Е.И. Несис - Методы математической физики, страница 9

Таким образом, если в некоторой точке поля б'па=О, то поток вектора через соседние сечения тонкой трубки неизменен: г(У =- а„гБ = сопз(. Вблизи же тех точек, где б(та~0, поток г(У вдоль узкой векторной трубки увеличивается (при 01ч а > 0) или уменьшается (при 61ча < 0). Другими словами, если сечение векторной трубки постоянно, то численное значение 01т а в данной точке М поля характеризует быстроту изменения длины вектора а вдоль векторной линии, проходящей через М.

( ( й д д л дк ду дг а„ а„ а, (зо) го(а= Для выяснения физического смысла ротора рассмотрим сперва плоские векторные поля о(х,у), где о — линейная 66 $7. Физический и аналитический смысл ротора векторного поля Прежде всего заметим„что определяемый формулой (25) вектор го( а можно еще представить в виде символического определителя третьего порядка: скорость частиц сплошной среды. В этом случае о, и производные по г обращаются в нуль и мы получаем: К у А д д — — 0 дх ду а„ а„ 0 (30') го(о= Отсюда видно, что ротор в каждой точке направлен перпендикулярно плоскости векторного поля ХО«.

Положим вначале, что движение совершает плоское твердое тело (тонкая пластина). Как известно из механики, скорость его перемещения всегда можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движений: «у=по Ь «] где о,— скорость центра инерции тела (скорость поступательного движения тела), (в, «] — линейная скорость вращения вокруг центра инерции произвольной точки тела, радиус-вектор которой равен «, ~о †вект угловой скорости, направленный по оси вращения, 'одинаковый для всех точек тела (в =сопя().

Так как поступательная скорость у всех точек твердого тела одинакова (о, = сопя(), то ясно, что го( о, = О. Следовательно, го(у=го1(в, «]. Выберем оси координат таким образом, чтобы ось вращения тела совпала с О«., а плоскость ХО)' — с плоскостью движения пластины, тогда в„=в„=О а,=в, а точки тела характеризуются только двумя координатами (х, у). Поэтому согласно правилам векторного умножения векторов: 1' й 0 0 в = ву(+ах! х у 0 57 Подставляя в Формулу (30') компоненты вектора (а, г], получим: го((в, «] — -- 2ай или го1 о 2г». (91) Ротор линейной скорости твердого тела есть вектор, равный удвоенной угловой скорости его вращения. Поскольку у твердого тела угловая скорость У в постоянна, то вектор- ное поле го1о также явРас. 18 ляется постоянным (рис.

!8), Знание ротора векторного поля весьма важно для определения циркуляции вектора по произвольному замкнутому контуру. Пусть в поле а(г) задана направленная замкнутая линия Е (направление обхода линии принято таким, чтобы ограничиваемая этой линией поверхность оставалась слева). Тогда криволинейный интеграл вектора по линии Л называется циркуляцией Г: Г=фа,б(=фаг(г=ф(а„дх+а„бр+а,дг). (32) е ь Циркуляция обладает свойством аддитивности. Это свойство состоит в следующем.

Положим, что контур Ь, по которому определяется циркуляция Г, ограничивает поверхность Я. Разобьем последнюю на части 5, и Я„ограничиваемые контурами Е, и А, (рис. !9). Поскольку интегралы по внутренним участкам этих контуров одинаковы р . и Рас. 20 по модулям, но имеют противоположные знаки, то Г=Г,+Г,. Таким образом, циркуляция, «порожденная» на поверх- ности Я, равна сумме циркуляций Г, и Г„«порожден- ных» частями этой поверхности Я, и 5,. Учитывая это, можно ввести понятие «плотности порождения циркуля- дГ ции» вЂ”, отнесенной к единице площади поверхности. Ю' Рассмотрим плоское векторное поле а (х, у). Выберем в нем бесконечно малый прямоугольник (рис.

20) с пло- щадью ЛЯ и вычислим циркуляцию ЛГ по его контуру (Л(.). Очевидно, ЛГ = ) (и„йх+ а„йу) = ~ а„йх+ ) а„йу+ ~ а„йх)- ) а„йу. ье и) (3! (3) (41 Можно показать, что с точностью до бесконечно малых высшего порядка /да» а „~ ЛГ= ~, д д ) йхйу= тот и'Л~~ ~дх ду ) где и — единичный вектор нормали к площадке Л5. В об- щем случае трехмерного поля и произвольно ориентиро- ванной площадки циркуляция по бесконечно малому замкнутому контуру определяется такой же формулой, поэтому всегда «г > — =го( а ДЯ и ! т.

