Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 8

Свойства сложения. Легко удостовериться, что для вещественных чисел сохраняются свойства: 11 1 а+ф=-ф+щ П 2а (а+)з)+у=и+(ф+у)' П Зол+О а Докажем, например, последнее. Если рашюнальные числа а. а', Ь, Ь' таковы, что а. в<а', Ь<0. Ь', то„очевидно, а-Ь а~а~а'~а'+Ь'. *) Число 2е сзввовится мсиылим псбсто числа е' ~-0, если взять е 2 зо ВВВДВние.

ВешестВенныа числА Пз Таким образом, а есть вещественное число, заключенное между числами Вида а+Ь и а'+Ь', между которыми заключена, по определению, и сумма аьО. Но такое число может быть только одно; поэтому а+О=а, что и требовалось доказать. Обратимся к свойству П 4' и докажем, что для каждого вещественного числа а существует (симметричное ему) число — а, удовлетворяя«щее условию а+(-а) =О. Прн этом достаточно ограничиться случаем иррационального числа а. Предполагая, что число а определяется сечением А ~А', мы определим число -а следующим образом. К нижнему классу А числа -а мы отнесем все рациональные числа — а', где а' — любое число класса А', а к верхнему классу А' этого числа отнесем Все числа — а, где а — любое число класса А.

Нетрудно видеть, что построенное разбиение есть сечение и, действительно, определяет вещественное (в данном случае — иррациональное) число: это число обозначим — а. Докажем теперь, что оно удовлетворяет указанному выше условию. Пользуясь самим определением числа — а, видим, что сумма а+( — а) есть единственное вещественное число, заключенное между числами вида а — а' и а'-а, где а и а' рашюнальны и а«а а'.

Но, очевидно, а — а'~О~а' — а, так что и число О заключено между только что упомянутыми числами. Ввиду единственности числа, обладающего этим свойством, имеем а ~-(- а) =О, что и требовалось доказать. Наконеп, установим свойство: П 5' из а~р следует а-«у р+у. Если а .р, то между ними можно вставить д в а рациональных числа «, и «,: «, «,,9. По замечанию в 9, существуют такие два рациональных числа с и с, что с .у. с' и с' — с «,— «. Отсюда «,-«с -«,+с', а по определению суммы а+у «,+с, «,~с' 5~«у.

Сопоставляя все эти неравенства, мы и приходим к требуемому заключению, Таким образом, по отношению к сложению область вещественных чисел обладает всеми основными свойствами П 1' — 5', которые в 3 были первоначально сформулированы для рациональных чисел. 3 3. Аииомитические дейстВия 141 Следовательно, на вещественные числа автоматически переносятся и все формально логические следствия нз этих свойств. В частности, для вещественных чисел может быть букв ал ь н о повторено все, сказанное в 3 непосредственно после изложения П группы свойств, т.

е. могут быть доказаны существование и однозначность разности и-Ь' чисел и и д, установлено понятие абсолютной величины числа и (для которой мы сохраняем обозначение 1и ~) и т. д. 14. Определение произведения вещественных чисел. Перейдем к умножению вещественных чисел, ограничиваясь сначала положительными числами. Пусть же даны два таких числа а и д. Мы здесь также станем рассматривать всевозможные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам (1), но и эти числа предположим положительными.

Произведением ад двух положительных вещественных чисел и и ф назовем такое вещественное число у, которое содержится между всеми произведениями вида аЬ, с одной стороны, и всеми произведениями вида а'Ь', — с другой: аЬ. у а'Ь'. (3) Для доказательства существования такого числа у возьмем множество всевозможных произведений аЬ; оно ограничено сверху л юб ым из произведений вида а'Ь'. Если положить у =епр (аЬ), то, конечно, аЬ ву, но одновременно и у~а'Ь'. Возможность увеличить числа а, Ь и уменьшить числа а'„Ь' (как и в случае суммы) позволяет исключить здесь знак равенства, так что число у удовлетворяет определению произведения. Единственность произведения вытекает из следующих соображений.

Подберем, по замечанию в 9, рациональные числа а, а' и Ь, Ь' так, чтобы было а'-а~е и Ь' — Ь~е, где е — произвольно малое рациональное положительное число. При этом можно считать, что числа а н Ь положительны, а числа а' и Ь' не превосходят, соответственно, некоторых наперед фиксированаых чисел а,' и Ьо. Тогда разность а'Ь'-ад=а'(Ь'-Ь)ИЬ(а'-а) (а,'+Ьо).е, т.

