Е.И. Несис - Методы математической физики, страница 3

) Но так нли иначе, выбрав определенную систему координат и сопоставляя каждому вектору а пару чисел а„ и а„мы получили возможность различные геометрические действия с векторами выполнять с помощью хорошо известных операций над числами. Так, например, суммой двух векторов а и (т называется вектор с, проекции которого равны суммам соответствующих проекций слагаемых: с„=- а„+ 6„, с„= а„+ ба, произведением вектора а на число ) называется новый вектор, проекции которого равны Ха„н йаа и т. и. Однако дальнейшее развитие векторного исчисления показало, что введение скалярных проекций, определяющих произвольный вектор, позволяет сверх этого более глубоко взглянуть на векторные величины, рассматривая их не как геометрические, а как некоторые алгебраические объекты.

А именно, можно дать следующее аналитическое (алгебраическое) определение вектора. Вектором называется некоторая величина а, характеризуемая в каждой системе координат ХОУ двумя скалярами а, и а,, которые при переходе к другой системе 14 .квординат Х'ОУ' преобразуются с помощью формул (8) »» в«»вые скаляры а„' и а„'. Конечно, это определение векторной величины значительно сложнее геометрического, но оно имеет три важных преимущества. Во-первых, с его помощью легко обобщить понятие вектора не только иа реальное трехмерное пространство, но и на вещественные и комплексные пространства любого числа измерений.

Такое обобщение„как мы увидим ниже, оказалось весьма плодотворным для современной физики. В о- в то р ых, определив вектор аналитически, мы можем отвлечься от его непосредственного образа, абстрагироваться от наглядных представлений о направленном отрезке и рассматривать его как величину произвольной физической природы. Так, например, известно, что любой цвет можно получить путем смешения в определенных пропорциях трех красок основных цветов (красного, зеленого и синего). Поэтому каждый цвет можно рассматрн- вать как некий пространственный вектор а с тремя компонентами а„, а„„а,„„, характеризующими концентрации соответствующих красок. Наконец, аналитический подход позволяет обобщить понятие вектора и ввести более сложные математические величины — теизоры второго и более высоких рангов„которым вообще не соответствуют наглядные геометрические образы. (С этой точки зрения вектор есть тензор первого ранга.) Однако наряду с достоинствами, алгебраическое представление вектора а в виде проекций а«и а, обладает и существенным недостатком: ведь проекции зависят не только от определяемого ими вектора, но и от выоорз системы координат.

Говоря словами известного советского геометра П. К, Рашевского, «при координатном методе исследования на изучаемую геометрическую картину накладывается случайный выбор координатной системы, и те аналитические данные, которые мы получаем, отражают не только то, что нас интересует, но и то, что вовсе нс интересует и что без надобности усложняет результаты. Возникает потребность в сложных построениях научиться отделять геометрически существенное от случайно привнесенного выбором осей координат». 15 Последняя задача частично решается путем установления так называемых ннвариантных соотношений между скалярными проекциями, определяющими вектор, или скалярными компонентами более сложной математической величины — тензора.

Ясно, что хотя значения а„н а„и зависят от выбора осей координат, тем не менее они определяют геометрический объект — вектор. Следовательно, между ними должны существовать одна или несколько зависимостей, которые характеризуют внутренние геометрические свойства этого объекта, не зависящие от выбора координатной системы и называемые инеариантажи: Ф(а„, а,) =-сй(а'„, а„) =- (пч.

Каждый инвариант имеет непосредственный геометрический (нли физический) смысл. Легко видеть, что в случае плоского вектора а, определяемого двумя скалярными компонентами (проекцнями) а„и а, инвариантиым соотношением является функция а„*+ а„', равная квадрату длины вектора, это соотношение инвариантно к повороту прямоугольных осей координат, ибо, возведя в квадрат равенства (8) и сложив их, получим: ,й а„' +а', =а„+а„'.

$ 3. Векторные поли и их дифференциальная характеристика Пусть каждой точке «(х, у) плоскости (нли части ее) соответствует некоторый вектор а(«), т. е. имеется векторная функция координат илй векторное поле. Как определить быстроту изменения векторной переменной а в окрестности произвольной точки М? Ясно, что это задача дифференциального исчисления и она сводится к определению производной векторной функции а по векторному аргументу «.

Как и в случае скалярного поля, начнем с определения производной по данному направлению (: ~' = Иш (9) щ «и а а! где и, и а, — значения векторной функции а в точке М н близкой к ней на прямой ( точке М,, !6 Из (и) следует, что производная — есть величина да дС векторная. Для другого направления Г, проведенного да через точку М, получим другой вектор —,. Но это не значит, что для полной дифференциальной характеристики векторного поля в данной точке необходимо знать бесконечное количество производных от а по всем всевозможным направлениям. Оказывается, что, как н в случае скалярного поля, достаточно знать всего две векторные производные по двум взаимно перпендикулярным направлениям, скажем да да — и †.

Дело в том, что производная по любому друах ду да гому направлению весьма просто выражается через дх аа и —. Действительно, всякий вектор а полностью опреар деляется в системе координат ХО)' двумя скалярными компонентами а„и а„. Поэтому любому векторному полю а(х, у) всегда в этой системе координат можно сопоставить эквивалентную совокупность двух скалярных полей а„(х, у) и а„(х, у). А так как производной скалярного поля является градиент, мы получаем, что пара векторов ра„и 7а„, построенных в интересующей нас точке векторного поля, полностью характеризует в ее окрестности поведение функции а(г).

Но поясно ли отсюда заключить, что производной векторной функпии а(х, у) является пара векторов ра„и уа„? Внимательное рассмотрение существа дела показывает, что на этот вопрос следует ответить отрицательно. Подобно тому как в случае скалярного поля ср(х, у) дср а<р частные производные — и — представляли собой псевдодх ду скалярные величины (их значения зависелц не только от вида функции ср(х, у), но и от выбора осей Х и )'), в случае векторного поля а(х, у) градиенты уа и ~а„являются псевдовекторами, пбо оии ие имеют инвариантного смысла„ а зависят от выбора осей координат.

Ведь, выбрав новые оси Х' н )", мы тому жс векторному полю а (х, у) сопоставим два других скалярных поля а,'(г) и а „'(г) и поведение функции а в окрестности рассматриваемой точки будет определяться другой парой векторных величин Та,' и Та„'. Все зто наводит иас на мысль, что в случае векторного поля имеет место такое же положение, что и в случае скалярного поля. Мы уже знаем, что поведение скалярной функции ч (г) характеризуется в каждой системе координат своей парой скалярных величии — н — , дпг дх ду * которые являются компонентами вектора Тгр, имеющего непосредственный, инвариантный, не зависящий аг выбора системы координат смысл.

Точно так же поведение векторной функции а(г) в любой системе координат характеризуется парой векторных величин ра, и Та„. Поскольку, однако, характеризукхцая поведение функции а (г) производная должна иметь объективный, инвариантный смысл н не должна зависеть от выбора осей, то следует рассматривать уа„ и Таз как векторные составляющие в данной системе коордийат некоей более сложной величины, ла называемой главвором и обозначаемой в виде —.

Тензор На — и является производной векторной функции а(г). й. Из всего этого, в частности, следует, что тензор представляет собой инвариантную математическую величину, которая в каждой системе координат определяется парой векторных составлякхцих, подобно тому как вектор есть иивариантиая величина, определяемая в каждой системе своей парой скалярных компонентов. Перейдем теперь к подробному изучению тензорных величин. $ 4. Тензоры и их свойства Тензором называется величина П, характеризуемая в системе координат ХОУ двумя векторами р„ в р, преобразующимися прн переходе к другой системе координат Х'ОУ' в векторы р„' и р„' по формулам: р„'.== р„гоз (х, х)-(- р, соз(х', у), р„'=р,,соз(у', х)+р соз(у', у).

г 18 Векторы Р„и Р» называются составляющими тензора > П по осям Х и г'. Подчеркнем, что р„и р„не являются какими-то частями тензора (тензор есть единая величина), а лишь характеризуют эту величину в данной системе координат. В другой системе координат мы получим другие составляющие, причем каждая «новая» составляющая зависит от всех «старых» составляющих. Подобно выражению вектора через компоненты а = = а„«+а,), принято записывать тензор через составляющие П=-р»~+ р„('. (Следует иметь в виду, что зта запись символическая: Р, т — не скалярное произведение двух векторов.) Так как Р„и Р, — векторы, то их можно разложить на компоненты: Р«=Р..