Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике

УДК 53Ц075.8) П99 ББК 22.21 Пятницкий Е.С., Трухан Н.Мч Ханукаев Ю.И., Яковенко ПН, Сборник задач но аналитической механике: Учеб. пособие: Для вузов. — 3-е нзд., перераб. и доп. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 400 с.— 1БВ1ч 5-9221-0182-Х. Сборник содержит более тысячи шестисот задач по теоретической механике и практически охватывает все ее разделы.

Помимо традиционного раздела кинематики и общих теорем динамики, большой объем сборника занимает раздел аналитической механики. Во втором издании (1-е изд. — 1080 г.) были введены новые параграфы: уравнения механики неголономных систем, устойчивость движения, дискретные модели механических систем. В третьем издании сборник переработан, добавлены новые задачи и исправлены обнаруженные опечатки и неточности. Сборник рассчитан на студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физико-технических и инженерно-физических вузов.

Он будет также полезен студентам технических вузов при изучении теоретической механики. Ил. 886. Библиогр. 68 назв. Рецензент. доктор физико-математических наук А.П. Маркеее. 18В1з 5-9221-0182-Х Ос ФИЗМАТЛИТ, 2002 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию Предисловие ко второму изданию Из предисловия к первому изданию . 1. Кинематика и динамика Ответы и решения Задачи 1. Движение точки 2. Сложное движение точки................... 3. Плоскопараллельное движение твердого тела.....

4. Движение твердого тела с неподвижной точкой. Обгций случай движения гвердого гела........... 5. Динамика точки 6. Изменение импульса и момента импульса системы . 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи. 8. Динамика точки в центральном поле........... 9. Динамика относительного движения........... 3 10. Динамика систем переменного состава.......... 3 11.

Динамика твердого тела 295 297 300 32 45 49 303 308 309 310 313 315 317 321 56 76 90 2. Аналитическая механика 113 134 142 149 155 178 329 334 336 337 338 353 354 359 363 366 184 197 206 217 3 12. Уравнения Лагранжа . 3 13. Электромеханические аналогии............... 3 14. Ушювия равновесия . 3 15. Устойчивость равновесия консервативных систем .. 3 16. Малые колебания консервативных систем 3 17. Движение диссипативных систем 3 18. Вынужденные колебания. Частотные характеристики.

3 19. Уравнения Гамильтона, Рауса, Уиттекера и Якоби . 3 20. Первыо интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Петер 3 21. Вариационные принципы механики............ Оглавление Ответы и регаеиия Задачи 366 368 377 224 234 260 388 390 392 392 273 277 282 290 з 22. Ингегральные нниариангы...,...,...,...,,, Ч 23. Канонические преобразования 3 24. Уравнение Гамильтона — Якоби 3 25. Методы оптимального управления н задачах механики. 3 26.

Уравнения механики неголономных систем 3 27. Устойчивость движения.... 3 28. Дискре гные модели механических систем Предисловие к третьему изданию Настоящее издание сборника выпускается по предложению издательства «Физматлит» одновременно с третьим изданием книги Ф. Р. Гантмахера «Лекции по аналитической механике«з которая была положена в основу этого сборника.

Сборник переработан, добавлены новые задачи и исправлены обнаруженные опечатки и неточности. 2001 г. Предисловие ко второму изданию За время после выхода в свет первого издания (1980 г.) «Сборник» был апробирован в учебном процессе в МФТИ и других высших учебных заведениях, как в университетах, так и в ряде технических вузов. Авторы получили письма от отечественных и зарубежных читателей и при подготовке второго издания в максимальной степени постарались учесть их замечания и пожелания. В 1983 г.

сборник был издан в Китайской Народной Республике. В процессе работы над вторым изданием практически все разделы подверглись переработке. Введены новые разделы; уравнения механики неголономпых систем, устойчивость движения, дискретные модели механических систем. Включение в сборник раздела по дискретным моделям связано с интенсивным использованием вычислительной техники для решения задач механики. При составлении разностных схем для интегрирования уравнений движения механических систем важно, чтобы дискретные модели имели те же законы сохранения, что и исходные непрерывные системы. Такой алгоритм построения дискретных моделей может быть получен, в частности, из вариационных принципов механики.

Добавлено свыше трехсот новых задач. Исправлены обнаруженные опечатки и неточности. Порядок следования разделов остался прежним. Авторы признательны читателям, приславшим свои пожелания и замечания. Глубокую благодарность авторы выражают коллегам по кафедре теоретической механики МФТИ, чьи советы и доброжелательная критика способствовали улучшению «Сборника««Авторы выражают глубокую благодарность профессору А.П. Маркееву за болыпой труд по рецензированию рукописи. 1995 г. Из предисловия к первому изданию В настоящее время отечественная литература по теоретической механике располагает такими учебными пособиями, как получившие всемирную известность «Сборник задач по теоретической механикеь И.

В. Мещерского, «Сборник задач по теоретической механикса Н.Н. Бухгольца, И.М. Воронкова, А.П. Минакова и др. Поэтому в данном сборнике задачи по традиционным разделам механики представлены сравнительно слабо и основное внимание уделяется тем ес разделам, которые еще нс нашли достаточно полного отражения в учебной литературе, в частности электромеханическим аналогиям, вариационным принципам, интегральным инвариантам, уравнениям Гамильтона, каноническим преобразованиям, методу Якоби и т.

д. При составлении сборника был использован опыт преподавания теоретической механики в Московском физико-техническом институте. Внутри разделов задачи расположены в основном по принципу «от простого к сложному». В ответах и указаниях (там, где это целесообразно) используется векторно-матричная форма записи.

В остальном применяются обычные для курсов механики обозначения; единственным исключением является запись вида г = 1, п вместо традиционной г = 1, 2,..., .и. При составлении сборника авторы использовали ряд задач из учебного пособия по теоретической механике, изданного в МФТИ, и некоторые задачи из учебников и монографий по теоретической механике. Основная часть задач составлена самими авторами. Приведенный в конце книги список литературы, отшодь не претендует на полноту и охватывает только те работы на русском языке, которые по содержанию наиболее близки к настоящему изданию. Авторы искренне признательны профессору М! У В. Г.

Демину за обстоятельный разбор рукописи и ряд ценных замечаний. Особую благодарность авторы выражают Г. М. Ильичевой. 1979 г. 1. Кинематика и динамика 2. Аналитическая механика 1. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА 8 1. Движение точки 1.1. Точка движется так, что во все время движения ее ускорение направлено к неподвижному центру О.

Показать, что траектория точки лежит в плоскости, проходящей через центр О. 1.2. Электрон в постоянном магнитном поле движется по винтовой линии в соответствии с уравнениями х = асовы1, у = авшго1, Найти тангепциальную и нормальную компоненты ускорения электрона и радиус кривизны его траектории. 1.3. В поле отталкивающего центра точка движется в плоскости ху по закону х = асЬЫ+ДвЬЫ, р = усЬЫ+рвЬЫ, где а, 8, 7, р и ю — постоянные величины. Найти уравнение траектории точки и уравнение годографа скорости. 1.4.

Сохраняя условие предыдущей задачи, найти радиальную юг и трапсверсальную ю компоненты ускорения точки. 1.5. Колечко движется по параболе р = ахз с постоянной скоростью о. Найти ускорение колечка в зависимости от его положения. 1.6. Если при переходе с прямолинейного участка у = 0 железнодорожного пути на криволинейный у = ) (х) нормальное ускорение меняется скачком, то происходит явление так называемого мягкого удара. Как должен начинаться криволинейный участок пути, чтобы такого удара не произошло? 1.7. Точка движется по плоскости так, что угол между вектором скорости и радиусом-вектором во все время движения равен а.

Найти уравнение траектории точки, если в начальный момент г(0) = го, Р(0) = Ро. 1.8. При движении точки ее скорость я и ускорение ъч связаны соотношением тч = а х ч, где а -- постоянный вектор. Найти уравнение траектории точки. 1.9. Сохраняя условия предыдущей задачи, показать, что при таком движении ~я~ и ~зк( остаются неизменными. 1.10. Точка описывает окружность радиуса Л.

Ускорение точки образует с ее скоростьк> постоянный угол и (а ф к/2). За какое время скорость точки увеличится в п раз, если в начальный момент она равнялась во? 1о П Кинематика и динамика 1.11. Точка движется в плоскости ху с постоянной по модулю скоростью ~и~ = и. Вектор скорости образует с осью Ох угол а = = аЬ (о постоянная величина). Определить уравнение траектории точки и модуль ее ускорения, если в начальный момент 1 = 0 точка находилась в начале координат. х у 1.12. Точка движется по дуге эллипса г + ' г = 1. Вектор ускоа Ь рения точки во все время движения направлен параллельно оси Од. Найти ускорение точки в тот момент, когда ее ордината равна Ь/2, если в начальный момент х(0) = О, д(0) = Ь, с(0) = сс. 1.13. Точка движется в плоскости ху.

Модуль скорости с точки и угол О, составляемый скоростью с осью Ох, являются известными функциями времени Ь. Используя плоскость годографа вектора скорости, найти нормальную и тангенциальную компоненты ускорения точки. 1.14. Точки А и В движутся таким образом, что во все время движения расстояние между ними не изменяется. Показать, что для ускорений этих точек выполняется соотношение (тчА — тчВ). А~) = ~теА — ~'В~ . 1.15.