Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 9

Исключение, впрочем, представляет случай, когда одно из чисел к,,б, у, к+ф равно нулю; но для этого случая равенство не- посредственно очевидно, Наконец, свойство: П1 6' иэ с«».Р и у=-0 следует к у р у проверяется без труда. Неравенство к»р равносильно к-р 0; тогда по «правилу знаков» и (к-р) у .О. Но умножение имеет распреде- лительное свойство и относительно разности, так что к.у-у у О, а отсюда к.у»ф у.

16. Заключение. Остается упомянуть еще об «аксноме А р х им е д а». 1«' 1' каково бы ни было вещественное число у, существуеп» и а т уральное число и, большее у. Проверка ее легка: ведь в верхнем классе сечения С~С', определяющего число у, найдется большее его рациональное число с', а для рациональных чисел этот принцип имеет место. Теперь можно, наконец, считать установленным, что в области всех вещественных чисел полностью сохраняются правила элементарной алгебры, относящиеся к четырем арифметическим дейсп»виям и к сочетанию равенств и неравенств. 17.

Абсолютные величины. В интересах дальнейшего, присовокупим еще несколько замечаний об а б с о л ю т н ых величинах. Прежде всего, установим, что неравенство: ~к~ р (где, конечно, Р О) равносильно двойному неравенству: - 5 к .1». Действительно, из ~к~,5 следует, что одновременно к ф и — к. р, т. е. к > — б. Обратно, если дано, что к;5 и к — ф, то имеем одновременно: к ф и — к ф; но одно из этих чисел к, -к и есть ~к~, так что наверное (к( .р.

Аналогично, оказываются равносильными и неравенства: (к~ тр и — ф-«икай. 5В) 6 ч. пгиложвния вашвстввнных чисел 35 Докажем, далее, полезное неравенство: ! +Р! ! !+!Р!. Складывая почлевно очевидные неравенства — -ю! !в!* получим -(!а!+ !Р!)= +Р=!«!+ !Р!, откуда, в силу сделанного выше замечания, и вытекает требуемое неравенство. С помощью математической индукции оно распространяется на случай любого числа слагаемых: Р+ " -у! ! !+!Р! -" +!у!- Если заменить в доказанном неравенстве ф на -ф, то получим ! -Р! ! !+!Р!.

Так как а=(а+ф) — ф, то !а!~!и+ф!+ !ф!, или !а+ф!-!а! — ф!. Аналогично ! !-!р! ! -Р!. Так как одновременно и !Р!-!«! ! -Р!, то, очевидно, !! !-!Р!! ! -Р!. Все эти неравенства будут полезны в теории и р е д е л о в. $ 4. Дальнейпше свойства н приложения вещественных чисел 18. Существование корня. Степень с рациональным показателем. Определение умножения (и деления) вещественных чисел непосредственно приводит, как и обычно, к определению степени с целым положительным (и отрицательным) показателем.

Переходя к степени с вообще рациональным показателем, остановимся прежде всего на вопросе о существовании корня. Как мы помним, отсутствие в области рациональных чисел простейших корней послужило одним из поводов к расширению этой области; проверим же, в какой мере произведенное расширение заполнило старые пробелы (не создав при этом новых). Пусть а — любое вещественное число, л — натуральное число. Как известно, корнем л-й степени из числа а называют такое вещественное число $, что $л=а 118 ввндинии.

винзистиянныл числя Мы ограничимся случаем, когда а положительно, и будем искать положительное же $, удовлетворяющее этому соотношению, т. е. так называемое арифметическое значение корня. Мы докажем, что такое число с всегда существует, и притом только одно. Последнее утверждение относительно единственности числа с, впрочем, сразу следует из того, что разным положительным числам соответствуют и разные степени их: если О $ Г, то бе. е'".

Если существует такое рациональное число г, п-я степень которого равна а, то оно и будет искомым числом б. Поэтому впредь достаточно ограничиться предположением, что такого р а ц и о н а л ьног о числа нет. Построим теперь сечение Х~Х' в области всех рациональных чисел следующим образом. К классу Х отнесем все отрицательные рациональные числа и нуль, а также те из положительных рациональных чисел х, для которых х" а. К классу Х' отнесем положительные рапионалъные числа х', для которых х'".

сс. Легко видеть, что классы зти не пустые и что Х содержит и положительные числа. Если взять, например, натуральное число пз так, 1 и 1 чтобы было — а пг то и подавно — а- гп" так что число— УН юя гл входит в Х, а число гп — в Х'. Прочие требования, предъявляемые к сечению, проверяются непосредственно. Пусть теперь с будет число, определяемое сечением Х~Х'; дока« жем, что с =а, т. е. что с=)'а.

Рассматривая Р как произведение п сомножителей, равных с, на основании определения произведения положительных вещественных чисел 114) заключаем, что х«-«с«««х'е, если х и х' суть положительные рациональные числа, для которых О х с х'. Так как, очевидно, х принадлежит классу Х, а х' — классу Х', то, по определению этих классов, одновременно и хе(ак т л.

Но разность х'-х может быть сделана меньшей любого числа е О (9, замечание), причем ничто не мешает считать х' меньшим некоторого наперед фиксированного числа хе. В таком случае рази ость х'"-х =(х' — х)(х'"-'+х х'" — '+ .. +х"-') е пх'"-' т. е. также может быть сделана сколь угодно малой*). Отсюда, пс лемме 2, и следует равенство чисел с" н а. «) Заметим, что число е лх«л ' становится меньшим любого числа е' -О, сслг е' взять е ел'л — 1 ' « ь ь пРилОжения Вещественных чисел 37 После того как доказано существование корня, обычным путем устанавливается понятие степени с любым рациональным по- казателем г и проверяется, что для таких степеней справедливы обыч- ные правила, выводимые в курсе элементарной алгебры: аг а"=а'+", аг:а" а' ", (аг)г' = а" ", (ар)г = аг ~у, Н вЂ”, и др.

Подчеркнем еще, что при а .1 степень аг возрастает с воз- растанием рационального показателя г. 19. Степень с любым вещественным показателем. Обратимся к определению степени любого вещественного (по ложительного) числа а с любым вещественным показателем б. Введем в рассмотрение степени числа а вь и вь' с рациональнымн показателями Ь и Ь', удовлетворяющими неравен- ствам аь«у«аь (1) Легко убедиться в том, что такое число всегда существует. дей ствительно, множество степеней 1вь) ограничено сверху, например, любой степенью а".

Возьмем тогда [111 ~аь) в Для этого числа будем иметь „ь,, аь~ На деле же знак равенства здесь не нужен, ввиду возможности у в ел ичить Ь и уменьшить Ь', так что построенное число у удовлетворяет условиям (1). Обратимся теперь к доказатсльству единственности числа, определяемого этими условиями.

Для этого, прежце всего, заметим, что лемма 2 181 сохраняет свою силу н в том случае, если опустить требование, чтобы числа з, з' и в ') Этим случаем можпо ограппчатьск при а ! полагаем, вапрлмер, Ь. р'«Б'. Степенью числа а 1*) с показателем ф называют (и обозначают символом ар) вещественное число у, содержащееся между степенями аь и аь' зв ВВвдвнив. Вввьвстввниыв числА были непременно р а ц и о н а л ь н ы м и; доказательство остается то же.

Затем, установим одно весьма простое, но часто полезное неравенство, которое иногда связывают с именем Як. Б е р н у л л и (Гас. Веглоийь): если и — натуральное число, болыиее единиььы, и у 1, ьно у" э-1+ н(у — 1). (2) Действительно, положив у=1+2, где1 О, по формуле бинома Н ь ютона будем иметь (1+2)л 1+ 1+ так как ненаписанные члены положительны, то (1+1)" ~1+л1, что равносильно неравенству (2). 1 Положив здесь у=а"(а 1)„получим неравенство 1 а — 1< —, (3) которым мы сейчас и воспользуемся.

Мы знаем, что числа Ь и Ь' можно выбрать так, чтобы разность 1 Ь' — Ь была меньше — при любом наперед заданном натуральном и; тогда, по неравенству (3), 1 „ь „ь аь(аь -ь 1).,аь(а' 1) аьа и Так как Ь меньше любого (но фиксированного) Ьь, то достаточно взять аь:(а-1) и» ь где е — произвольно малое положительное число, чтобы было аь аь,аь В таком случае, по обобщенной выше лемме 2, между границами аьиаь'неможетсодержатьсядвух различных чисел у. Если ф рационально, то данное выше определение возвращает нас к обычному пониманию символа ае. Легко проверить, что для степени с любьпе вещественным показателем выполняются все обычные для степени правила.

Остановимся для примера на доказательстве правила сложения показателей при умножении: Ь 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕЩЕСЗВЕННЫХ ЧИСЕЛ зз Пусть Ь, Ь', с, с' — любые рациональные числа, для которых Ь»ф Ь', с -у с', по определению суммы (12] Ь+с ф+у Ь'+с', а по определению степени аЬ»КЬС»КЬ' ас»ат»ас' И аЬС.с»аВЬГ»аГС-с' Перемножив почленно первые два двойные неравенства (с учетом того, что для рациональных показателей доказываемое правило уже известно), получим аЬ+с ав.аа»аа+Г.

Таким образом, два числа ая+г и ая ° аг оказываются заключенными между границами аь+', аг+г, которые, как легко показать„могут быть сделаны сколь угоДнО близкими. Отсюда (по обобщенной лемме 2) н вытекает равенство этих чисел. Проверим еще, что при сс -1 степень ая в о з р а с т а е т с возрастанием вещественного показателя р. Если 1) ф, то, вставив рациональное число г между ними: Д . г» р, по самому определению степени с вещественным показателем будем иметь ав а' и а' а~, откуда ая.

ав. 20. Логарифмы. Пользуясь данным определением степени с любым вещественным показателем, теперь легко установить с у щ ество в ание логарифма для любого положительного вещественного числа у при положительном основании а, отличном от 1 (мы будем, например, считать а 1). Если существует такое рациональное число г, что ас у то г и есть искомый логарифм. Предположим же, что такого рацио- нального числа г нет. Тогда можно произвести сечение В]В' в области всех рациональ- ных чисел по следующему правилу. К классу В отнесем рациональные числа Ь, для которых а' у, а к классу В' — рациональные числа Ь', длЯ кОтОрых кь'~у.