Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 4

Область рациональных чисел 1. Предварительные замечании. Из школьного курса читателю хорошо знакомы рациональные чнсла и нх свойства. В то же время, уже потребности элементарной математики приводят к необходимости расширения этой числовой области. Действительно, среди рациональ. иых чисел не существует зачастую корней даже из целых положй тельных (натуральных) чисел, например, рг2, т. е. нет такай рациональной дроби р (где р и а — натрральные числа), квадраеь ко.

ч торой был бы равен 2. Лля доказательства этого допустим противное: пусть существует такая дробь †, что ~ †! = 2. Мы вправе считать эту дробь несор lр1* в' ~в! кратимой, т. е. р и ц лншййнымн общих множителей. Так как р'=2аа, .то р есть число четное: р=2г (г †цел) и, следовательно, д— нечетное. Подставляя вместо р его выражение, найдем: уь=2гь, откуда следует, что а †четн число. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

Одновременно с этим, если бы мы оставались в области одних лишь рациональных чисел, в геометрии заведомо не зсе отрезки могли бы быть снабжены длинами. В самом деле, рассмотрим квадрат со стороной, равной единице длины. Его диагональ не моасет иметь рациональной длины †, ибо, в противном случае, по Р в теореме П и ф а г о р а, квадрат этой длины был бы равен 2, что, как мы видели, невозможно.

В настоящем введении мы ставим себе задачей расширить область рациональных чисел„ присоединив к ним числа новой природы— н р р а ц и о н а л ь н ы е. Вместе с тем мы покажем, что в расширенной областн останутся справедливыми все привычные свойства рациональных чисел, относящиеся к арифметическим действиям над ними и к сочетанию их с помощью знаков равенства и неравенства. Для того чтобы сделать реально возможной проверку упомянутых свойств для расширенной числовой области, очень важно выделить наименьшее ВВиденив.

ВещестВенныВ числа количество основных свойств, из которых все остальные вытекали бы уже как формально-логические следствия: тогда проверке будут подлежать лишь эти основные свойс т в а. В связи с этим мы приводим ниже перечень основных свойств области рациональных чисел. Попутно мы на ряде примеров показываем, как другие известные их свойства выводятся из основных совершенно формально. Говоря о «числах», мы здесь всегда имеем в виду рациональные числа: буквы а, Ь и т. д.

обозначают именно их. 2. Упорядочение области рациональных чисел. Условимся с самого начала, что р а в н ы е числа мы будем- рассматривать, как о д н о и то же число в разных формах. Иными словами, для нас понятие «равно» (=) означает «тождественно». Поэтому мы не перечисляем свойств равных чисел. Упорядочение рациональных чисел достигается с помощью понятия «больше» ()), с которым связана перва я г руина свойств: 1 1' для каждой пары чисел а и Ь имеет меспго одно, и только одно, из соотношений а=д, а)Ь, Ь)а; 1 2' из а)Ь и Ь» с следует а)с (транзитиеное свойство знака ))! 1 3' если а)Ь, то найдется также такое число с, что а)сис)Ь» (сзойстео плотности). Понятие «меньше» (() вводится уже как производное.

Именно, Говорят, что а(Ь в том, н только в том, случае, если Ь)а. Легко видеть, что из а(Ь и Ь(с следует, что а(с (транзитнвное свойство знака (). Действительно, неравенства а(Ь и Ь(с равносильны, по условию, неравенствам Ь)а н с)Ь; отсюда следует с)а (1 2') или, что то же, а(с. Лальнейшне свойства понятия «больше», свяаанные с арифметическими действиями над рациональными числами, будут указаны ниже.

3. Сложение и вычитание рациональных чисел. В т о р а я группа свойств связана со сложением, т. е. с операцией нахождения суммы двух чисел. Дла каждой пары чисел а и Ь существует (единственное) число, называемое суммой а и Ь (его обозначают а + Ь). Это понятие обладает свойствами: И 1ь а+Ь=Ь+а (переместительное сеойстео славке ния); «В этих условиях говорят также, что число с лежит между чнслаии а и Ьг очевидно, таких чисел будет бесчислейное множество. $1, овласть национальных чисвл П 2' (а+Ь)+с=а+(Ь+с) (сочетателвное свойство сложения). Особая роль н у л я хврактеривуется свойством: П 3' а+О=а; кроме того, П 4' для каждого числа а сушествует число — а (симме- т р и ч н о е ему), та ное, что а + ( — а) = О, На основе этих свойств, прежде всего, исчерпывается вопрос о вычитании„как действии, обратном сложению.

Если разностью чисел а и Ь, как обычно, называть такое число с, для которого с +Ь= а в, то встает вопрос о существовании такого числа и о его единственности. Положив с=а+( — Ь), получим [П 2', 1', 4', 3~]: с + Ь = [а + ( — Ь)] + Ь = а + [( — Ь) + Ь] = = а + [Ь + ( — Ь)] = а + 0 = а, так что это число с удовлетворяет определению разности. Пусть, обратно, с' есть равность чисел а и Ь, так что с' + Ь=а. Прибавив к обеим частям этого равенства по ( — Ь) и преобразуя левую часть [П 2', 4', 3']: (с'+ Ь)+( — Ь) ="+ [Ь+( — Ь)] = "+ О =г заключим„что с'=а+( — Ь)=с. Таким образом, доказаны существование и однозначностьь разности чисел а и Ь; обозначают ей а — Ь.

