Л.С. Полак - Исаак Ньютон - Математические начала натуральной философии (1121067), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Тело, обращающееся по кругу в задаввом расстоявви от цевтра, при изменении паправлеввя его двяжевия прямо от центра, уда.- лится от него до двойного своего расстояввя. Предложение ХХХ г. Теорема Ху Вра тех же пре гпо.южеггоях утверждая, что клогаадь З.Е8, описываемая переменным радиусом ВР, равна п.гоигвди, когвоу ую опвса.ю бы в то же самое время тело, равномерно обрагааютееся около иенкгра 8 по кругу, коего радиус равен половине пврвметра кривой ЗЕ8. Вообрази, что тело С (аиг.
76 и 77) в течение весьма малого промежутка времеви прошло прп своем падевии весьма малый путь Сс и в то же самое врегш другое тело К, обращающееся равномерно около цептра 8 по кругу ОКй, описало дугу Лй. Восстань перпевдикуляры СР, сЫ, пересекающие кривую З.Е8 в З и д, соедвви ЯР, 8д, 8К, Вй и проведи ЗИ, пересекающую ось .48 в точке Т, и опустя ва пее перпевдикуляр 8У. Сгучай 1. Когда описываемая крввая ЗЕ8 есть круг или раввобочвая гипербола, то разделив ее ось з8 точкою О пополам, получим Азину 8;г, равную полупараметру.
Так как ТС ". ТЗ = Со: Ргй ТЗ: Т8 = СР; 8У ТС:Т$=СР ° Сп:8У Р4. то будет Предложение ХХХП'. Теорема Х Ес ги кривая ВЕЗ вЂ” парабо.га, то скорость вадаюкгего тела в любом месте Сравни скорости, с конгороя тело можг т описывать около иентра В Ж 1 круг раднусом — ВС, двигаясь равномерно. ь ь В точке Р (аиг. 75) скорость тела, движущегося по параболе В РВ, опвсаявой около центра сил 8, равна скорости тела, описывающего около 8 круг, радиус коего — $Р (предл.
Хгг1, след. 7) 1 У При беспредельком уменьшении ширины парае болы, ее дуга Х7В приближается, и в пределе ,а совпадает с прямою ВС, радиус 8Р совпадает с расстоянием ВС, покус 8 — с вершявою В, Фва 75. отсюда и следует высказапвая теорема. — 165— По предложению ХХХШ, следствию 1, ТС: Т$= ЯС:.70, предполагая при атом, что берется предельное отношение, когда точки Э и д совпадают.
Следовательно, ЛС: 8К = СП ° С: ж. Па. (е) Фиг. 77. Фиг. 76. Но в точке С отношение скороств падающего тела к скорости тела, описывающего около центра 8 круг радиуса 8С, равно РЯС: \ЯО, или, что тоже, 1/л10: 7'оК (предл. ХХХП1). Скоросгь тела, описывающего круг радиуса ЯС, относятся кскороств тела, описывающего круг радиуса8К, как 7'8К: 1ВС (л'7', 6).
Следовательно, скорость падающего тела относится к скорости движения по кругу ОКй, как 1ЬК: 1/8С, но ото отношение есть вместе с тем отношение отрезочка Сс к весьма малой дуге Кй; итак, Сс: Кй = 1/8К: ~ВО= ОС: 130=.4С: СЗ следовательно С Сл=,йС Кй — 166— в, вследствве пропорцвв (*), .йс: ИК= ЬС КИ: ЯУ Ш, отсюда следовательно в — ЯК.КЙ= — йУ ЗИ, м 2 2 т. е. площадка ХИ = площадке ЯЫ.
Таким образом в отдельные бесконечно малые промежуткв времевв описываются такие бесконечно малые площадки, что прв с умевьшеввв вх величины в возраставвв числа предел вх отвошеввя равен едвюще, поэтому (лем. 1У, след.) в полные площади, совместно образуемые, равны. с Сьучай.р. В том случае, когда кривая ЗЕК (евг. 78) — парабола,получвтся, как в выше: СЗ СсгХУ Зд=Ж: Т3=2:1 откуда — СР ° Сс — — ЯУ. ЗИ.
