Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления)

Г М. Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ТОМ 1 Содержание ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЬТЕ ЧИСЛА 8 1. Область рациональных чисел 1. Предварительные замечания 2. Упорядочение области рациональных чисел 3. Сложение и вычитание рациональных чисел 4. Умножениеиделение рациональных чисел 5. Аксиома Архимеда з 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел 6. Определение иррационального числа 7.

Упорядочение области вещественных чисел 8. Вспомогательные предложения 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 10. Непрерывность области вещественных чисел 11. Границы числовых множеств 8 3. Арифметические действия над вещественными числами 12. Определение суммы вещественных чисел 13. Свойства сложения 14. Определение произведения вещественных чисел 15. Свойства умножения 16. Заключение 17.

Абсолютные величины 8 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 18. Существование корня. Степень с рациональным показателем 19. Степень с любым вещественным показателем 20. Логарифмы 21. Измерение отрезков ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 8 1. Варианта и ее предел 22. Переменная величина, варианта 23. Предел варианты 11 11 12 12 14 16 17 17 19 21 22 24 25 28 28 29 31 32 34 34 35 35 37 39 40 43 43 46 24. Бесконечно малые величины 25.

Примеры 26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 27. Бесконечно большие величины 8 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 29. Леммы о бесконечно малых 30. Арифметические операции над переменными 31. Неопределенные выражения 32. Примеры на нахождение пределов 33. Теорема Штольца и ее применения ~ 3.

Монотонная варианта 34. Предел монотонной варианты 35. Примеры 36. Число е 37. Приближенное вычисление числа е 38. Лемма о вложенных промежутках 8 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 39. Принцип сходимости 40. Частичные последовательности и частичные пределы 41. Лемма Больцано — Вейерштрасса 42. Наибольший и наименьший пределы ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 8 1. Понятие функции 43.

Переменная и область ее изменения 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 45. Определение понятия функции 46. Аналитический способ задания функции 47. График функции 48. Важнейшие классы функций 49. Понятие обратной функции 50. Обратные тригонометрические функции 51.

Суперпозиция функций. Заключительные замечания 8 2. Предел функции 52. Определениепредела функции 47 48 52 54 56 56 57 58 60 62 67 70 70 72 77 79 82 83 83 85 87 89 93 93 94 95 98 100 102 108 110 114 115 115 53. Сведение к случаю варианты 54. Примеры 55. Распространение теории пределов 56. Примеры 57. Предел монотонной функции 58.

Общий признак Больцано — Коши 59. Наибольший и наименьший пределы функции 8 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 60. Сравнение бесконечно малых 61. Шкала бесконечно малых 62. Эквивалентные бесконечно малые 63. Выделение главной части 64. Задачи 65. Классификация бесконечно больших 8 4. Непрерывность (и разрывы) функций 66. Определение непрерывности функции в точке 67. Арифметические операции над непрерывными функциями 68. Примеры непрерывных функций 69.

Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 70. Примеры разрывных функций 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции 72. Непрерывность элементарных функций 73. Суперпозиция непрерывных функций 74. Решение одного функционального уравнения 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 78.

Степенно-показательные выражения 79. Примеры 8 5. Свойства непрерывных функций 80. Теорема об обращении функции в нуль 81. Применение к решению уравнений 82. Теорема о промежуточном значении 117 120 128 130 133 134 135 136 136 137 139 141 143 145 146 146 148 148 150 151 154 155 156 157 158 160 162 165 166 168 168 170 171 83. Существование обратной функции 84. Теорема об ограниченности функции 85. Наибольшее и наименьшее значения функции 86. Понятие равномерной непрерывности 87. Теорема Кантора 88. Лемма Бореля 89.

Новые доказательства основных теорем ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ 8 1. Производная и ее вычисление 90. Задача о вычислении скорости движущейся точки 91. Задача о проведении касательной к кривой 92. Определение производной 93.Примеры вычисленияпроизводных 94.Производная обратной функции 95. Сводка формул для производных 96.

Формула для приращения функции 97, Простейшие правила вычисления производных 98. Производная сложной функции 99. Примеры 100. Односторонние производные 101. Бесконечные производные 102. Дальнейшие примеры особых случаев 9 2. Дифференциал 103. Определение дифференциала 104. Связь между дифференцируемостью и существованием производной 105. Основные формулы и правила дифференцирования 106. Инвариантность формы дифференциала 107. Дифференциалы как источник приближенных формул 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей з 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 109. Теорема Ферма 110.

Теорема Дарбу 111. Теорема Ролля 112. Формула Лагранжа 172 174 175 178 179 180 182 186 186 187 189 193 196 198 198 199 202 203 209 209 211 211 211 213 215 216 218 220 223 223 224 225 226 113. Предел производной 114. Формула Коши 8 4. Производные и дифференциалы высших порядков 115. Определение производных высших порядков 116. Общие формулы для производных любого порядка 117.

Формула Лейбница 118. Примеры 119. Дифференциалы высших порядков 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков 121.Параметрическое дифференцирование 122. Конечные разности 8 5. Формула Тейлора 123. Формула Тейлора для многочлена 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано 125. Примеры 126.

Другие формы дополнительного члена 127. Приближенные формулы 8 6. Интерполирование 128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 129. Дополнительный член формулы Лагранжа 130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ 8 1. Изучение хода изменения функции 131. Условие постоянства функции 132. Условие монотонности функции 133. Доказательство неравенств 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 135. Достаточные условия.

Первое правило 136. Примеры 137. Второе правило 138. Использование высших производных 139. Разыскание наибольших и наименьших значений 228 229 231 231 232 236 238 241 242 243 244 246 246 248 251 254 257 263 263 264 265 268 268 270 273 276 278 280 284 286 288 140. Задачи 8 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 143.

Условия выпуклости функции 144. Неравенство Иенсена и его приложения 145. Точки перегиба 9 3. Построение графиков функций 146. Постановка задачи 147. Схема построения графика. Примеры 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 149. Примеры 9 4. Раскрытие неопределенностей 150. Неопределенность вида О/О 151. Неопределенность вида со/сс 152. Другие виды неопределенностей 8 5. Приближенное решение уравнении 153. Вводные замечания 154.

Правило пропорциональных частей (метод хорд) 155. Правило Ньютона (метод касательных) 156. Примеры и упражнения 157. Комбинированный метод 158. Примеры и упражнения ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 9 1. Основные понятия 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 160. Функции двух переменных и области их определения 161. Арифметическое и-мерное пространство 162. Примеры областей в п-мерном пространстве 163.

Общее определение открытой и замкнутой области 164. Функции п переменных 165. Предел функции нескольких переменных 166. Сведение к случаю варианты 167. Примеры 168. Повторные пределы 290 294 294 296 298 301 303 305 305 306 308 311 314 314 320 322 324 324 325 328 331 335 336 340 340 341 345 348 350 352 354 356 358 360 8 2. Непрерывные функции виях 8 4. Производные в дифференциалы высших порядков 189. Производные высших порядков 190. Теорема о смешанных производных 191. Обобщение 192. Производные высших порядков от сложной функции 193.

Дифференциалы высших порядков 194. Дифференциалы сложных функций 195. Формула Тейлора 8 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 170. Операции над непрерывными функциями 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано — Коши 172.

Лемма Больцано — Вейерштрасса 173. Теоремы Вейерштрасса 174. Равномерная непрерывность 175. Лемма Бореля 176. Новые доказательства основных теорем 176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 177. Частные производные и частные дифференциалы 178. Полное приращение функции 179. Полный дифференциал 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных 181. Производные от сложных функций 182.

Примеры 183. Формула конечных приращений 184. Производная по заданному направлению 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычисле 187. Однородные функции 188. Формула Эйлера 362 362 364 365 367 369 370 372 373 373 375 378 381 383 386 388 390 391 394 396 399 400 402 402 404 407 408 410 413 414 417 417 419 198. Достаточные условия (общий случай) 199. Условия отсутствия экстремума 200. Наибольшее и наименьшее значения функций.