Из однознзчности разности вытекает ряд следствий. Прежде всего, из П 3' следует О=а — а, и мы закл|очаем, что, кроме числа О, не существует числа, которое обладало бы свойством, аналогичным П 3'. Далее, отсюда же вытекает единственность .числа, симметричного данному: — а = 0 — а. Так как из а+( — а)=0 следует ( — а)+а=о [П 1в], то оказывается, что а= — ( — а), т. е. числа а и — а являются взаимно симметричными. Установим еще такое свойство симметричных чисел; — (а+Ь)=( — а)+( — Ь); для этого достаточно доказать, что (а+ь)-]-[( — а)-]-( — Ь)]=о, а это вытекает из П 1, 2; 4; 3'. Наконец, приведем ещй одно свойство, связывающее знак) со знаком суммы: П 5' ив а)Ь следует а+с)Ь+с.

в Ввиду П 1; вто равенство, определяющее разность, можно написать в таад а+с=а. ВВелеиие. ВежестВеииые числА [4 Оно устанавливает право к обеим частям неравенства прибавлять поровну; с его помощью доказывается равносильносп неравенств а»Ь и а-Ь О. Далее, нз а Ь следует — а< -Ь. Действительно, а .Ь влечет за собой а-Ь=.О; но а-Ь=а+(-Ь) =(-Ь)+а=(-Ь)+( — (-а)] = =(-Ь) — ( — а), так что неравенство зто можно переписать так: ( — Ь) — (-а) .О, откуда — Ь --а или — ૠ— Ь.

В частности, из а»0 следует — а О, и из а 0 следует -а»0. Если а ~0, то из двух взаимно симметричных чисел а, -а одно (и только одно) будет больше 0; его именно и называют абсолютной величиной как числа а, так и числа -а, и обозначают символом а! = ~ -а(. Абсолютную величину числа нуль полагают равной нулю: !01=0. На свойстве П 5' основывается возможность почленного складь~- вания неравенств: из а=-Ь и с -4 следует а-~с .Ь+Ы. В самом деле„ ива»Ь следует а+с»Ь с; в свою очередь, из с»с(следует с+Ь с(+Ь или [П 1') Ь+с Ь+4 а тогда, в силу 1 2', окончательно получаем а+с»Ь+сь 4.

Умножение и деление рациональшвк чисел. Т р е т ь я группа свойств связана с умножением, т. е. с операцией нахождения произведения двух чисел. Для каждой пары чисел а н Ь существует (единственное) число, называемое и р о и введениемм а и Ь (его обозначают а Ь или просто аЬ). Это понятие обладает свойствами: П1 1' аЬ=Ьа (нереместительное свойство умножения); П1 2' (аЬ)с=а(Ьс) (сочетательное свойство умножения). Особая роль е д и н и ц ы характеризуется свойством: П1 3' а 1=а; кроме того, П1 4' для каждого числа а, отличного от О, существует число 1 1 — (о бр а т н о е ему), такое, что а. - = 1. а в Вопрос о дел е н н и, как о действии, обратном умножению, решается на основе свойств умножения так же, как выше был решен вопрос о вычитании на основе свойств сложения.

Обратное число здесь будет играть ту же роль, какую там играло симметричное число. % Ь ОБЛАСТЬ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ !5 Назовем ч а с т и ы м чисел а и Б (где делитель Ь всегда предпо- лагается отличным от 0) такое число с, что в) с.Ь=а. 1 Этому определению можно удовлетворить, положив с = а -„, .1,ак как [П1 2о 1о 4о 3о).

с.Ь=1[а Ь) ° Ь=а [1-.Ь) =и (Ь ° 1)=а 1=а. Обратно, если число с' удовлетворяет определению частного чи- сел а и Ь, так что с' Ь=а, то, умножив обе части этого равенства на — и преобразуя левую часть [1П 2, 4', 3'[: 1 (с' Ь) ° — =с' [Ь -)=с' ° 1=с', 1 получим, что с'=а -=с. Таким образом, доказаны существование и одно- зн ачиость частного чисел а и Ь (при условии, что Ь мО); обозначают его а: Ь или — . Из однозначиости частного выводим, что, кроме числа 1, нет числа, которое обладало бы свойством, аналогичным 1П 3'.

Затем отсюда, как и вьппе, вытекает единственность обратного числа (как частного 1 1 и а); кроме того, легко устанавливается, что числа а и — явлаются взаимно обратными. Следующее свойство связывает оба основных арифметических действия — умножение и сложение: 1П 5' (а+Б) с=а с+Ь*с (распределительное свойство умножения относительно суммы). Отсюда легко вывести и распределительное свойство умножения относительно р а зло от и: (а-Ь) с=а с-Ь с. По определению разности, это прямо следует из того, что (а-Ь) с+Ь с=[(а-Ь)+Ь) с=а с.

Применим еще свойство П1 5' к доказательству того, что Ь О=О.Ь=О. В самом деле [П 3') а+О=а, (а+0) Ь=а Ь-|-О.Ь=а Ь, откуда следует 0 Ь=О, а также [П1 1') Ь*0=0. в) Ввиву 111 1, это равенство, опрененпощее частное, можно написать н тав: Ь ° с а. ВВВление. ВещестВенные числА Обратно, если а ° Ь = 0 и Ь НО, то необходимо а= О.

Действительно, о О а=-, но одновременно и 0=- (так как Ь 0=-0), а частное единственно о. Наконец, укажем свойство, связывающее знак . со знаком произведения: ЕИ 6' из а. Ь и с»О следует а с =-Ь ° с. На этом основывается почленное перемножение неравенств с положительными членами. Отсюда же получается, что прн а - 0 и Ь 0 также и а Ь О. Заметим, что (-а).Ь= -(а Ь); зто следует из того, что а Ьо( — а) Ь=[ач( — а)) Ь=О Ь=О.