Е.И. Несис - Методы математической физики, страница 8

Следовательно, по правилам тензорной алгебры величина Я представляет собой тензор: Р=г»1 — (г, г). Несложно проверить далее, что матрица 1 является суммой произведений масс (скаляров) каждой точки тела на л л л тензоры Я» для этих точек, т. е. 1=-'~,'ла»)с». Отсюда вытекает, что 1 есть тензорная величина. Перейдем теперь к анализу матрицы компонентов (19), характеризующей тензор инерции 1. Его диагональные элементы 1„„, 1 и 1„являются моментами относительно осей х, у и г. Недиагональные элементы 1„„, 122 и 1„ называют поля р ными или центробежными момейтами инерции, однако они не имеют простого физического смысла. Тензор инерции, как и всякий симметричный тензор, имеет три взаимно перпендикулярные главные оси и н е р ц и и, которым соответствуют главные моменты инерции 1»о 1„, 1„. В системе главных осей тензор инерции принимает диагональный вид: 1„0 0 1= 0 1„0 0 0 1„ При этом вращательная кинетическая энергия выражается весьма просто: 1 а а 2 (р »Р == 2 (122»22 + 122»22+ 12»аза).

Симметричному тензору 1 сопоставляют эллипсоид инерл ции (г, 1 г) = 1, уравнение которого в главных осях имеет вид: (21) (Это уравнение всегда определяет именно эллипсоид, ибо, как ясно из физических соображений, моменты инерции 1»м 1„и 1„не могут быть отрицательными.) Вид эллипсоида инерции зависит от распределения масс в теле; он отсекает на произвольной оси У отрезки, равные Я 1„ (где 1„„ †моме инерции относительно оси У). Если тело обладает определенной симметрией в распределении масс, то такой же симметрией, очевидно, должен обладать и эллипсоид инерции. Это обстоятельство весьма облегчает нахождение вида эллипсоида инерции.

Допустим, что тело обладает плоскостью симметрии, совпадающей с координатной плоскостью УОУ. Тогда ясно, что ось Х является одной из главных осей инерции, а две другие лежат в указанной плоскости. Если тело обладает осью симметрии, то она является также осью эллипсоида и, следовательно, главной осью инерции. Легко видеть, что если порядок оси симметрии, скажем оси Я, выше второго, то в качестве остальных двух главных осей можно взять любые два взаимно перпендикулярных направления в плоскости ХОУ.

При этом моменты Т„„и 1„„равны между собой. Действительно, если порядок симметрии оси равен 4 (рис. 12, а), то при повороте параллелепипеда на угол 90' эллипсоид инерции ие должен измениться † является эллипсоидом вращения. Отсюда следует равенство двух его полуосей (рис. 12, б). Рис. 12 С помощью таких исерассуждений нетрудно показать, что для куба эллипсоид инерции имеет форму шара (рис. 13). й 5. Скалярный и векторный ни вариан ты тензорапроизводной векторного поля Как мы знаем, полнойднфференциальной характеристикой векторного поля а(г) является тензорное поле да =(г).

Но оказывается, что быИг строту изменения векторной функции а можно еще определить (хотя и не так строго) с помощью инвариантов ген- -> Рис, !3 щ вора — „. Тем самым можно дг вместо тензорных использовать более простые величины— скалярные и векторные. Математический аппарат описания аналитических свойств векторных полей получил название векторного анализа. Запишем матрицу компонентов тензора-производной: ~дах да„ дах( дх ду дг ' да ~даг даи даг дг дх ду дг да, да, да, , дх ду дг Первый инвариант этого тензора, равный сумме его диагональных элементов, называется дивергенцией (расходимостью) векторной функции а,„а, м.

Йча= — "+ — + — '. дах дат да дх ду дг (22) Чтобы познакомиться со вторым используемым в вектор- вквивалентен антисимметричному тензору А и представляет собой векторный инвариант тензора-производной. Совокупность двух величин — скаляра д!та и вектора го(а, — являющихся инварнантами тензора-производной »!« — может служить дифференциальной характеристикой ЙГ векторного поля а(г).

Каждая из этих величин имеет непосредственный физический и геометрический смысл, который мы выясним ниже. Однако сначала необходимо ответить на следующий вопрос: как могут скаляр д!ча и вектор го(а, определяемые в совокупности четырьмя числами, характеризовать векторное поле а(г), т. е.

выполнять ту же задачу, «а что и тензор —, определяемый девятью скалярными «г числами? Конечно, б)ча и го(а, называемые иногда скалярной и векторной «производными» функции а(г), не «а эквивалентны в точности тензору-производной —. В то Йг время как тензор-производная однозначно и полностью характеризует в окрестности рассматриваемой точки пространства быстроту изменения векторной переменной а, дивергенция и ротор этой функции описывают ее поведение неполно и неоднозначно. Это значит, что могут существовать две различные векторные функции а(г) и Ь(г), у которых б)та=с)(чЬ и го(а=го(Ь, хотя «а»!Ь вЂ” ~ †.

Однако если йча н го(а известны в каждой точке Ы поля и на его границах, то сама векторная функция а(г) определяется однозначно. й 6. Физический и аналитический смысл дивергенции векторного поля Пусть в некоторой области задано векторное поле скоростей текущей жидкости о (г). Легко видеть, что через произвольную малую площадку г(3 за одну секунду про- 5! Рис.

