Е.И. Несис - Методы математической физики

530.1 Н55 60602 — а69 103 103) — 77 630.1 © Издательство «Просвещение», 1977 г, Несис Е. И. Н55 Методы математической физики. Учебн. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. М., «Просвен1ение», 1977. 199 с. с ил. В книге изложен учебныб материал па математической теории поли, дифферендиальным урзвиеииим в частных производных и линейной алгебре в объеме„соответствующем учебной программе по курсу чщетоды математичесиое физики дли физино-математических факультетов педагогических институтов. пэвдмвт мдтвмлтичвской эизикм Физика в своем историческом развитии постепенно превращалась из науки описательной в науку точную.

Для характеристики различных явлений и процессов, происходящих в природе и технике, физики все шире используют математические методы, или, как принято говорить, соответствующий математический аппарат, Для этой цели пришлось прежде всего ввести мер у каждого физического свойства. Пока физики имели дело с простейшими свойствами тел, в качестве меры каждого нз них можно было ограничиться скалярными величинами, обычно показывающими, во сколько раз мера данного свойства у рассматриваемого тела больше некоторого едчиичного масштаба. Так были введены такие скалярные величины, как длина, площадь, объем, масса, время, температура, электрический заряд, энергия и т. п.

Со временем выяснилось, что для количественного описания быстроты движения, изменения этой быстроты, взаимодействия тел и т. п. скалярные величины не подходят. В этих случаях оказались пригодными более сложные математические величины — направленные отрезки, или веюиоры. В конце Х!Х века физикам стало ясно, что для характеристики деформаций, инерции при вращательное| движении, усилий в деформированных твердых телах и т. п.

необходимы величины еще более сложной математической природы — тензоры. С другой стороны, развитие количественных методов показало, что одно и то же физическое свойс|во в разных точках исследуемого объекта может принимать различные значения, и поэтому для математического описания необходимо знать совокупность значений соответствующей величины во всех точках рассматриваемого объекта, Так в физике постепенно сложилось представление о математическом иоле — области пространства, каждой точке которого соответствует определенное значение некоторой физической величины. Поля бывают скалярные, векторные и тензорные. Каждое из них, в свою очередь, может быть стационарным (если физическая величина в каждой точке области со временем не меняется) или нестационарным, Ясно, что стационарное поле есть функция координат х, у, г точек пространства, а нестационарное поле представляет собой функцию четырех переменных: координат х, у, г и времени 1.

Введение понятия поля сыграло в физике такую же прогрессивную роль, как в свое время появление в математике понятия переменной величины, Основная задача математической физики †э аналитическое исследование скалярных, векторных и тензорных полей физических величин. В математической физике рассматриваются две проблемы — прямая и обратная. Прямая проблема состоит в следующем. Задано правило определения интересующей нас физической величины в любой точке пространства, т, е.

задано поле; требуется установить характер этого поля, т, е. быстроту его изменения от точки к точке, Изучением дифференциальных свойств различных полей занимается математическая теория лояя, Обратная проблема состоит в нахождении некоторой физической величины, т, е. конкретного вида матема. тического поля, если известны условия, в которых находится Физический объект.

Приведем пример. Пусть сплошной металлический цилиндр касается нижним основанием горячей воды (Т = Т,), а остальная его поверхность окружена холодным воздухом (Т = Т,). Физически ясно, что внутри цилиндра вследствие теплопроводностн материала установится тепловое равновесие и образуется стационарное скалярное поле температур Т= Т(х, у, г) (рис.

1), Внд этого поля можно определить аналитически. В общем случае любое физическое явление или процесс представляет собой изменение каких-либо физических величин (скалярных, векторных, тензорных) в пространстве и во времени. Поэтому математическое поле, вообще говоря, описывается функциями четырех независимых переменных х, у, г, г. И задача состоит в нахождении этих функций. Для нахождения неизвестных функций нужно, исходя из управля- "в кяцих даииым физическим явлеиием закоиомериостей, составить фуикциоиальиые уравнения, решая которые можно будет найти искомые фуикции. По причинам, которые мы выясиим ииже,эти фуикциоиальиые уравнения обычно представляют собой своеобразиые дифференциальные уравнения, в которых искомая функция зави- "' ч сит от нескольких переменных.

