Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это предложение доказывается на основании предложения Х тем же способои, каким предло>кение ХХХП доказано, исходе из предложения Х1. Следствие 1. Отсюда видно, что времена, в продолжение которых одно тело, падая из точка й, достигает центра 8, другое же, равномерно обрап(аясь но кругу, описывает его четверть л(ЗЖ, между собою равны. ВА Ь, ВЫ=а, ЫЛ=Ь вЂ” а(оаг.еей тав что пра пьютоаовом обозаачеввз действптельпо будет йая ая о.з а= —— ял 1 А гое Зто я есть предложение ХХХ7П, Имея в валу ага оормулы я зяачезае велачзяы Ь =ЗА ва овг. 77, 78, 79 я зо в Ь = ВЛ ва овг.
72 а, 72 Ь, 74, ветрудво сопсставкть каждое вз этих предложевзй с ааалвтаческпм пропессов, првкевяемым прп решепвн этой задача теперешкямв способамя. таке предложевве ХХХП1 выражает заков жпвых сзл; вмевво, деева ВА = Ь, ВС = х я рз 1'3 хз х — = — > где через Г обозначена скорошчч с которою тело мотю бы опмсывать круг в расстояввм х от яевтрщ яз зормулы йпе 2 из ез х Ь получ зев еа=2РЧ(1 — — 1=2РЧ °вЂ” лс Ь/ ВС что я высказаво в атом кредложевяв. Предюжевве ХХХ1Ч выражют атет заков дюс параболы (Ь пэу йр,з Ф= — =2'гз. х Преджквеяае ХХХХХ дает выражеаве мвожптела, стоащега перед времеяем Ь в оормулах (3) — (бр 7. Эзк. 3150 — 172— Следстоне 2.
Позтоиу времева падения любого тела из любого места ва тот же цевтр равны между собою, ибо времева обращения (предл. Пг, след. 3) равны. Предложевве ХХХ1Х. Задача ХХеИ Лреднолаьзя центростремительную силу каков уютно и допуская каадринууу криеых, туебуепюя определить как скорость даизгуилееося прямо к и нюру или от контра тела о любой то екс, яеак и оремн, о течение колеоуою оно приходит о какое-либо лес>ко и обратно.
Из какой-либо задаввой точки А в т прямой АЭХС падает тело Х. Из всякой точки Е его пути восстазляется перпевр 1Я дикуляр .Х6 (овг. 82), по кооиу отклас ж дывается девиа Х6, пропорцчовальвая величине цевтростремительвой силы, действующей в этой точке .Е и ваправлевс ~ 7 З вой к цевтру С; пусть кривая ВГ6 проходит через места точек 6, причем в начале движевия Х6 совпадает с перпевдикушром АВ; тогда скорость в какой угодио точке .Е будет пропорциовальва стороне квадрата, раввоиервого с кряволивейвою площадью АВ6Х. Беря ва прямой Х6 длину Хйл, фн . зл. обратно пропорциовальвую стороне сказаивого квадрата, строится кривая, ва которой постоявво лежит точка М.
Эта кривая будет иметь прямую АВ своею асвмптотою. Время, в течеиве которого падающее тело проходвт путь АХ, будет пропорционально площ ди АВл иМХ. В самон деле, возьмем иа прямой А.Е какую-нибудь весьма малую дливу РЕ постояивой величины, и пусть ЭЬР есть положение прямой ХЛГ6, когда тело проходит через Э; если цевтростремвтельвая сила такова, что сторона квадрата, равномерного площади АВСХ, пропорциовальва скорости падающего тела, то сема зта площадь будет пропорцзовальва квадрату скорости, т.
е. если скорость в точках Э и.Е обозначить соответственно через T в Г-е-,У, то пл шздь АВРЭ будет пропорциовальва Ул, плошэдь же АВ6Х будет пропорциовальва Рч -+- 2,УР"-+-,У', и следовательво, — 173— разность этвх площадей ЗУ6Е пропорциональна 2 1»Т-е- Тв и длива— ЗРë » ЭЕ 2КТ-е- Тх пропорциональна — - — т. е.