14 текает то количество жидкости, которое заполняет объем наклонного цилиндра с основанием й5 и образующей о (рис, 14). Поскольку высота цилиндра равна проекции образуюгцей на нормаль и к площадке й5, то объем вытекшей жидкости составляет величину йУ = о„й5, (26) называемую потоком вектора о через площадку й5. В общем случае п о током произвольной векторной функции а(г) через конечную поверхность Я называют двойной интеграл по этой поверхности от йУ: Ж=)) а„д5. Если поверхность 5 является замкнутой и ограничивает объем и', то поток вектора а через нее Лl = $ а„сЮ определяет объем жидкости, вытекающей (при Ф >О) из У в окружающее пространство или, наоборот, втекающей (при М < О) внутрь объема о за единицу времени„Из геометрических соображений ясно, что значение потока через некоторую замкнутую поверхность 5 связано с тем, как быстро меняется величина вектора а вдоль векторных линий (или линий тока) внутри рассматриваемой области, Нетрудно доказать следующее утверждение, известное как теорема Гаусса †Остроградско.

Поток Ф переменного вектора а через произвольную замкнутую поверхность 5 равен (тройному) интегралу от дивергенции этого вектора по объему и', ограниченному этой поверхностью: и $,.ы-111и а. (28) Применяя это равенство к небольшому объему АУ, огра- ниченному малой поверхностью ЛЯ, можно приближенно записать: ззгу= а„г(Яждгча М1, откуда д!Ч Йча=— дк (29) Если а означает скорость жидкости, то б(ча в данной точке равна отношению объема жидкости г()ч', вытекшей за единицу времени из бесконечно малого объема г(У, к величине г(У. Отсюда и произошел термин дивергенция (расходимость): жидкость растекается из тех точек (источников), где б!ча > О, и, наоборот, стекается туда, где д)ча (О (стоки).

Величину д(ча называют поэтому мощностью источника. В качестве примера рассмотрим следующие плоские векторные поля (рис. (5): -> > -» г хг+у! '+ г х!+у! г х!+у! г )Гхз ! уз ' г' х'+у ' га (хз ! уз)з/3 ' Найдем их дивергенции: да, дар ! ! д!ча= — "+ — = = — )О, дх ду У хз+уз г дах дЬ, 6!ч Ь = — "+ — "=О дс„ даз ! ! б(чс — "+ — —, = — — <О. дх ду (хз-)-уз)мз гз Понятно, что это приближенное равенство выполняется тем точнее, чем меньше рассматриваемый объем ЛУ. Исходя из этого, мы приходим к другому определению дивергенции вектора. Дивергенция векторного поля а(г) в данной точке равна пределу отношения потока ЛУ через малую поверхность Ь5, окружающую эту точку, к объему ЛУ, ограниченному этой поверхностью, при стремлении последнего к нулю: л =Салат Следовательно, каждая точка поля а(г) является нсточннком, мощность которого убывает с расстоянием от начала координат пропорцнонально 11г; поле Ь (г) не имеет источников; а в каждой точке поля с (г) имеется сток, мощность которого убывает пропорционально 11г'.

Чтобы этн выводы сталя понятными, прнмем, что а, Ь н с представляют собой скорости плоского течення воды в бассейне нензменной глубины. Рассмотрим тонкий слой Р, ограннченнын двумя коакснальнымн цнлнндрнческими поверхностями 5, н 8, (рнс. 16), Если объемы жидкости Уи н У„вытекающне н втекающне нз Ь' через Я, н Я„одннаковы, то нсточников (положнтельных нлн отрицательных) в Р не существует.

Когда же У, ~ У„в слое Ь" суще Рис. 15 ствуют либо источники (прн У, > У,), либо стоки (прн У, < У,). Заметим теперь, что плошади 5, н Я, ограничивающих слой Р цилиндрических поверхностей пропорцнональны радиусу цилиндра г. Поэтому только у поля Ь(г), для 1 которого модуль скорости 1Ь) —, объем протекающей через цилиндрическую поверхность жидкости У = =)Ь| Я=сопз1. У поля же а(г) модуль скорости равен единице (! а ) — "- 1) и поток )У = Я растет с удалением от центра (через большую поверхность Я, вытекает воды больше, чем втекает через 5,). Это возможно только в том случае, если в полу бассейна имеются источники, нз которых вода поступает в бассейн.

Наоборот, в случае поля с(г) скорость )с)с расстоянием 1 убывает пропорционально †,, в то время как площадь растет пропорционально г,Поэтому поток жидкости Ж=-',с~ Зв целом Рис. !6 уменьшается. Иными словами, У, ( )у,. Это возможно, если часть воды уходит из бассейна через пол. Перейдем теперь к выяснению аналитического смысла дивергенции как скалярной производной векторной функции а(г). Для этого прежде всего введем понятие векторной трубки. Векторной линией называется кривая, касательная к которой в каждой точке поля совпадает по направлению с переменным вектором в этой точке. Цилиндрическая криволинейная поверхность, образующие которой являются векторными линиями, называется векторной трубкой (рис. 17).

Пусть теперь рассматриваемое векторное поле а(г) таково, что во всех его точках б)т а = О. Такое поле принято называть вихревым или соленоидальным. Рис. 17 55 Легко убедиться с помощью формулы Гаусса — Остроградского, что в таком поле поток вектора а через произвольное поперечное сечение трубки есть величина постоянная: )) а„гБ= ~) а„ЛЯ=сова(. Если же поле не является вихревым (д!та~О), но в окрестности некоторой точки Йт а =- О, тогда для двух близких сечений ЛЯ, и ЬЯ, тонкой трубки, охватывающей эту точку, имеем (с точностью до малых высшего порядка): Это приближенное равенство тем точнее, чем тоньше векторная трубка и короче расстояние между рассматриваемыми сечениями.