флаге. Но скорость падающего тела в точке С равна скорости равномерного дввжеввя по кругу радиуса — ЯС (предл. ХХХ1У), отвошевве же атой последней к скороств движения по кругу радиуса ЯХ, т. е. очвшпевве отрезочка Сс к дуге Хй (предл. 1У, след. 6), равно отвошеввю 'ч' 2 '2 вследствие чего — 8К Хк= — СЗ Сс = —.ЯУ .?Ы 1 1 1 2 4 2 т. е., как в вьппе, площадь ХЬЪ = площади ЯЫ, — 167— Предложение ХХХТ1. Задача ХХь' Определить время па ьенмя тела мз за ьанноо точим А. На диаметре А8 1Фвг.
79), представляющем начальное расстояние тела, опиши точкою 8, как центром, полукруг Р8 и другой полукруг, ему равный. Из песта тела О.в рассматриваемый момент восставь ординату СР, соедвпи 8Р и построя сектор 08К, коего площадь была бы равна площади А8Р. Из предложения ХХХХХ следует, что при падении тело опишет б ьи пространство АС в то юе самое время, в каное другое тело, разномеряо вращающееся около центра 8, иожет описать дугу ОК. Предложение ХХХТП. Задача ХХь1 3 Оаределипьь время восяодяиьеьо мзм нмсходяиьеьо движения тела, броьаенноьо мз заданною льеспьа вверх мзм вниз. я Пусть тело выходит яз заданного места 6 (Фиг.
80) Фиг. 79. по направлению 68 с какою-либо заданною скоростью. 1 Возьми длину 6А в отношении к — А8 равном отношению квадрата 3 данной скорости к квадрату такой постоянной скорости, с которою тело могло бы обращаться по кругу данного радиуса 68. Если это отношение равно 2, то точка А бесконечно удалена, и надо строить параболу с вер- шивою Я, осью Яб и произвольным параметром. Это следует из предложевия ХХХ1Ч. Если зто отношение меньше 2, надо строить ва оси ЯА круг, если больше 2, то — равяобочвую гиперболу (предл.
ХХХ1П). Затем из цеятра Я радиусом, раввым половине параметра, описывается круг ЕЙК, и из вачальвого места С движущегося тела и из любого другого его места С восставляются перпеядикуляры 6У, СР, пересекающве ковяческое сечение вли круг в точках Т и Р. Соединив КУ, ЯР, посгроб секторы НЯК, НЯ)с, соответствеяво равные площадям сегяевтов ЯЕУЯ в ЯЕРБ; по предложеяию ХХХ Ч тело описывает путь ССв то же самое время е' как тело К вЂ” дугу К)с. /1 11 вэ — воз =2рэ ~ — — — ) (х а) нлн й,й 2рл = — -™ой — — ' х и йр.з саетря по виану вгяачивы юой — — могут быть три случая: в 2рй 1 1) юой — — ( о (движение эллвптическое) и зиз 2) юой — — = О ( з параболическое) а 2р,й З) юей — — ) О(» гипорболичесиое).
а 1 Возьмем первый случай, и пусть 2ай 2рг юой — — = —— ь следовательно уравнение (1) напишется ь>о !1 11 дай ю =ирй1 — — — )=— Ь У' бсй следовательно будет йе Задача о прямолинейном движении тела, притягиваемого н неподвижному пентру силою, обратно пропорвиоиальиою киаарату расстоянии, рассматризаетсн ниже весьма подробно как прелщьвый случай движение по коничосаоиу ссчеяию; благодер» атому Ньютоя избегжю необходимости исполнить аналитически те квадратуры, к которым задача приводит, а получает их гепишричеспое пр дставлениг. В предложении ХХХ1Х даи общий способ решения при помощи квадратур задачи о приищинейиом движении тета под дейстииеи какой угодно пентральной силы, причем устанавливается и закон живых сил, а в предложении Х) дашсв и общее алгебраичеспое выражение етого закова.