рассматривая предельные отношения за- ЗЯ рождающихся количеств, длина ЗУ пропорциональна, а звачвт, 2Р-,Т 1». Т и половине этой величины, т. е. — Но время, в течение которого тело при своем падения описывает отрезок ЗЕ, прямо пропорционально его длине и обратно пропорционально скорости; вместе с тем сила прямо пропорциональна приращешпо скорости ,7 и обратно пропорциональна времеви, т. е. если брать лишь предельные отношения зарождающихся количеств, то сила 7» пропорпвовальна,Т. — — т. е. длине ЗР. Гледовательво, сила, пропорциональная длине РУ или .Е6, заставляет тело падать со скоростью, пропорциональной стороне квадрата, равномерного с площадью АВ6Ь'. Далее, так как время, в продолжение которого описывается весьма малый отрезочек ЗЕ постоянной длины, обратно пропорционально скорости, т.
е. обратно пропорционально стороне квадрата, равномерного с АВУЗ, то пусть ЗХ, а значит, и зарождающанся площадь ЗХйТЕ, обратно пропорциональна сказанной стороне; тогда промежуток времени ва описание озрезочка ЗЕ будет пропорционален площадке ЗТ.МЕ, следовательно сумма всех таких промежутков, т. е. полное время падения от А до.Е, пропорционально" суилте всех площадок, т. е.
полной площади АХУТМЕ (лем. 1У след.). Гледсв»еие л. Если Р есть то место, из которого тело должно начать падать, чтобы, находясь под действием постоянной и известной центростремительной силы (за которую обыкновенно принньгают силу тяжести), првобресть, придя в точку З, скорость, равную скорости в той же точке другого тела, падающего как бы то ни было, надо взять по перпендикуляру ЗУ длину РК, так относящуюся к ЗУ, как сказанная постоянная сила относится ы Это предложевве заключает заков живых сил для прлиолииейваго движения. Необходимо также обратить внимание ва предсташевке работы площадью диаграммь», а также Т г ва выражение «сила пропорциональна — »; здесь Х есть крирещевие скорости в продолже- 77Е иие бесвовечво еюлого промежутка времеви, ЛŠ— путь, пройдевпый в зтот проиежушк» т.
е. при теперешних обозвачевиях: У и»', Х)Ее ВХ= 7»ЛГ ,71' $» ° Л 7» Л» ЭЕ бх еи т. е при вьютововой териивологии сила пропорциовальеа плюкспи скорости, вомьютов витке ве ююдит повятия и териива «ускореииее в теперешвеи его смысле, а всегда рассматривает бесповечво шыое приращевие скорости, которое часто зазывает «ассе1егасюз. 7« — 174— к переменной, действующей в точке З, и дополнить прямоугольник Р1ИО; отрезав площадь АЗРЗ, равную площади этого прямоугольника, и получим в А то место, вз которого тело должно начать падать. Ибо если дополнить прямоугольник ЗВЯЕ, то так как площадь АВРЗ относится к площади 1 ЭРВЕ, как Уэ к 2 )гУ, т.
е. как — Г к,у, т. е. кэк половива полной скорости к ее приращеввю при падепии тела под действием переменной силы, то и площадь РЧЛЗ относится к площади ЗЛЯЕ, как половина полвой скорости к приращению ее при движении тела под действием постоянной силы. Но этя приращения (по равенству весьма малых промежутков времеви, в продолжение коих оии происходят) пропорциональны действующим силам, их производящим, т.
е. ордиватам ЗГ и ЭК,следовательно пропорциовальвы и бесковечво малым площадкам ЗР6Е в ЗВЯЕ, поэтому и полные площади АВАЕВ и РЧЯЭ будут отвосвться, как половины полижи скоростей, и следовательно, по равенству скоростей этп площади между собою равны. Смдпяеис Я Если тело из какой-либо точкв Э бросается с задаивой скоростью вверх или вниз и задается закон цевтростреиительвой силы, то скорость этого тела в любой точке е определяется проведя ордниату ез и взяв агу скорость в таком отяошевви к скорости в точке З, в каком сторова квадрата, раввомервого с площадью прямоугольника РАМАЗ, увеличевиою или умевьшеввою ва площадь ЗРпе, смотря по тому, место е ниже или выше З, ваходится к сторове квадрата, раввомервого просто с прямоугольвикомРДЛЗ.
Слеястэие 3. Соответсчвующее время вайдется проводя ордивату ею, обратяо пропорциональную стороне квадрата, равномериого с площадью РЧВЭ + ЗГбе, и беря искомое время, в течеиие которого тело пройдет путь Зе в таком отвошевви ко времеви падения другого тела, движущегося под действием постояпвой силы из точки Р в точку Э, в каком криволввейиая площадь ЗЬ~ие находится к площади прямоугольника 2РЭ .Ж. Ибо время падения тела под действием постоявной силы из точки Р .в точку Э так относится ко времеви падения из Рв.Е, как 11РЭ: тРЕ, т.