е. также может быть сделана сколь угодно малой в), а этого, по ч) Заметим, что (аььэь)е стаиовитсЯмеиыпимлгобого числа е' О, если вззть о,-ьь 32 115 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА лемме 2, достаточно для утверждения, что неравенствам (3) может удовлетворять только одно число у. Если положительные числа к и р оба рациональны, то их о б ы ч н о е произведение у=к 3 удовлетворяет, очевидно, неравенствам (3), т.

е. получается таким же и по общему определению произведения двух вещественных чисел — противоречия нет. Наконец, для того чтобы определить произведение произвольной пары вещественных чисел (не обязательно положительных), заключшн следующие соглашения. Прежде всего„условимся, что к.О=О к=О, каково бы ни было к. Если же оба множителя отличны от О, то положим в основу обычное зправнло знаковь: к ф = (к! ° ф), если к и ф одного знака, к 3= †(1к! ° (ф!), если к и 3 разных знаков (чтб означает произведение п о л о ж и т е л ь н ы х чисел )к ! и ф !— мы уже знаем). Эти соглашения, как мы видели в 4, в некотором смысле обязательны для нас, если мы хотим, чтобы действия над вещественными числами обладали всеми основными свойствами действий над рациональными числами.

15. Свойства умножения. Как и в случае рапиональных чисел, для любых вещественных чисел сохраняются свойства: 1~ к 3=3 ЕП2'( Р) у= (Р у); 1П 3' к ° 1=к. Для примера докажем второе из них, начав со случая, когда все три числа — к, ф, у — положительны. Пусть а, а', Ь, Ь', с, с' — произвольные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам О«а к«а', О«Ь ф«Ь', О«с у«с'. Тогда, по самому определению произведения двух вещественных чисел, имеем аЬ- к,у. а'Ъ' и Ьс фу. Ь'с'. Пользуясь еще раз тем же определением, получим (аЬ)с.

(кб)у. (аЪ')с' и а(ЬС) кфу)- а'(Ь'с'). Так как для рациональных чисел доказываемое свойство уже известно, то вещественные числа (кф)у и к(ру) оказываются заключенными между одними и теми же границами: (аЬ)с = а(Ьс) и (а'Ь')с' = а'(Ь'с'). 1 3.лвиФметические дейстВия зз 151 Но легко показать, что за счет сближения множителей а и а', Ь и Ь', с и с' межеу собой и разность произведений а'Ь'с' — аЬс может быть сделана сколь угодно малой (при этом можно использовать подобное же утверждение в 14 относительно произведений двух множителей). Отсюда, по лемме 2, и получится заключение о равенстве чисел (асб)у и сс(Ру).

од „Л П ИЗВОЛЬНЫХ ЗНаКОВ ПРОИЗВОДИТСЯ НЕ посредственно, если учесть лишь «правило знаков». Если же хоть одно из чисел а, сд, у равно О, то оба произведения обращаются в О. Обратимся к свойству: П1 4' для каждого вещественного числа а, отличного от нуля, 1 существует (обратное ему) число —, удовлетворяющее условию: 1 ас ° -=1. а Достаточно ограничиться случаем ир р а ц и о н а л ь н о г о числа а. Пусть сначала «с О. Если «с определяется сечением А~А', то мы следующим образом 1 построим сечение для числа —. К нижнему классу его А мы отнесем все отрицательные рациональные числа и нуль, а также все числа 1 вида —, где а' — любое число класса А'; в верхний же класс А' пол 1 местим все числа вида —, где а — любое положительное число класса А.

Легко убедиться, что мы, таким образом, действительно получаем сечение, которое определит положительное вещественное (в данном случае — иррациональное) число; зто число 1 обозначим Покажем, что оно удовлетворяет требуемому условию. Если учесть построение обратного числа, то, по самому определению ! произведения, число а — есть единственное вещественное а а число, заключенное между числами вида — и — где а и а' — пои' а' ложительиые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам а- а а'. Но и число 1 заключено между упомянутыми числами: а а' — «1 следовательно, оно и является искомым произведением. Если а О, то полагаем 1 1 и !а! ' тогда по «правилу знаков» 1 1 а.-= (а~ — =1. «с (сс~ 3 Г. М.

Ф««с««со«»сь Ф 3 34 ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА После того как мы убедились, что и по отношению к умноже- нию область вещественных чисел обладает всеми основными свой- ствами П1 1'-4', ясно, что для этой области сохраняет силу все ска- занное в 4 о существовании и единственности частк ного — чисел к иф (при условии, что рнО) и т.д. Ф Распределительное свойство: 1П 5' (к-»ф) у=к у.»ф у также имеет место для любых вещественных чисел, что легко до- казывается для случая положительных чисел (как и свойство 1П 2 ). К этому случаю приводятся все остальные — путем изменения знаков обеих частей равенства или путем переноса членов из одной части в другую.