Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 7

Длл всякого сечения А ~ А' в области вещественных чисел существует вещественное число б, которое производит это сечение. Это число б будет 1) либо наибольшим в нижнем классе А, 2) либо наименьшим в верхнем классе А'. Это свойство области вещественных чисел называют ее полнотой, а также — непрерывностью (или оплошностьюью). Доказательство. Обозначим через А множество всех рациональных чисел, принадлежащих к А, а через А' — множество всех рациональных чисел, принадлежащих к А'. Легко убедиться, что множества А и А' образуют сечение в области всех рациональных чисел.

Это сечение А~А' определяет некоторое вещественное число 11. Оно должно попасть в один из классов А, А'; предположим, что б попадает, например, в нижний класс А, и докажем, что тогда осуществляется случай 1), а именно, б является в классе А наибольшим. В самом деле, если бы это было не так, то нашлось бы другое число аь этого класса, болыпее б. Вставим (опираясь на лемму 1) между и, и р рациональное число г: аь-~'-Р' г также принадлежит классу А и, следовательно, принадлежит классу А.

Мы пришли к противоречию: рациональное число г, принадлежащее нижнему классу сечения, определяющего число б, больше этого числа! Этим доказано наше утверждение. Аналогичное рассуждение показывает, что если р попадает в верхний класс А', то осуществится случай 2). Замечание.

Одновременное существование в классе А наибольшего числа и в классе А' наименьшего — невозможно; это устанавливается так же, как и для сечений в множестве рациональных чисел (с помощью леммы 1). 11. Границы числовых множеств. Мы используем основную теорему 110], чтобы здесь же установить некоторые понятия, играющие важную роль в современном анализе. (Они понадобятся нам уже при рассмотрении арифметических действий над вещественнымн числами.) Представим себе произвольное бесконечное множество вещественных чисел; оно может быть задано любым образом. Такими ВВедение.

Вев[ествып«ые числА множествами являются, например, множество натуральных чисел, множество всех правильных дробей, множество всех вещественных 1 чисел м е ж д у О и 1, множество корней уравнения зш х=-, и т. п. г' Любое из чисел множества обозыачим через х, так что х есть т и и о в о е обозначение чисел множества; само же множество чисел х будем обозначать через К=(х). Если для рассматриваемого множества (х) существует такое число М, что все х-М, то будем говорить, что наше множество о г р ан н ч е н о с в е р х у (числом М); само число М в этом случае есть верхняя граница множества (х). Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1 или любым числом» 1; натуральный ряд сверху не ограничен.

Аналогично этому: если найдется такое число и«, что все х~«л, то говорят, что множество (х) ограничено снизу (числом и«), а само число т называют нижыей границей множества (х). Например, натуральный ряд ограничен снизу числом 1 илн любым числом 1; множество правильных дробей ограничено снизу числом О или любым числом О. Ограниченное сверху (снизу) множество может быть при этом как ограничено, так и неограничено снизу (сверху). Так, множество правильных дробей ограничено и сверху, и снизу, а натуральный ряд ограничен снизу, но не ограничен сверху.

Если множество сверху (сыизу) не ограничено, то за его верхнюю (нижнюю) граыипу принимают «несобственное число» +- (- -). Относительно этих «несобственных» или «бесконечвь1х» чисел мы считаем, что -+ и — ««~+ У каково бы ни было вещественное («конечное») число а. Знаки +- и — - читаются так: «плюс бесконечность» и «минус бесконечность». Если множество ограничено сверху, т.

е. имеет конечную верхнюю границу М, то одновременно оыо имеет и бесконечное множество верхних границ (так как, например, любое число М, очевидно, также будет верхней границей). Из всех верхних границ особый интерес представляет наименьшая, которую мы будем называть л«о ч н о й верхней границей. Аналогично, если множество ограничено снизу, то ыаибольшую из всех нижних границ будем называть и» о ч н о й нижней границей. Так, для множества всех правильных дробей т о ч н ы м и границами будут, соответственно, О и 1.

Является вопрос: всегда ли для ограниченного сверху (снизу) множества существует т о ч н а я верхняя (нижняя) граница 7 Действительно, так как верхних (нижыих) границ в этом случае бесконечное множество, а среди бескоыечного множества чисел не всегда найдется 1 2. введение иРРАгзионллъных чисел наименьшее или наибольшее*), то самое существование такого наименьшего (наибольшего) числа из всех верхних (нижних) границ рассматриваемого множества требует доказательства. Теорема. Если множество Х=[х) ограничено сверху (снизу), то оно имеет и точную верхюою (нижнюю) границу. Доказательство. Проведем рассуждение по отношению к верхней границе. Рассмотрим два случая: 1' Среди чисел х множества Х найдется наиб о л ь ш е е х.

Тогда все числа множества будут удовлетворять неравенству х~х, т. е. х будет 'верхней границей для ь. С другой стороны, х принадлежит л; следовательно, для любой верхней границы М выполняется неравенство х~М. Отсюда заключаем, что х есть т о ч н а я верхняя граница множества л,". 2' Среди чисел х множества гь нет наибольш е г о. Произведем сечение в области всех вещественных чисел следующим образом. К верхнему классу А' отнесем все верхние границы и' множества У, а к нижнему классу А — все остальные вещественные числа и.

