=Ч 'й. е! (л — А)1 э=о а=о Впрочем, первый способ приводит к результату быстрее, нежели последний. Е5„=Ч ~'и (5„=й) а=о и =лр ~) 4=! (п — 1)1 з-! !к-!1-!з-!! (А — 1)! ((л — 1) — (А — 1))! Р 4 и-! =ар ~~ р !) — лр. с~ Л((л — Ц вЂ” 1)1 У=о ГЛ. 1.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 62 8. Пусть С = 2„х!((А!), где А; =(ш: Ош) =х,), и !р=!р(С(ш)) — некото- рая функция от ош). Если В; = (ш: р(С(ш)) = у ), то ((в (ш) = )(В )) р(с( )) =ч ~у!)в,(ш) ! и, следовательно, Ер=~у!Р(В!)=Ч~! у;Р (у;). ! ! Но ясно также, что ((л,,(ш) = )(А;)) (9) Щ(ш)) = ~ !р(х!)(х!(ш). ! Поэтому наряду с (9) для подсчета математического ожидания случайной величины <р= !р(~) можно пользоваться формулой Еч!(~) = ~~! р(х!)Рс(х!).

! ОС = Е(С вЂ” Е~)г. Величина о=+т/Ь~ называется стандартным отклонением. Поскольку Е(х ЕОг Е(сг 2Р, ЕР+ (Е~)г) Ехг (ЕОг то Ос = Ес~ — (Е~)г. Ясно, что Ос > О. Из определения дисперсии также следует, что 0(а+Ь~) =Ь Ос, а, Ь вЂ” постоянные. В частности, Оа = О, 0(ЬО = Ь~Ос.

Пусть С и и — две случайные величины. Тогда 0(с + о) = Е((с — Е4) + (г! — Ет!))г = Об + Ог)+ 2Е(с — Е4)(г! — Е!!). Обозначим соч(р„п) = Е(Š— ЕЕ)(г! — Ег!). Ч. Следующее важное понятие дисперсии случайной величины е характеризует степень разброса значений С относительно ее математического ожидания. Определение 5. Дисперсией случайной величины с (обозначается 00 называется величина й4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 63 Зта величина называется ковариацией случайных величин С и и.

Если 0с > О, 0п > О, то величина называется коэффициентом корреляции случайных величин С и г). Нетрудно показать (см. далее задачу 7), что если р(Е, г!) = ~1, то величины Е и и линейно зависимы: г)=аС+Ь, где а > О, если р(Е, г)) = 1, и а < О, если рЯ, и) = — 1. Сразу отметим, что если с и г) независимы, то независимы с — Ес и г)- Ег), а значит, по свойству 5) математических ожиданий соч(Е, и)= Е(Е- Ео Е(п- Еп) =О. С учетом введенного обозначения для ковариапии находим, что 0(~ + 4)) = 0~ + 041+ 2 СОЧ(Е, 4)). (10) Если с и г) независимы, то дисперсия суммы С+и равна сумме дисперсий: 0(Е+и) =0Е+0н.

(1Ц Как следует из (10), свойство (1Ц остается выполненным и при мень- шем предположении, нежели независимость С и г). Именно, достаточно предположить, что величины С и ц некоррелированы, т. е. сочК, ц) = О. Замечание. Из некоррелированности С и ц, вообще говоря, не следует их независимость. Вот простой пример. Пусть случайная величина сг при- нимает значения О, я/2 и я с вероятностями 1/3. Тогда с = з!и а и и = сов а некоррелированы; в то же время они не только зависимы (относительно вероятности Р): Р((=1, 41= Ц=Оф1/9=Р(~= ЦР(г)= Ц, но и, более того, функционально зависимы: бт+г)я =1. Свойства (10), (1Ц очевидным образом распространяются на произ- вольное число случайных величин Ен ..., С„: /и 'т и 0~~ ~;) =~ 0с;+2 ~~~ соч(~ь ~1). (! 2) !4и 1=! !)1 В частности, если величины (н ..., ~„попарно независимы (достаточно, на самом деле, их напорной некоррелированности), то (13) ГЛ.

1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример б. Если С вЂ” бернуллиевская случайная величина, принимающая два значения 1 н О с вероятностями р и а, то 0~=е((-еО'=е(4-р) =(1 — р)'р+р'а=да Отсюда следует, что если ~п ..., ф— последовательность независимых (одннаково распределенных) бернуллиевских случайных величин и 5„= ! =с~+...+(„, то з 05„= при. (14) 8.

Рассмотрим две случайные величины с и г). Предположим, что наблюдению подлежит лишь случайная величина С. Если величины С и г) коррелнрованы, то можно ожидать, что знание значений С позволит вынести некоторые суждения н о значениях ненаблюдаемой величины и. Всякую функцию г =1(4) от с будем называть оценкой лля и. Будем говорить также, что оценка Г = Г(0 оптимальна в среднеквадратическом смысле, если Е(г) — )*(0)т = 1п( Е(г1 — )(~))т. Покажем, как найти оптимальную оценку в классе линейных оценок Л(0=а+ЬС.

