Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Файлы формата DJVU » Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике

Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 61

DJVU-файл Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике, страница 61 Теоретическая механика (2645): Книга - 3 семестрЮ.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике: Теоретическая механика - DJVU, страница 61 (2645) - СтудИзба2019-05-09СтудИзба

Описание файла

DJVU-файл из архива "Ю.Г. Павленко - Задачи по теоретической механике", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 61 - страница

Отметим, что гамильтониан Н не описывает непосредственно кулоновское взаимодействие. Реакция системы на внешнее возмущение Однако ряд теории возмущений содержит члены — е, е, ..., соответствующие кулоновскому взаимодействию во всех порядках по е — как и в квантовой электродинамике, взаимодействие частиц реализуется явиртуальным» электромагнитным полем. При взаимодействии частицы с полем резонатора возможено индуцированное поглощение или излучение., которое принципиально отличается от спонтанного излучения— направление распространения, поляризация, частота и фаза излучаемой волны полностью тождественны характеристикам волны резонатора.

Для генерации вынужденного высокочастотного излучения используют пучок электронов, движущийся в резонаторе во внешнем электромагнитном поле. Найдем мощность излучения электронов в модифицированной ловушке Пеннинга, в которой поверхность бокового электрода гофрирована (от фр.

8апГгег — складчатая поверхность) и разделяет р пар резонаторов. Сечение поверхности в виде гофры изображено на рис. 8.3.5. В этой периодической структуре могут распространяться медленные волны, эффективно взаимодействующие с электронами. Рассмотрим излучение «магнитной» волны, длина которой А значительно больше расстояния между резонаторами. В этом случае потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа. В цилиндрических координатах т, д, г, потенпивл Герца Ж~оч =- (О, О, Ит), скалярый и векторный потенциалы Ао(й, т, д, г) =-О, А =- —, Ао= —, А, =-О. 1 дИ' дИ' т дд дт В резонаторах образуются стоячие волны.

В одномодовом приближении частное решение волнового уравнения в области О < т < Рг представляет собой медленную стоячую волну частоты щ, поджатую к поверхности т = Рс: И" Ке ~~е ™), ~ = — ( — ) гйп (рд) яп[ — (г+ гг)]. Здесь опущен множитель, учитывающий угловые размеры резонаторов. Ограничимся рассмотрением случая плоского движения электронов в области г «Л, полагая ~ — (Л/р) (т~й)г зш (рд).

Далее удобно перейти к декартовым компонентам А, = А„сов д — Аз зшд, Ао — — А„з1п0+ Аг совд, [Гл. 8 412 Каноническая теор я еозму1цений и представить вектор-потенциал в виде А (1, т, О) = [сА~ 1(т, О) с ' '+ к. с.,'~, (1) А„(1, т, О) = [сА'„'(т, О) е ' '+ к. с.~, А~ ~ = — ( — ) соэ [(р — 1) О",, А~„~ = — ( — ~ кйп [(р — 1) О). (2) Постоянная $', представляющая собой эффективный объем резонато- ра, определяется из условия нормировки — "е[~х ((Е + В )) = а1сс*.

8к 1 Угловые скобки обозначают усреднение по времени; область интегрирования ограничена рабочим объемом резонатора. Энергия электромагнитного поля Ро = а1с*с. Переменные с, ее* играют роль канонических координат и импульсов, фундаментальные СП [с, ее*) =. 1. Гамильтониан, описывающий эволюцию системы % электронов и поля М 2 Н = — [р, + — А'~(х,) + — 'А(1, х )~ а=1 — ео [1с'~(х,) + Ао(1, х,)~. Здесь Асом(х), Аеке(х) — потенциалы статического поля ловушки.

Потенциалы поля излучения будем искать в виде (1), предполагая, что коэффициенты с, с' зависят от времени. Найдем приращение энергии поля Ро в рамках канонической теории возмущений. Для этого представим гамильтониан Н в виде Н = Но + +6, Но = — [р + — ' Ае'а(х,)1 — ео Ае"'(х ), 2п21 с а.=1 2 6 = ~ — ~ха А(1, ха) + ', А (1, ха), 1 с ' 2птс тха =. ра + ео А' "(х ). Решение уравнений, порождаемых гамильтонианом Йо, представляет собой КП х = х(1, х', р'), р = р(1, х', р'), которое позволяет исключить вклад Но в полный гамильтониан Н. Реакиил системы на енеиснее возмущение В результате КП, приведенного в задаче 7.2.8, х, р с х', р' — с уо„, 1„, новый гамильтониан 6'(1, с, с*, ср„, 1„) представляет собой функцию 6, в которой следует произвести замену переменных.

Эволюция полевых и новых переменных определяется гамильтонианом М* = «.Ас '(г., В.). 6' = ее — (сМ*е ' -~- к. с.), азР Энергия полл излучения. Полагая в (8.1.9) Р' = Ро, 6 =- 6' и ограничиваясь величинами ео, получим 2 с, сзРо =- ~ сйс [Ро, 6'(11)] + ~ ссс1 ~ с(12 [[Ро, 6 (11)) 6'(12)] +... (4) со са са [Ро, 6~(11)] = — сос6 М(11) с' ес ' + к. с., [[ е, 6'(~1)' 6'(12)) = ос6 ( М(11) М*(22)— — с [М(11), М (12)] ос* ) ес"~ ' ос + к. с., где 6 = ео(2я~озЪ')112.

Можно устранить ограничение области интегрирования, используя соотношения с, ссо1 ~ Ссаг (Ч (о1) 7 (а2) + К. С.) = Г Оо1 Г аСа2 сов Т(41) Т (а2) са со са са с с ~ 11ас ~ Й2 ([Т(ас), Т*(12)) — к. с.) = с ~ Ю1 ~ сН2 1ш [Т(ас), Т*(аг)]. со са са са (5) с с 2 2 г со са + 1ш ([М(11), М*(12)] ос*) ) ено сбп Поскольку результат усреднения квадратичных величин зависит только от разности координат 11 — 12а то можно ввести двухвременные Отметим, что СП вычисляются по значениям переменных при 1 = 1о. Для сопоставления с экпериментальными данными необходимо усреднить (4) по начальному распределению электронов и возможным реализациям поля излучения (1). В результате усреднения приращение энергии поля (4) приобретает вид [Ггь 8 Кононичеенол теор в возмущений функции Грина Сг(1, — 1 ) = — О(1, — 1 ) ( [М(1, ), М* (1 )1 ), С.(1, — 1г) = В(1, — 1г) (М(1,) М*(1г)). (6) Статистические свойства злектромагнитного поля резонаторахарактеризуются корреляционной функцией,У(оз) = (ос*)[73).

Переходя к переменным ег г = г тт (2, получим среднюю мощность излучения в виде г р' 1В а.( ) — 1( ) 1 Ке( )), 8;,,(ео) = ~ йг Сь,(т) ед" ~"~ . (7) (8) А~ ~ — гА~~~ = [ л+еу Р— з «А~~~ =- Ве(л ч-гу) (А~ ~ — гА~ ~) = Ке(л+1у) ~ Я Для упрощения вычислений зададим начальные условия, прн которых 1г » 1ы Тогда, подставляя л и у из решения задачи 7.2.8, получим «А~ ~ = С ~Тгг ехр( — гвоггг1+ гвпгг рг — гвпы~рг) + в + Тгг ехр ( гвиггг1 + гвпггугг)~, С вЂ” „, ~ ), Тгг =- озг1г, Тгг =- озг1 1 1 2 'Р1г р1г ер 61г цДг 211 -' ~тй,1 шгг Рмг~ озгг (Р 1) шг + озы Здесь коэффициенты пгг = р, пг, = (р — 1), пы = 1: индекс в принимает значения +1.

Среднее по фазам произведение в (6) (М(1г) М (1г)) = г«С Ч~~ е в Величина е — в 0 введена для того, чтобы полюсы дн, (ог) соответствовали запаздывающей функции Грина. Первое слагаемое в (7) — мощность спонтанного излучения, второе мощность вынужденного излучения или поглощения. Вычислим теперь фурье-образы (8) функций С,(т) и С;(т) (6). Предварительно отметим, что согласно (2), 8.3) Реакц л еиеойемы на внешнее возмущение Согласно определению СП Учитывая периодичность А и В по угловым переменным, имеем ]106) ((А, В]) = — д (Адд). Следовательно, среднее по фазам СП (е(М(1д) М*(1г)~) = — 11йС в(пгй — — пгй — )(Ргй)~е Используя фурье-представление тэта-функции ОО д(т) = ~ г11 д(1)е" =- — ~ е1и получим из (6), (8) де(йо) = — МС в(пгй — — пгй — ) т д1г д1г ) ш — вшы т ге 8,(ш) = гулаг- гй й После вычисления суммы по индексу в имеем не(йо) = — 2%С оогй~ п,й — — пгй — ) г г,, (9) д1й д1г) ш — шгй -Г 21еш е,(ш) = 2гЖС ш~ — мгой т 21еш Для того чтобы учесть эффекты, обусловленные столкновениями электронов с молекулами воздуха в резонаторе, необходимо усреднять (6) с функцией распределения по «времени жизни» электрона.

Эта операция соответствует замене е конечной величиной 1/2, где 1 среднее время жизни электрона. В результате получим необходимые для вычисления мощности излучения (6) соотношения (10) ы шгй Г й7~"~ (ш ~ ~2й) т (7ы) 1 тйо г г г г г г шгй г й ~йо (ш шгй) Ь ( /~ ~) [Гзь 8 Каноничеенол теор л возмущений Теперь, учитывая (10), окончательно получим мощность спонтанного 6Ро.

2пео 4яео уС2 тоз Тзо 2 2 2 2 1 1, лз 1, ( 2 2)2 ( )2 и вынужденного излучения йро, 2кео 2 01 '( ' — ' )'+(~ )' Мы приходим к выводу, что в резонаторе реализуется мазерный эффект — возникает индуцированное излучение на частоте ю22 = роз2, мощность которого йро,(ы22) 2яео Жр ызз /А21~~г А2 = (212(тпЬ)из. Излучение частоты ы22 = (р — 1) оз2 + оз2 поглощается при условии (р — 1)212 » 1ь В случае гладкого резонатора (р = 1) вынужденное излучение на частоте оз2 рассмотрено в рамках классической и квантовой теорий [19, 108).

Отметим, что при условии 12 » 12 возникает нндуцированное излучение на частоте ю22 = (р— 1)оз1 + оз2 » оз2. Подставляя Е =- л„(1), у,(1) (а =- 1, 2, ..., %) в (8.1.9), получим решение уравнений движения в виде ряда, содержащего вклады кулоновского взаимодействия электронов пучка и электронов с полем резонатора. 8А. Гамильтонова теория специальных функций 8.4.1. Представить уравнение ~2 А(т) 2 + В(т) — „~ + С(т) = 0 в лагранжевой и гамильтоновой формах. Решение. Умножая уравнение на неопределенный множитель Л(г), наложим условие д(ЛА) /й1.=- ЛВ, учитывая которое, получим — т(т) — = -Й(т), о, а дд Йт ат тп(т) = ЛА, й(т) =- ЛС, Л = — А 2 ехр ~тат — ~.

В Следовательно, лагранжиан [109[ В =- — т(т)( — ) — — Цт) о 1 /йд12 1 2 [йт1 2 8.4] Рам льтонооа теор л еиециальнык функций 417 описывает в терминах механики движение частицы переменной массы, связанной с пружиной переменной жесткости. Вводя импульс я =. т Йг1(йт, получим гамильтониаи к~ ку~ 6(д, к, т) = — +— В частности, для вырожденной гипергеометрической функции о = Ф(а, с, 1): А = т, В = с — т, С = — а, Л = е т' г, т = т'е й =- — ат' ге '. Эта функция играет большую роль в физических задачах. Различным значениям параметров соответствуют полиномы Эрмита, Лагерра, функции Бесселя и т.д. 8.4.2. Произвести замену независимой переменной т — ь 1: т = т(1).