При этом разбиении все числа х множества»ь попадут в класс А, ибо ни одно из ннх — по допущению — не будет наибольшим. Тахнм образом, оба класса А, А' непусты. Это разбиение действительно является сечением, так как все вещественные числа распределены по классам и каждое число из класса А' больше любого числа из класса А.

По основной теореме Д е д е к и н д а [10), должно существовать вещественное число ф, производящее сечение. Все числа х, как принаддежащие классу А, не превосходят этого «пограничного» числа ф, т. е. ф служит верхней грашщей для х, следовательно, само принадлежит классу А' и является там наименьшим. Тахим образом, ~у как наименьшая из всех верхних границ и есть искомая т о ч н а я верхняя граница множества «ь"=[х). Совершенно так же доказывается и вторая половина теоремы (относящаяся к существованию т о ч н о й нюкней границы).

Если М* есть т о ч н а я верхняя граница числового множества 2» =[х), то для всех х будет Возьмем теперь произвольное число а, меныпее М*. Так как М* — наименьшая из верхних границ, то число««наверное не будет верхней границей для множества ь", т. е. найдется такое число х из л, что х' а. Этими двумя неравенствами вполне характеризуется точная верхняя граница множества Х. «) Квв их пет, например, среди всех правпльаих дробей. ВВедение.

Вещественные числА [12 Аналогично, т о ч н а я нижняя граница т* множества К характеризуется тем, что для в се х х из К х т* и, каково бы ни было число ф, большее т*, найдется число х" из К такое, что х" р. Для обозначения точной верхней границы Мв и точной вижией границы т* множества чисел л употребляют символы М*=внрЖ=вар (х), т*=шГК=1В1'(х) (по-латыни: впргешпш — наивысшее, ййшшш — наинизшее).

Отметим одно очевидное умозаключение, которое часто будет встречаться в дальнейшем: если все числа х некоторого множества удовлетворяют неравенству х~М, то и вар(х)~М. Действительно, число М оказывается о д н о й из верхиих границ множества, а потому наименьшая из всех верхних границ его не превосходит. Аналогично, из неравенства х-т следует, что и 1ЛЕи-т.

Условимся, наконец, если множество го =-(х) не ограничено сверху, говорить, что его точная верхняя граница есть +-: внр (х)=+ Аналогично, если множество К = (х) не ограничено снизу, то говорят, что его точная нижняя граница есть —: 1ВХ(х) = — -. й 3. Арифметические действия над вешественвыми числами 12. Определеиие суммы Вещественных чисел. Обратимся теперь к установлению понятия о действиях над вещественными числами. Греческие буквы а, р, у в последующем означают именно вещественные числа, как рациональные, так и иррациональные. Пусть имеем два вещественных числа и и ф. Станем рассматривать рациональные числа а, а' и Ь, Ь', удовлетворяющие неравенствам: а<и а' и Ь ф Ь'.

(1) С у м м о й и ь р чисел а и ф назовем такое веи1ественное число у, которое содержится между всеми суммами вида аьЬ, с одной стороны, и всеми суммами вида а'+Ь', — с другой: (2) а+Б~у~а'+Ь'. Удостоверимся, прежде всего, что такое число у существует для любой пары вещественных чисел а, (), 3 3. АРИФмвтическив двйствия тз) 29 Рассмотрим множество всевозможных сумм а+ Ь. Это множество ограничено сверху, например, лю бой суммой вида а'+Ь'. Положим же [1Ц у =вар (а+ Ь).

Тогда ач-Ь-у и, в то же время, у-а'+Ь'. Так как, каковы бы ни были рациональные числа а, Ь, а', Ь', удовлетворяющие условиям (1), всегда можно числа а, Ь у в е л и ч н т ь, а числа а', Ь' уменьшить с сохранением этих условий, то в полученных только что неравенствах, соединенных с равенствами, р авенства на деле ни в одном случае быть не мож е т. Таким образом, число у удовлетворяет определению суммы. Возникает, однако, вопрос, о д н о з н а ч н о ли сумма уи-а+ф определяется неравенствами (2). Для того чтобы убедиться в е д и нственно сти суммы, подберем, по замечанию в 9, рациональные числа а, а', Ъ, Ь' так, чтобы было а' — а е и Ь'-Ь.

е, где е — произвольно малое рациональное положительное число. Отсюда (а'+Ь) — (а-' Ь)=(а' — а) — , '(Ь' — Ь). 2е, т. е. и эта разность может быть сделана сколь угодно малой*). Атогда,по лемме 2,существует только одно число, содержащееся между суммами а+ Ь и а'+Ь'. Наконец, заметим, что если числа а и ф оба рациональны, то их о б ы ч н а я сумма у = а + Р, очевидно, удовлетворяет неравенствам (2). Таким образом, данное выше общее определение суммы двух вещественных чисел не противоречит старому определению суммы двух рациональных чисел. 13.