Чтобы яснее видеть связь решения„даваезюго Ньютоном, с теперешним, обозначим через х — расстояние тела до центра в момент С, через а — райстояиие в иомгнт С = Го, череа юо — скорость в этот момеят и через рй — коаэеициент притяжения, *ак что притяжение ценр,лз трои выражается оормулой — — „тогда, по закону живых олл, будет Сообразуясь с авгурою (Уйай сделаем 1 х = —, Ь (1-+- со э йа) = Ь сова а 2 так что /а бя = — Ь э!п 2а ° ба! 1,~ — — 1 = 13 а х и уравнение (2) будет 2 1 — р. 32 = соээ а .
Иа = — (1.+- соэ 2а) На! Ь 2 пусть при тогда будет Э=О; я=Ь; ю=о; а=-О 2 юйи 1 — С = а -+- — эгл 2а ьЬ 2 Ьэ или умножив обе чести яа — = Вэ \ 4 а — П. ° Ь ° гююВт а-1- — Вээш 2а = нмяцали .4ВР ьй в 2 2 (3) т. е. время 1 прооорциоиально площади 4ВР и место тела в этот моь.ент есть С. Для параболы будет 2ит Нхт юэ = — =— я ойэ т.
е. 112!э ° 41 = — ь'мба а э ~~;-1= — (ар — а'). 2 э 3 (4) Делая я = О, получая время падение иэ точки С, расстоанве коей до центра ВС = а: э — 2 т 32м ° 1 = — а 3 если уравнение параболы ВЖР есть У'= йря то делав я = и имеем У= СР= э'2р ° Ча и очевидно, что время с пропорцяональво площали ВЖР. Длв гиперболы будет 2иэ юеэ — — ) О. и Полагая йи э йар "оэ — — =— а Ь получим /1 1! юэ йр,э .г ЬУ' ь12Ь)л .
41==== и точка л(, в которой ю= О, соответствует абсцисса а= — Ь в лежит по другую сторону от центра С гиперболы. Уравнение (2) будет Полагая, сэпветствевво тому как для аленина, ь а= — (СЬ йм — 1) 2 буде» якетьз Ь 1л-СЬ2м Сйем г =Ь.БЬ2 .и, ,т СЬта — 1 БЬ ля слежжательяо бей ° р ° бй = 2Ь Бйз м ° Нм = Ь (СЬ 2м — 1) ° Нм. Отсюда следует т'зо М ° 3 = — БЬ 2м — ЬМ ь 2 ь вли по умножении яа — з з 4 з таей з Ьз 4 ' Б — Ь и ° З= — ° БЬ2м — — ° м= — ~ — ) ° ~ — ° БЬ2м) — — ~ — ) ° 2»= = ОВЮ вЂ” ОВВЮ = ВВЮВ ибо но ураввевию гиперболы СЮ = — БЬ йм й 2 шедеаатезьво ь ь — — ° — БЬ2м= — ОВ- СЮ= плод.
ОВЮ 2'2'2 2 в — ~ — ) ° 2м =плод. ОВЖЮ. 2 (2) де роз аз а т. е. (лз= 1'еза в тогда условия нй перепвшутси таю зз — ( 2 движение эллиптичесиое )оз 2) — = 0 с* )оз (Ь) н параболическое н гиперболическое жз — — м )оз ножен написать аориулу йпз 2( е а ео' а м — 2= — 2— Ь Критерий различия вада орбит дается н прмсложеяяи ХХХ и'П в несколько явой вормс, нежели указано выше, ибо, вместо коэааипиента притяжения, вж дитси та скорость уо, с которою тело вод действиен давнего пеатра яоша бы оеисывать круг данного радиуса.
За этот радиус прививается начальное расстояние а, так что будет — 171— Предложение ХХХ 71П. 'деореиа ХБ Предполаьая, что центростремительная сила пропоринональна расстоянию места до центра, я утвершсдою, что для падающею жела орел~она, скорости и пройденные пространства аютветсавенно пропормкона,льны дубам, гас санусам а спнусам вервугам. я Пусть тело падает вз какого-лабо места ль (оиг. 81) по прямой АЯ. Из центра сил 8 радяу- тэ сом АЯ опвсынается четверть круга л(Е; пусть СЗ есть синус какой-либо дуги л(Р, тогда тело А в продолжение времеви (З при своем падении пройдет $ И пространство АС и будет обладать в точке С скоростью СР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