е, го(а есть предел отношения циркуляции у а,й по нормальному малому контуру Л1 к величине площадки ЛЯ, ограниченной этим контуром при ЛЯ вЂ” »О, Если в пространстве задана конечная замкнутая кривая )., ограничивающая поверхность 5, то получаем интегральное равенство, называемое теоремой Стокса уз а, Н = ) ) го(„а й5, (зз) Циркуляция переменного вектора а по произвольной замкнутой кривой «. равна потоку ротора этого вектора через поверхность 5, опирающуюся на контур ). Для выяснения аналитического смысла ротора как -> -г векторной производной векторного поля и (г) (для нагляд- нв ности положим, что и — вектор смешения точек сплошной среды) поступим следующим образом. Рассмотрим тонкую векторную трубку, внутри которой находится точка М, и проведем через зту точку нормальное сечение Ло, которое с точностью до малых высшего порядка можно считать плоским.

Построим теперь в каждой точке площадки Ло' векторы иЖ (где Лт — некая малая величина, которую для краткости назовем «относительным параметром смещения»). Ясно, что геометрическое место концов векторов и.Лт образует новое сечение Ло' векторной трубки. Площадка Ло' не только смещена относительно Ло', но и отличается от нее как по форме, так и по ориентации в пространстве.

Эти изменения харак- ЙИ теризуются тензором-производной —, причем его симмет- ЙГ ричная часть йз определяет деформацию площадки Ло, а антисимметричная часть го(и определяет величину ее поворота в пространстве. Угол Л<р поворота площадки, как нетрудно показать, равен Л~р= — го1 и.Лт. 2 Это приближенное равенство становится точным в пре- деле при Лт-+ Ол го1 й= 2 — Ч'. Ыт ' (34) Понятно, что множитель 2 не имеет принципиального значения, поэтому можно сделать следующий вывод, Ротор векторной функции характеризует быстроту поворота сечения векторной трубки при перемещении его точек на расстояния, пропорциональные векторам и. В том случае, когда векторная функция и =в(г) определяет поле скоростей частиц деформируемого тела, остается справедливой формула (31), полученная нами для твердого тела, т, е.

го1о = 2«». Ротор линейной скорости в каждой точке равномерно движущейся сплошной среды равен удвоенному вектору угловой скорости вращения элемента объема, окружающего данную точку. 60 Рис. 21 й 8. Оператор Гамильтона Большинство дифференциальных операций в теории поля упрощается при введении оператора Гамильтона, называемого еще символически вектором <иабла» (у): .'д .'д 'д р =1 — + (' — +й —, дх ду дг ' (35) С его помощью основные действия по дифференцированию скалярных и векторных функций сводятся к соответствующему умножению оператора и на эти функции.

61 Точки поля, где го1 о~О, называются вихрями потока. Наглядное представление о роторе скорости можно получить с помощью такого примера. Пусть скорости частичек воды на поверхности реки образуют некоторое векторное поле о(х, у). Бросим в реку множество небольших полосок фанеры. В тех местах, где полоски плывут поступательно, не вращаясь, го1 о=-О. Наоборот, на участках потока, где го1 с-ьО, т. е. где существуют вихри, полоски фанеры будут вращаться, и тем быстрее, чем больше по модулю го1 о.

На рисунке 21,а и б графически представлены векторные поля го1о плоских течений жидкости, для которых скорости заданы формулами: > а) с =гз(со„г], б) о= — (со„г), где в„=сопз1. Градиент скалярного поля огай ф = М+ ) — ~+ А д— у дг ду дг можно представить как произведение вектора д иа скаляр гу: (36) игаг( ф = ггпу. Дивергенцию векторного поля а да„ да„ да сИу а= — "+ — + — ' дх ду дг можно рассматривать как скалярное произведение векторов д на вектор а: йч а = (~7, а).

(37) Ротор векторного поля а ) й д д ду дг а, аг г' д дх го(а= совпадает с векторным произведением оператора р на а: го( а=~~г, о). (38) Наконец, тензорное произведение р на вектор а представляет собой транспонированный тензор-производную: дг„дау да дх ог дх да дау да ду ду ду дгг да~ дг д д д (39, Преимущество пользования оператором Гамильтона заключается в том, что, выполняя различные другие дифференциальные действия иад скалярными и векторными функциями, можно рассматривать ~7 формально как обычный вектор и применять к нему правила векторной алгебры.

Нужно только учитывать, что 'д есть лиф~иренциальный оператор, обладающий свойствами производной. Отсюда вытекает ряд следствий. 1. Так как оператор р является линейным, то результат его применения к сумме двух функций равен сумме произведений оператора ф на каждое слагаемое: ф(ф+ф) = рр+ р~, или йгай(ф+ф) =ргнф-)-дгаг(ф, (р, а+Ь) =(р, а)+(ф, Ь), или Йч(а+Ь)=Йча+ЙчЬ, [р, а+Ь1=[ф, а|+[ф, ЬЬ или го1(а+Ь) =го1 а+го1 Ь. 2. Поскольку р — дифференциальный оператор, то в тех случаях, когда функции ф или а являются постоянными, рф=О, (р, а) =-О, [р, а(=О. 3.