Изучеиием методов составления и, главное, иитегрироваиия уравиеиий такого рода заиимается вторая часть математической фи. вики †шеор ди4ференииальных уравнений в частных производных. Совокупность теории поля и теории диффереициальиых уравиеиий в частиых производиых образует так иазываемую классическую математическую физику. Однако за последние несколько десятков лет в связи с успехами теории относительности и открытием качествеиио новых, квантовых свойств у микрочастиц (молекул, атомов, ядер, электронов и т. и.) задачи математической физики значительно расширились: появилась иеобходимость в изучении полей комплексных величин в комплексном простраистве, в использовании для их исследоваиия ие только методов математического 'анализа, ио и сравнительно новой математической пауки †линейн алгебры, являющейся своеобразным сочетанием алгебраической теории систем уравнений первой степеии и аналитической геометрии и-мерных плоских пространств.

Этим вопросам посвящеиа третья часть предлагаемого пособия, Часть первая МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ Глана !. скаляаныа, аактоаныа и танзовныа поля на плоскости Чтобы максимально облегчить изучение математической теории поля, мы в этой главе ограничимся рассмотрением простейших стационарных полей на плоскости и будем пользоваться только прямоугольными декартовыми координатами. ф 1. Скалярное ноле н векторное поле его градиента Скалярным полем называется область плоскости, «аждой точке которой сопоставляется некоторое значение скалярной величины ~р.

Так как произвольная точка на плоскости характеризуется координатами х, д или радиус-вектором г, то аналитически любое скалярное поле может быть задано либо в виде функции координат <р = ~р(х, у), либо в функции радиус-вектора р= р(т). Геометрически двумерное скалярное поле Ч~ = — Ч~ (х, у) можно рассматривать как некоторую поверхность в пространстве трех измерений, где всякой точке (х, р) плоскости соответствует своя высота г=р (х, у) (рис. 2). Как известно из дифференциального исчисления, ва>кнейшей аналитической характеристикой функции одной дд переменной 5 =-) (р) является ее производная —, опрей деляющая быстроту изменения зависимой переменной 3 с изменением аргумента г.

Какая же величина играет роль производной в случае скалярного поля ~р =~р(х, у)? Пусть ~р(х, у) является в заданной области непрерывной, однозначной и диффереицируемой функцией координат х и у. Чтобы дать количественную характеристику быстроты изменения скалярной величины ~р в окрестности произвольной точки М поля, введем понятие производной по данному направлению. Производной скалярного поля ~р =-~р(х, у) по некоторому направлению р называется предел отношения приращения зависимой переменной в этом направлении к перемещению, когда последнее стремится к нулю: д'р (( 'р% (1) др м ,ь И где ~р, и ~,— значения скалярной функции ~р соответственно в рассматриваемой точке М и соседней точке М', отстоящей от М на расстоянии М вдоль выбранного направления ( (см.

рнс. 2). Очевидно, что величина — зависит от выбора направдсф д~ ления й И поскольку через точку яа плоскости можно провести бесчисленное множество различных направлений, то может показаться, что для дифференциальной характеристики скалярного поля необходимо задать в каждой точке (х, у) бесконечное количество производных — по дср всевозможным направлениям, проходящим через эту точку. Оказывается, однако, что вследствие непрерывности и однозначности функции гр = ч? (х, у) для определения скорости ее изменения вдоль произвольного направления ( достаточно знать только две производные по двум взаимно перпендикулярным направлениям, скажем — и —.. Чтобы дв йр дх ду в этом убедиться, введем представление об экеилотенииальных линиях (лннии уровня), представляющих собой геометрическое место точек, которым соответствует одно и то же значение скалярной величины ~р.