е. 1 (при бесконечво малой величине отрезочка ЗЕ) в отяошевии РЗ к РЭ-+ — ЭЕ 2 или 2РЭк 2РЗ-ь-ЭХ; илв, взяв разноствую пропорцию, увидии, что это время так отвосится ко времеви описавия отрезочка ЭЕ, как 2РЭ отпо1мтся к ЗЕ или как прямоугольвик 2РЭ ° ЗЬ отпосзтся к площади 2ЖйуЛ. Вместе с тем время, в продолжевие коего второе тело проходит путь ЗЬ', так отвосится ко времени, в течении коего под действием перемевиой силы — 175— оно проходит путь Ре, как площадь ЭЬЛГЕ к площади Рллне, следовательно первое время отвоситсн ко второму, как площадь 2РЭ ЭЬ к площади ЭЬ>не.
ОТДЕЛ ЧП1 О НАХОЖДЕНИИ ОРБИТ, ПО КОТОРЫМ ОБРАЩАЮТСЯ ТЕЛА ЛГОД ДЕЙСТВИЕМ КАКИХ УГОДНО ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНЫХ СИЛ Предложение Х1.. Теорема Х1П Если тело нод дгйсяьвнем какой уюдно иентростремительной силы двкхсется как бы то ни бы,ю, друже же я~ело двнокеп1ся нрямиьинебно, прямо к иентщ нли от иентра, и скорости обоях А Ь тел в некотором нх нолоте- Е нии, в котором они равно Ч удалены от иентра сил, равны, то эти скорости бу- Ч дут равны и но всятнх друькх нолохсен ях обоих тел, равно удаленных онь т нтра.
Е Пусть одно тело движется из точки к1 (еиг. 83) к центру С по прямой линии Р другое же — из точки ук по какой-либо кривоц 1кУКА. Опишем пз точки С произвольными радиусами СЭ и СЕ два концентрических круга Р,7 е .зз. и КЕ, пересекающих прямую дС в точках Э и Е, крввую же в точках 7 и К.
Проведем СУ, и пусть )Ч есть точка пересечения С У к ЕК; опустим из этой точки нормаль лЧТ. Положим теперь, что разность радиусов СР и СЕ, т. е. ЕЭ или,71Ч, весьма мала и что скорости обоих тел, когда одно из них в Э, другое в У, равны. Так как расстояние СЭ= С7,то и центростремительные силы з точках Р и 7 равны. Предс1авим эти силы равными отреэочкаии ЭЕ и,УХ Селу УгУразложим (мед. П заковав) ва две УчТи .УТ.
Сила УУТ, действуя перпендикулярно пути,УТК тела, не будет изменять величины скорости тела, а будет лишь укловять его от прямолинейного пути и заставлять, непрерывно отступая от касательной к орбите, описывать — 176— криволинейный путь 7ТК3с. Вся эта сила и поглощается ва производство этого действия. Вторая же сила,7Т, действующая по ваправлевию движеввя тела, будет целиком его ускорять, и в течение задавпого, весьма малого, промежутка времени произведет приращение'* скорости, пропорциовальвое своей величине; поэтому првращепия скорости тел в точках Р и,7, происходящие в продолжение равных, весьма малых, промежутков времеви, будут пропорциовьльвы дшвам РЕ и,7Т (при этом предполагается, что берутся лишь вачзльвые предельные отвошевия длин РЕ, Льг,,7К, ,7Т, г7Т7; при неравных же промежутках времеви приращения скорости будут пропорциокальвы этим длинам и самим промежуткам времени.
Но промежутки времеви, в продолжевие которых проходятся пути ЭЕ и,7К, по равекству скоростей пропорциовальеы пройдеввым путям ЭЕ и Л?, следовательно приращения скорости при пробеге телом длин ЭЕ и,7К отвосктся между собою, как произведевия ЭЕ'.,7Т Л?. Произведение же,7Т,7К= = Лчт = РЕ', следовательно происходящие при переходе тел от Р до,7 и от Е до К приращения скорости раввы, значит и скорости в точках Е и К будут равиы. Рассуждая таким же образом, убедимся, что эти скорости окажутся равными в для всех последующих положевий тел, равво отстоящих от центра. Совершенно так же тела, обладающие равными скоростями и движупц~еся от цевтра, будут при равных расстоявиях одвваково замедляться, и скорости их будут оставаться равными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