Найти новый гамильтониан и уравнения движения. Рассмотреть случай т = 1 Решение. Производя в функционале 1 =- ~ Йт(к — — Ь(д, и, т)) замену Я =- д(т(1)), Р = к(т(1)), т =. т(1), найдем новый гамильтониан В(Я, Р, ь) = та(д, к, т)~ = — Р~+ — огГ4~, где М(1) = тт ~, ое(1) =- 1ет. Канонические уравнения Я)=М ~Р Р=(Р ф= — ого. (1) Замена т = 1 ~ используется для исследования решений в окрестности бесконечно удаленной точки. В этом случае система (1) эквивалентна уравнению А(-)о+ (-А(-) — —,В(-)1 4+ —,о(-)о =О.

Вычисление ое, М существенно упрощается, если преобразование т — г 1 задано в дифференциальной форме т =- 1(т). 8.4.3. Произвести КП Я, Р— г к, р, порождаемое ПФ Рз(Ю, Р, г) = ЪгМ ИР— 1 МЮ Решепие. Из (7.1.2) находим ( 2М ) [Гл. 8 Каноническая теор л возмущений Новый гамильтониан О(х, р., г) = — р + — И'(1) х, 2 2 1 з 2 И'(1) = — — — 1 М вЂ” -( — ! М) + — = 2 е!ег 4(а! г' М = -- И-'~г — (И-'~гМ) +— Функцию И'(1) можно представить в виде И'(1) = (1/2) (М г, 1) + + ге/М, где (С, 1) — производная в смысле Шварца [1101: 2 д З ечг (с, ) „,!.а,(„,! с),( ).

е! = х ехр — — ~ е11 —, я =- (р — — х) ехр — ~ е11— 2~ А ' (, 2А ! 2~ А 1:В~г С И'(1) = -- — — — -~ — ~ + —. 2 е!1 А 4~Аг' А' В частности, для вырожденной гипергеометрической функции — !ее Е) — !е Е 1) 1 — ! е! 1 (с — 2а) (с — 2) с 2е 4гг Приведем также другую форму замены, полагая т = 1г, т. е, т = 2,/т. В этом случае у = Ф(а с 1г) = ъ'2е' ~~1 ' е~г~ х(1) 1( 1) х1 е- '/~1евз/г Го — 1/4 И'(1) = 2п — (, — г~), и =- с — 2а, р =.

с — 1, 8.4.4. Найти преобразование Уиттекера цилиндрических функций. Решение. Цилиндрические функции д .= Х (Кт) удовлетворяют уравнению Канонические уравнения х = р, р = — И'(1) х эквивалентны уравнению х + И'(1) х = О, не содержащему первой производной функции х.

Замена (1) является обобщением преобразования Уиттекера. Полагая т =- 1, находим Я(1) = о(1), Р(1) = »(1), М(1) = .(1), (1) = !е(1), 8.4] Гал4 льтонова теория специальных функций 419 2 ч = — ~ я(г) = ог(Р ); Н'(с) — 8 ь14 ' 21 8.4.5. Найти решение уравнения 1) + (Ь/1) 1) + (с/1 ) ч которого 1 = О является регулярной особой (или правильной) [109]. Решение. После КП Уиттекера О, для точкой Ь о=1 ~ х и= р — — х)1~ 21 получим гамильтониан Н(х, р., 1) = — р + —, х ., Ь = с+ — Ь вЂ” — Ь . 2 к 2 1 1 2 2 24 ' 2 4 Решение уравнений х = [х, Н] = р, р = [р, Н] = — —, х Ь является КП х, р — 1 х', р'. х = и1(1) х'+ иг(1) р', р = иг(1) х'+ иг(1) р', где и1(1), иг(1) — два линейно независимых решения.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
442
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее