Е.И. Несис - Методы математической физики, страница 7

Поскольку У является линейным оператором (аффинором), то ясно, что уравнение преобразованной линии также будет второй степени. Окружность деформируется в другую линию второго порядка. Более того, можно заведомо утверждать, что эта линия есть эллипс, ибо, как это ясно из физического смысла, главные значения )з и Хп тензора деформации всегда величины положительные (при Х < 0 тело должно было бы в результате деформации «вывернуться наизнанку>). Естественно назвать эллипс, полученный из окружности в результате деформации эллипсом деформации. Определим вид этого эллипса.

Полагая как обычно, что симметричный тензор У неособенный, можно из равенства г' =(У, г) выра- зить г через г'. г(0-', «'), где 0 ' — симметричный тензор, обратный О, т. е. 0 а0=1. Подставляя те- перь значение г в уравне- ние окружности (», г) = 1, получим: (0-1 "г).(у'- ",)=1 (и) Так как для симметричноРас. !О го тензора порядок сомно- жителей безразличен, т.

е. (у а, г)=(г, 0 '), то приходим к следующему уравнению для эллипса деформации: (г', 0 ' г')=-1, (9) где г' — текущий радиус-вектор точек кривой. Неоднократно уже отмечалось, что проще всего выглядит уравнение эллипса в системе координат, оси которой совпадают с главными осями тензора. Несложно убедиться из геометрических соображений, что при возведении в степень тензора его главные оси не меняются, а главные значения степени тензора равны степени главных значений тензора. Поэтому приведенный к главным осям тензор У ' принимает вид: )аЦ О О 1ЕЦ, Следовательно, в результате скалярного умножения У ' на р радиус-вектор г'=х1+у) получается новый вектор г": К..' у г"= (О ", г) = —,1+ —, 1 хй Подставляя (10) в (9), получаем слева скалярное произведение векторов (г', га), так что уравнение кривой принимает вид: ха уа уа+ аа (11) 1 й Это и есть уравнение эллипса деформации.

Его оси совпадают с главными осями тензора У, т. е. с направлениями наибольшего и наименьшего растяжений (или сжатий, если А < 1). Зная эллипс деформации, можно весьма просто определить, в какой вектор г' превращается любой вектор г (рис. !0). Подчеркнем, что для характеристики деформации всего тела нужно знать множество эллипсов в каждой точке тела (поле тензорных эллипсов). й 3. Тензор напряжений В недеформируемом теле отсутствуют силы взаимодействия между отдельными частями тела. Если же к этому телу приложить внешние силы, то оно будет деформироваться — молекулы тела будут смещаться до тех пар, пока возникшие внутри тела силы упругости, пропорциональные по закону Гука деформации и стремящиеся возвратить тело к первоначальному состоянию, не станут равными внешним силам.

Во всяком деформированном теле между соседними его частями существуют силы, которые действуют только по поверхности раздела, так как они порождены близкодействующим молекулярным взаимодействием. Если внутри деформированного (например, растянутого) тела провести некоторую площадку РЯ (рис. 11, а), то на верхнюю часть 1 со стороны нижней части П действует некоторая сила ~, зависящая при данной деформации от площади 5 этой площадки. Поэтому принята рассматривать отношение силы Г" к площади Я. Зто отношение о называют напря- жениелп Ясно, что вектор напряжения о не обязательно перпендикулярен площадке и зависит как от точки, выбранной внутри тела, так и от ориентации площадки.

Если мы рассматриваем определенну о точку, то, говоря о напряжении в ией, необходимо указать направление нормали, характеризукицей ориентацию площадки, и отмечать это соответствующим индексом. Так, о„— напряжение для плошадки, нормалью которой является ось Х, а„— напряжение для площадки, перпендикулярной оси Г и т. д.

(рис, 11, б), Поскольку через точку внутри тела можно провести бесчисленное множество по-разному ориентированных площадок, то может показаться, что для полного знания напряжений в этой точке нужно определить бесконечное количество векторов й для всех площадок. Оказывается, однако, что напряжения в каждой точке образуют тензор и поэтому достаточно знать три напряжения а„, о, о, по в ю трем взаимно перпендикулярным площадкам, чтобы можно было вычислить напряжение п„для проведенной через эту точку произвольно ориентированной площадки с нормалью и.

Итак, покажем, что напряжение представляет собой тензорную величину. Для простоты рассмотрим плоское деформированное тело. Вырежем мысленно вокруг рассматриваемой точки М внутри тела бесконечно малый треугольник АВС (рис. 11, в). Поскольку этот треугольник, как и все тело, неподвижен, то сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. На грань АВ действует сила, равная — и„) АВ~. Здесь знак минус объясняется тем, что нормаль к площадке АВ направлена в сторону, противоположную оси Х. Аналогично на грань АС действует сила — а„)АС ~, и, наконец, на грань ВС вЂ” сила +о„.~ ВС1 Таким образом, о„) ВС) — й„)АВ( — о„!АС',=-О.

Но, как ясно из рисунка, )АВ(=(ВС! соз(и,х) и (АС! = л = ) ВС) соз(и, у). Подставляя значения )АВ) и )АС) в предыдущее равенство и производя сокращение, получим: о„=а„соз(и, х)+п„соз(и, у), (12) Так как направление площадки ВС и иормали и выбрано произвольно, то сагласио (12) оказываются выполненными условия того, что о, и о, являются составляюшими теизора а (см. соотношение 1О в главе 1). Не должно смущать то обстоятельство, что векторы о„, о и о, построены в разных точках — ведь треугольник АВС бесконечно мал.

л Легко доказать, что тензор напряжений о является симметричным теизором. Диагональиые компоненты о„„, о„„, о„называются нормальными, а яедизгоиальные— о,„, о„„о„— сдэигоаыми. Если тензор привести к главийм осям, то он примет диагональный вид; о„О О О О о„ (13) $ 4. Тензор ииерции Важиой характеристикой механических свойств твердого тела по отношению к вращательному движению является его тензор инерции у. Известно, что моментом инерции тела относительно некоторой оси называется сумма произведений масс всех точек его на квадрат расстояния их от этой оси; 1 = ч', т„г1. (14) Момент инерции служит мерой инертности тела при вращательном движении, т. е. играет такую же роль, как масса тела в поступательном движении.

Формулы механики вращательного движения аналогичны соответствующим формулам поступательного движения. Так, кинети- чз Главные значения тензора Х, =ого Хп =о„, Хш — а„., называют главиыми напряжениями. Уравнение поверхиости напряжений имеет вид: )чх'+1.пд'+~„, '=1. Так как значения Хь Хц, Х,п могут в этом случае быть как положительными, так и отрицательными, то эта поверхность представляет собой либо эллипсоид, либо гиперболоид (одно- или двухполостный), ческая энергия тела при его вращении вокруг некоторой оси с угловой скоростью равна: (14') Уравнение динамики вращательного движения подобно второму закону Ньютона: где М вЂ” момент силы.

Однако, несмотря на такое сходство, между динамикой поступательного движения и динамикой вращательного движения имеется и существенное различие: в то время как масса тела и есть скалярная величина, момент инерции 7 является величиной значительно более сложной природы. Действительно, для одного и того же тела момент инерции может принимать бесчисленное количество значений в зависимости от выбора оси. Разберем этот вопрос подробнее.

Произвольное движение тела всегда можно представить как сумму поступательного движения некоторой точки, выбираемой за начало координат, и вращения тела вокруг начала координат. При этом выражение для кинетической энергии выглядит наиболее просто, если поместить начало вращающейся системы координат в центр инерции тела. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить о моментах инерции тела относительно осей, проходящих через центр инерции. Но ведь и таких центральных осей можно провести по различным направлениям бесчисленное множество, а значит, существует такое же множество соответствующих (центральных) моментов инерции.

Мы, однако, покажем, что момент инерции представляет собой симметричный тензор и поэтому достаточно знать шесть его скалярных компонентов в некоторой системе координат, чтобы определить его компоненты для любой другой тройки взаимно перпендикулярных осей, Общее выражение для кинетической энергии системы материальных точек имеет вид: (15) Абсолютную скорость точки можно представить как сумму скорости центра инерции и скорости, обусловленной вращением тела вокруг него; о« вЂ” — о„+)««, г«~). (16) Подставляя (16) в (15), получаем: 2 ~ ~« « ~~ « « ( "' ~ ' «1) 2 ~ (15') Так как ~т«равна массе тела т и по правилам смешанного произведения (о., ~м ~1) = (гм [о., ю1) то второе слагаемое в (15') можно представить в следующем виде: 1ом ы1 Хо «г«.

Из механики известно, что радиус-вектор центра инерции определяется по формуле: 1 г = — Р т«г„. т « Но так как начало координат мы совместили с центром инерции, то г,=О, нли ~',гп«г«=О. Поэтому второе слагаемое в (15') пропадает. Итак, -Ф В' = — то„'+ —,~„т«)о>, г,|'. Из векторной алгебры известно, что (а, Ь|«=а«Ь« — (а, Ь)'. Поэтому 1 1 % ~ -+ -« В'= — т 4+ — г гл ( 'г'« — (««, г )').

(17) 2 Формула (17) показывает, что кинетическая энергия тела состоит из энергии его поступательного движения Яг„„.= 1 = — то'„' и кинетической энергии, зависящей от угловой 2 скорости в энергии вращательного движения: )и... = —,2.т» (в»г» — (вг»)Ч. Рассмотрим последнее выражение подробнее. Поскольку в'г»э=(в„'+в„'+в,')(х»+у»+г») и (вг»)'= (в„х+ в„у+ в, г)', то для кинетической энергии вращательного движения имеем следующее равенство: 2 Х,т 1(у +г ) в„.

+(х„+г1) в„*+(х'+у»)в',— — 2 (х»у»а„в, + х„г»в„в, +у»г»в„в,)). (18) Обратим внимание на то, что в частном случае, когда ось вращения направлена вдоль одной из координатных осей, например вдоль оси Х, выражение (18) упрощается и принимает вид: РР З «~ Ф»(у»+») э где»'„— момент инерции относительно Х. Это наводит на мысль, что если ввести си м метр ичный тен зор, компоненты которого образуют матрицу ч',т. (у» -1- г',) — ~чп ~т»х»у» — '~~т»х г» у = — 'Ят»у»х» ~т»(х,'+г») — ~т»у г, я т»г»х» ~х т»г»у» ~х~~~ т (х» + у» ) ~ (19) то можно будет выражение (18) записать кратко так: )" '»=Т (в ~в) (20) Эта формула является обобщением равенства (14'), и поэтому 1 естественно назвать тензоро,и инерции. Прежде чем перейти к подробному анализу свойств тензора инерции, покажем, что он действительно является тензорам. Для этого рассмотрим матрицу: ~ у»+г' — ху — хг — уХ Х~+гэ — гх — гу х' +у' Она, очевидно, представляет собой разность двух тензоров: единичного тензора 1, умноженного на квадрат радиус-вектора г' = х'+у»+ га, и симметричной диады ( г, г).