Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1 (Фихтенгольц - Курс дифференциального и интегрального исчисления), страница 13

Е (для п маге). Как и в случае бесконечно малых, здесь также следует подчеркнуть, что ни одно в отдельности взятое значение бесконечно большой величины не может быть квалифицировано, как «большое»; мы имеем здесь дело с переменной величиной, которая лишь в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа Е. Примерами бесконечно больших могут служить варианты х„=л; х„= -я; х„=(-1У«+»а, которые пробегают натуральный ряд чисел, но первая со знаком плюс, вторая со знаком минус, третья же — с череду»ощямися знаками. Нот сщс один пример бесконечно большой величины: х„=Да при !й! «-1. Действительно, каково бы ни было Е О, неравенство )х„!- )1г)а»Е выполняется, лишь только 1ойЕ ") л !ой)0! ы!ойЕ или и»вЂ” !ой!)г! так что за Фе можно взять число ') Так как !)г! 1, то !ой )й) О.

55 гт1 1 Е ВАРИАНТА И ЕЕ ПРЕДЕЛ Если варианта х„является бесконечно большой и (по крайней мере, для достаточно больших п) сохраняет определенный знак (+ или -), то, в соответствии со знаком, говорят, что варианта х„имеет пр едел + или —, и пишут: 1пп х„= з- или 1пп х„=— х П Можно было бы дать для этих случаев и независимое определение, заменив неравенство ~х„~ -Е, смотря по случаю, неравенством х„Е или х„. — Е, откуда уже вытекает, соответственно, что х„-О нли х„кО.

Очевидно, что бесконечно большая величина х„в о б щ е м с л уч а е характеризуется соотношением: ~х„~ Из приведенных выше примеров бесконечно больших величин, очевидно, варианта х„= и стремится к +, варианта хл = — л стремится к — . Что же касается третьей варианты: хл = (- 1)" + л, то про нее нельзя сказать ни что она стремится к +, ни что она стремитсн к— Наконец, относительно варианты ха=Он прн О 1 можно сказать, что она стремится к Е, а при Π— 1 у нее предела нет.

С несобственными числами * мы уже сталкивались в 10; следует помнить, что их применение имеет совершенно условный смысл, и остерегаться производить над этими ччисламнь арифметические операции. Вместо + часто пишут просто Введение бесконечаых пределов не нарушает теоремы о е д и нетвенности предела, установленной в предыдущем и' (см. 5'); действительно, как указано было там же (4'), варианта, имеющая конечный предел а, является ограниченной и, следовательно, никак не может одновременно стремиться к бесконечному пределу. В заключение упомянем о простой связи, которая существует между бесконечно болыпими и бесконечно малыми величинами: Если варианта х„является бесконечно большой, то ее обратная 1 величина а = — будет бесконечно малой.

х 1 Возьмем любое число е -О. Так как ~х„~, то для числа Е=— найдется такой номер Ж, что !Ал! —, лишь только и г1 1 Тогда для тех же значений и, очевидно, будет 1ал~ в, что н доказывает наше утверждение. 5б 128 Гл. ь твогия пгвделов Аналогично можно доказать и обратное утверждение: Если вариаюпа и„(не обращающаяся в 0) является бесконечно малой, 1 то обратная для нее величина х„= — будет бесконечно большой. $ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 28. Предельный переход в равенстве и неравенстве. Соединяя две варианты х„и у„знаками равенства или неравенства, мы всегда подразумеваем, что речь идет о со ответствующих значениях их, т.

е. о значениях с одним и тем же номером. 1' Если две варианты х„и у при всех их изменениях равны: х„=у„, причем каждая из них имеет конечный предел: Бгох„=а, йшу„=Ь, то равны и эти пределы: а = Ь. Непосредственно следует из единственности предела [26, 5''1. Этой теоремой пользуются обычно в форме предельного и е р е х о д а в р а в е н с т в е: из х„=у„заключают, что 1пп х„= =1)шу„.

2' .Если для двух вариант х„, у„всегда вьтолняется неравенство х„в*у„, причем каждая из них имеет конечный предел: йш х„= а, 1йп у„= Ь; то и а~Ь. Допустим противное: пусть а. Ь. Рассуждая так же, как и в 2б, 5', возьмем число г между а и Ь, так что а«г Ь. Тогда, с одной стороны, найдется такой номер Х', что для и Ф' будет х„. г, с другой же — найдется и такой номер Х", что для п Ф" окажется у„.г. Если Ж больше обоих чисел Ж', Ф", то для номеров и =)з' будут одновременно выполняться оба неравенства х„г, у„- г, откуда х„у„, что противоречит предположению.

Теорема доказана. Эта теорема устанавливает допустимость п р е д е л ь н о г о п е- рехода в неравенстве (соединенном с равенст- в о м): из х„~у„можно заключить, что 1пп х„-1пп у,. Конечно, знак всюду может быть заменен знаком . Мы обращаем внимание читателя на то, что из строгого не- равенствах„у„, вообще говоря, не вытекает строгое же не- равенство 11ш х„1ппу„, а только, по-прежнему: Иш х„~11шу„. Так, 1 1 например, — — — при всех п, н тем не менее 'и и !.111 1пп-=1вп ~ — -) =О, н ~ п) Ф х теоРемы о пРеделАх 291 При установлении существования и величины предела варианты иногда бывает полезна теорема: 3' .Если длЯ ваРиант хл, Ул, гл всегда велполнлютсн неРавенства Хл Ул ==Ел пРичем ваРианть2 хл и зл стРематсЯ к обЩемУ пРеделУ а: 1пп х =йгп Ел=а, то и ваРианта Ул имеет тот зне пРедел: 1йпул=а.

Зададимся произвольным в Ол По этому е, прежде всего, найдется такой номер Ф', что при п 2ч' а-в хл. аче. Затем, найдется такой номер )ч", что при п Л" а — В гл а ве. Пусть Д» будет больше обоих чисел Х' и Ф"; тогда, при а. 1ч', выполняются оба предшествующих двойных неравенства, и потому а-В Хл-Ул -гл -а+В. Окончательно, при и М а-и ул -а*.в или ~у„-а~ в. Таким образом, действительно, 1ппул=а. Из этой теоремы, в частности, следует: если при всех и аыул-ел и известно, что кл а, то и Ул а. ВпРочем, это очень легко Доказать и непосредственно. Теоремы 1', 2'и 3' легко распространяются и на случай бесконечных пределов. 29. Леммы о бесконечно малых.

В дальнейших теоремах нам придется рассматривать одновременно две варианты (нли больше), сочетая их между собой знаками арифметических действий. При этом, как и выше, мы относим эти знаки к соответствующим значениям вариант. Например, говоря о сумме двух вариант хл и ул, пробегающих порознь последовательности значений х„,х„хв, ..., хл, и У2» Ув» Ув» ° » Ул мы имеем в виду варианту хл+ул, принимающуюпоследовательнооть значений х2+У„хе »У„ха ЕУЯ, ..., хл+Ул, ...

Гя, ь теОРия пгеделов При доказательстве теорем, относящихся к результатам арифметических операций над переменными, важную роль будут играть следующие две леммы о бесконечно малых, Лемма 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых есть также величина бесконечно малая. Проведем доказательство для случая д в у х бесконечно малых а„ и 11„(общий случай исчерпывается аналогично). Зададимся произвольным числом е О. Согласно определению бесконечно малой, по числу в для бесконечно малой а„найдется такой номер 1т", что при н Ф' будет Е 2 Точно так же и для бесконечно малой р„найдется такой номер М", что при п=М" будет г' Если взять натуральное число Ж ббльшим обоих чисел Ф' и Ф", то прн н=.М одновременно выполняются оба эти неравенства, так что !.~Р.! !.!+!Р !-'-,+'-,=- Итак, величина а„ч р„, действительно, является бесконечно малой.

Лемма 2. Произведение ограниченной неременной х„на бесконечно малую а„есть величина бесконечно малая. Пусть, для всех значений н, )х„! аМ. с Если задано произвольное число е ~0, то по числу -'- для бесконечно малой а„ найдется такой номер Ж, что для н Ф будет и Тогда для тех же значений н, очевидно, !хн. о!=!х,! ° !ав! М вЂ” '=е.

Отсюда и следует, что х, ач есть бесконечно малая. 30. Арифметические операции над переменными. Следующие теоремы важны в том отношении, что с их помощью во многих случаях делается ненужным восхождение всякий раз к о п р е д е л е н и ю понятия «предел», с разысканием по заданному г соответствующего Ф, и т.

д. Этим вычисление пределов значительно облегчается. 1' Если варианты х„и у„имеют конечные пределы: 1пп х„= а, йш у„= Ь, $ а теОРемы О пРеделАх 59 то и сумма (разность) их также имеет конечный предел, причелл 1ип(х„~ у„) =- а ~- Ь. Из условия теоремы следует, что хо=а+ил, ул=Ь+рл, (1) где а„ и 11л — бесконечно малые.

Тогда хо + ул = (а х Ь) + (а„х 11л). Здесь а„хр„ есть бесконечно малая по лемме 1; следовательно, пользуясь вторым определением предела, можно утверждать, что варианта х„ +ул имеет предел, равный ахЬ, что н требовалось доказать. Эта теорема и ее доказательство переносятся на случай любого конечного числа слагаемых. 2' Если варианты х„ и ул шчеют конечные пределы: !Пп х„= а, 1ип ул = Ь, то и произведение их также имеет конечный предел, и !Пп хлул=аЬ. Исходя из тех же равенств (1), имеем иа этот раз хоул = аЬ-ь(арл+ Ьал.ь алел). Выражение в скобках, в силу лемм 1 и 2, есть величина бесконечно малая.