Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 11

а !. ВАРиАнтА и ее НРедел р =2т)1з(п —. и В других случаях нам может быть неизвестно выражение для общего члена х„последовательности (2). Тем не менее, последователь»есть (2), а с нею и отвечаюи1ая ей варианта, считается заданной, если мы все же владеем правилом, по которому может быть вычислено лю бо е значение варианты, лишь только известен его номер. Поэтому-то, зная правило для приближенного вычисления корней, мы можем считать заданной всю последовательность десятичных приближений к г'2, хотя выражения для его общего члена мы не знаем.

Если варианта — в указанном смысле — задана, то этим не только охарактеризовано все множество принимаемых ею значений в делом, но и определен п о р я д о к, в котором эти значения принимаются; каждому номеру отвечает свое значение варианты, и из двух значений то считается следующим, номер которого больше. Еще раз подчеркнем, что значения варианты не должны быть обязательно различными. Например, если задать варианту одной из формул: х =(-1)л+1; х„= 1 !.( 1)ь хь 1 то соответствующие последовательности будут: 1, 1, 1, 1, г з а 1, 1, з з 1, — 1, з а О, з а 1, — 1, 1, — 1, З 4 1 О, 1, О, 2 2 3 4 В первом случае мы имеем просто постоянную величину, все амножество» принимаемых ею значений сводится к одному.

Во втором— Переменную х, пробегающую последовательность (2), часто обозначают через х„, отождествляя ее с переменным (аобщим») членом этой последовательности. Иногда варианта х задается тем, что указывается н е п о с р е дственно выражение для х„, "так, в случае арифметической или геометрической прогрессии имеем, соответственно, х„= а + (и — 1~0 или х„=а!1» '.

Пользуясь этим выражением, можно сразу вычислять л ю б о е значение варианты по заданному его номеру, не вычислял предыдущих значений. Для периметра правильного вписанного многоугольника такое общее выражение возможно лишь, если внести число и; вообще периметр р правильного вписанного т-угольника дается формулой теоРия пРеделОВ это множество состоит нз двух значений, 1 и — 1, принимаемых поочередно. Наконец, в третьем случае множество значений переменной бесконечно, но зто не мешает значениям переменной через одно равняться О; и мы считаем, что значение О на пятом месте следует не только за значением 1 на втором месте, но и за значением О на первом месте.

23. Предел варианты. Читатель из школьного курса также знаком уже с этим понятием. Вот точное его о п р е д е л е н и е: Поапоянное число а называется пределом варианты х=х„ если для каждого положительного числа е, сколь бы мало оно ни было, существует такой нолгер Ф, юпо все значения х, у которых номер и =-Ф, удовлетворяют неравенству ~х„-а). в.

(3) Тот факт, что а является пределом варианты, записывают так: 11ш х„= а или 1ппх=а (Ыш есть сокращение латинского слова 11шез, означающего «предел»). Говорят также, что переменная стремится на, ипншут х„а или х о. Инойразчислоаназывается пределом последовательности (2), и говорят, что эта последовательность сходится к а. То же определение коротко может быть сформулировано так: Число а есть предел варианты х=х„, если ее значения отличаются от а сколь угодно мало, начиная с некоторого места. Неравенство (3), где в произвольно, и есть точная запись утверждения, что х„от а «отличается сколь угодно мало», а номер Лг как раз и указывает то «место, начиная с которого» это обстоятельство осуществляется. Важно дать себе отчет в том, что номер Аг, вообще говоря, может быть указан раз навсегда: он зависит от выбора ч и с л а е.

Для того чтобы подчеркнуть это, мы иной раз вместо Х будем писать Х,. При уменьшении числа е соответствующий номер Х=йг„вообще говоря„увеличивается: чем большей близости значений варианты х„к а мы требуем, тем более далекие значения ее — в ряду (2) — приходится рассматривать. Исключение представляет тот случай, когда все значения варианты х„равны постоянному числу а. Очевидно, что тогда а = йш х„, но на этот раз неравенство (3) будет выполняться для любого е .

О одновременно при в с е к значеннях х„*). «) Аналогичное обстоятельство имеет место длл варианты х„, значеннл которой становятся равными о, начиная с некоторого месть, » Ь ВАРИАНТА И ЕЕ ПРЕДЕЛ 24) Неравенство (3), как мы знаем (17), равносильно следующим: — е. х — а.«г а (4) а-е. х„а+г; этим мы часто будем пользоваться впоследствии. Если изобразить числа а, а хе и значения х„нашей варианты точками на числовой оси (21] (рис. 2), то получится наглядное геометрическое истолкование предела варианты. Кахой бы малый отрезок хз хвв ь (длины 2г) с центром в точке а ни взять, в с е точки х„, начиная с некоторой из них, должны попасть внутрь этого отрезка (так что вне его может остаться разве лишь конечное число этих точек). Точка, изображающая предел а, является как бы средоточием сгустка точек, изображающих значения варианты.

'24. Бесконечно малые величины. Случай, когда варианта стремится к нулю: х„О, представляет особый интерес. Варианта х„, имеющая своим пределом нуль, называется б е с к онечно малой величиной, или просто бесконечно малойй. Если в определении предела варианты Щ положить а=О, то неравенство (3) примет вид ~хп — О! = !х„~ е (для п .Л',). Таким образом, данное вьппе определение бесконечно малой можно подробнее сформулировать без упоминания термина «предел»: Варианта х„называется бесконечно малой, если она по абсолютной величине становится и остается м е и ь и«е й сколь угодно малого наперед заданного числа г -О, начиная с некоторого мес»па.

Не вполне удачный (исторически сложившийся) термин «бесконечно малая» величина,не должен вводить читателя в заблуждение: ни одно в отдельности взятое значение этой величины, если оно не нуль, не может квалифицироваться, как «малое». Суть дела в том, что это — переменная величина*),которая лишьв процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно взятого числа в. Если вернуться к общему случаю варианты х„, имеющей предел а, то разность ие=х„-а ») Ис»снсчаа ненн«ереснь»й случай, когда она тождественно равна нулю.

ГЛ. Ь ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 48 [25 между переменной н ее пределом, очевидно, будет бесконечно малой: ведь, в силу (3), [сгл( = '[хл — а'[ в (для п)Л'г). Обратно, если ал есть бесконечно малая, то хл а. Это приводит нас к следующему утверждению: Длч того чтобы варианта хл имела своим пределом постоянное число а, необходимо и до стати о чно, чтобыразностьлгежду ними л„=хе — а была бесконечно малой.

В связи с этим можно было бы дать и для понятия впределв другое определение (равносильное старому): Постоянное число а называется и р е д е л о м варианты хл, если разность между ними есть бесконечно малая величина. Разумеется, если исходить из этого определения предела, то для бесконечно малой нужно использовать второе из приведенных вьппе определений.

Иначе получился бы порочный круг: предел определялся бы через бесконечно малую, а бесконечно малая — через предел! Итак, если варианта хл а, то она может быть представлена в виде хл — — а+ ил, где вл есть бесконечно малая, и обратно, если варианта хл допускает такое представление, то оиа имеет пределом а. Этим часто пользуются на практике для установления предела переменной.

25. Првмеры. 1) Рассмотрим варианты 1 1 ( — 1)л+' Хл Хл л л Хл = л им отвечают тахие последовательности значений: 1 1 1 1, 2 3 4 ! 1 1 — 1, 2 3 4 1 1, 2 1 1 3 4 Все три переменные предстаюппвт собой беасонечно малые, т. е. имеют пределом О. действительно, для нвх 1 [Хо[-— и 1 лишь только л †. Таким образом, в качестве ))г,можно, вапример, тять ваиболь- в 1 !1)в) шее целое число, содержащееся в —, т.

е. Е[-)1 ° ) Вообще, через ЕОР) обозначаегся нанболыпее целое число, не превосходящее р, взпь короче, целая часть чгсла р; Е есть начальная буква французского слова Епйег, означающего вцелыйв. 1 Е ВАРИАНТА И ЕЕ ПРЕДЕЛ 49 Отметим, что первая переменная все время больше своего предела О, вторая — все время меньше его, третья же — попеременно становится то больше, то меньше его. 2) Если положить 24(-1)а хл = л то переменная пробегает такую последовательность значений: 3 1 3 1 3 1, 2 3 4 5 б И в этом случае ха О, так как 3 ~х„~ — — « л 3 (3) для л —, так что за Ж, можно принять Е Н .

6 (е~ Мы сталкиваемся здесь с любопытной особенностью: иеремевввя поочередно то приближается к своему пределу О, то удаляется от него. 3) Пусть теперь 14 ( 1)л хл и с этой вариантой мы уже имели дело в конце 22. Здесь также х„О, ибо 2 /2) лишь только л У,=Е~ — /.

Б Опггетим, что для всех нечетных значений и переменная оказывается равной своему пределу. Эти простые првмеры интересны тем, что они характеризуют многообразие тех возможностей, которые охаатмваются давным выше определением предела варианты. Несущественно, лежат ли значения переменной с о д н о й с т о р о н ы от предела или нег, несущественно, приблюкается ли переменная с к а ж дым шагом к своему пределу; несущественно, нахонеп, достигает ли переменная своего предела, т. е.