Для этого рассмотрим функцию а(а, Ь)=Е(г) — (а+Ь4))э. Дифференцируя а(а, Ь) по а н Ь, получаем — =-2Е[п — (а+ь0], да(а, Ь) да да(а, Ь) = — 2Е [(и — (а+ Ьс))с], откуда, приравнивая производные к нулю, находим, что оптимальная в среднеквадратическом смысле линейная оценка есть Л*(~) =а* + Ь'С, где а* =Ег) — Ь*Ес, Ь'= — '" . о~ (1б) Иначе говоря, Л*(~) = Ег)+ ' " (с — Е~). Величина Е(г1 — Л'(0)э называется среднеквадратической ошибкой оценнвання. Простой подсчет показывает, что эта ошибка равна (д))э () сот (э ч) () . [1 з((. )] 0е Таким образом, чем больше (по модулю) коэффициент корреляции р(~, и) между С н г1, тем меньше среднеквадратическая ошибка оценивання сх'.

В частности, если [р((, г))] = 1, то б ' = О (ср. с результатом 44. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 65 задачи 7). Если же случайные величины с и и не коррелированы (т. е. рК, г/) =О), то Л" К) = Е4/. Таким образом, в случае отсутствия корреляции между С и «/ лучшей оценкой и по С является просто Е!) (ср. с задачей 4). 9. Задачи. 1, Проверить следующие свойства индикаторов /л = /л(ь«): / =О, /и = 1.

/А = 1 /л /лв =/л /в /л««в =/л+/в — /лв, /л~в =/л(1 /В), /л,«,В = (/л — /в) =/л +/в (шоо 2), «« л и =1-П('-") ' — =П('-") ',=Е" 0л« . ' 0л; . Ел« =! «=! !=! с,„«ь=ш!п(с!, ..., с„), с,„=снах(с! " сь). Показать, что л к., )Пк. ), л к )Пк «=! 3. Пусть С«,..., с„ — независимые бериуллиевские случайные величи- ны с Р(с! = О) = 1 — Л!с«, РК; =1) =Л2/1, где сз — малое число, «."«> О, Л; > О. Показать, что л р(«, «...««,= ц= (1, «) «':о«ь «, !=! РК, +...+~„> ц= о(ьз). 4. Показать, что !п1 ЕК вЂ” а)2 достигается при а =ЕС и, следо-ь«(а(ОО вательно, !п1 ЕК вЂ” а)2 = 0С.

-сю(а(оо 5. Пусть С вЂ” случайная величина с функцией распределения ге(х) и т, — медиана гс(х), т. е. такая точка, что 1 ге(т~ — ) ~< 2 < <ге(т ). 3 — 9727 где А Л В вЂ” симметрическая разность множеств А и В, т. е. множество (А Л В) !з (В ~ А). 2. Пусть с!, ..., с„— независимые случайные величины и ГЛ. 1.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Показать, что 1п1 Е!( — а!=ЕК вЂ” т,!. -аа<а<сю 6. Пусть Ре(х)=Р(С=х) и Ра(х) =Р(С<х). Показать, чтсгдля а>0 и -оо < Ь < оо Р,а+»(х) =Ре( — ), Р.е+»(х) = Ре ( — ). Если у>0, то Пусть ~+ = гпах(Е, 0). Тогда О, х < О, Реа(х) = Ра(0), х =О, Ре(х), х > О. 7. Пусть 4 и г! — две случайные величины с 04 > О, СН) > 0 и р= р((, и)— их коэффициент корреляции. Показать, что )Р! < 1. При этом, если )р! = 1, то найдугся такие константы а и Ь, что») =аС+ Ь. Более того, если р =1, то (и, значит, а > 0), если же р= — 1, то ч — Еч с — Ес (и, значит, а <0).

8. Пусть 4 и») — две случайные величины с ЕС = Еа) =О, 06 = Ог! =! и коэффициентом корреляции р= р(с, г)). Показать, что Е тах((з, г1з) < 1+ /à — оэ. 9. Используя равенство! — „= П (1 — )д,.), доказать формулу Р(Вв) = О Д, 1=! =1-5~+5э-...~5„из задачи 6 $1. 10. Если ~н ..., ф— независимые случайные величины, р~ = р1(СО ... ..., 6») и таз =Чае((»ч н ..., Са) — две функции от (н ..., С» и С»+н ..., С, соответственно, то случайные величины»а, и»ад независимы. йа схемА БеРнулли. !. 3АкОн БОльших чисел 11, Показать, что случайные величины (ь ..., С„независимы тогда и только тогда, когда для всех хь ..., х„ Е~, с„(хь ..., х„) =Бе(х~)...Ро(х„), где Р~,„л„(хь ..., хп)=Р® <хь.", чл <хл). 12. Показать, что случайная величина С не зависит от самой себя (т. е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5119
Авторов
на СтудИзбе
445
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее