Е.И. Несис - Методы математической физики, страница 6

Связь между симметричным тензором 5 и соответствующей ему линией (г, Яг) = 1 становится особенно ясной, если их выразить в системе координат, совпадающей с главными осями тензора. По„- скольку в этом случае матрица компонентов тензора 3 принимает диагональный вид: о где 4,=Хп з,',=Хп, то уравнение кривой (», Яг)=1 тоже упрощается: Отсюда сразу вытекает, что в случае, когда Х, > О, Хп >О, мы имеем эллипс, а при Х, > О, Хп < О (или наоборот) — гиперболу. Заметим, что если оба главных значения Х, пап отрицательны, то уравнение (23) описывает мнимый эллипс. Рис.

7 33 Определим теперь точки пересечения тензорного эллипса с осями координат. Из уравнения (23) ясно, что на главных осях эллипс отсекает отрезки х,=~~/1/Х„у,=~~ 1/Хц. Полагая попеременно у — О и х=О, мы для всех других направлений осей координат аналогично найдем из уравнения (22), что эллипс пересекает ось абсцисс в точках ! 1 х=~ и ось ординат в точках у==. 'Г Ь„ Г'Я., Таким образом, зная тензорный эллипс, можно графически определить диагональные элементы этого тензора в любой системе координат с помощью соотношений ам=-1/х', з.„=-1)д' (рис, 7).

Глава И. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ТРЕХМЕРНОМ И МНОГОМЕРНОМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В предыдущей главе мы познакомились с простейп|ими двумерными векторами и тензорами. Теперь мы обобщим полученные там соотношения на наиболее важный для практики случай реального трехмерного пространства, а также на пространства более высоких размерностей. При этом по-прежнему будем пользоваться прямоугольными декартовыми координатами. $1. Векторы и тензоры в а-мерном пространстве Обобщая понятие двумерного вектора, данное в 5 2 предыдущей главы, назовем а-мерным вектором а величину, характеризуемую в каждой системе координат п скалярными компонентами ао а„..., а„, которые при повороте осей координат преобразуются по определенному линейному закону: л ос= Х~аам ь=~ где коэффициенты Вм характеризуют и-мерный угол поворота координатных осей.

(Свойства этих коэффициентов будут подробно рассмотрены в ч, 1П.) 34 Всякий а-мерный вектор можно представить в таком виде: ю -~ а= Е !'„ам (2) А=! где !„ !„ ..., !„ †ор осей координат. Длиной вектора а называется величина ~ а ~ = Уа( + а3+...

+ а„', (3) не зависящая от выбора координатной системы. В частности, трехмерный вектор записывается в виде: а= !',а,+ !',а,+ !'„а, или, что то же самое, в впле: а = а„!'+ а„(+ а,й. Аналогично обобщается понятие теизора второго ранга: и-мерным тензором П называется величина, характеризуемая в каждой системе координат и векторными составляющими ЄЄ..., Р„, либо и' скалярными компонентамн Р„, Р„, ..., Р„„, причем н составляющие, и компонентй прй повороте осей координат преобразуются по линейным законам (см.

ч. 111): Р! = т!и!яры Р!н= ~Ж~Ф,Р ' ! г Всякий и-мерный теизор можно в данной системе координат выразить либо через составляющие— П=Х!' Р„, (4) с либо в виде и-рядной мзтрппы компонентов— Рп Р! ° Р!~ Ри Ры ' ' Р! Й= Компоненты п-мерного тензора образуют и инвариантов, каждый из которых является суммой всевозможных диагональных миноров различных порядков К вЂ” — 1, 2, ..., !г, В частном случае трехмерного пространства тензор характеризуется тремя составляющими; П =(аз,р,)-+(аз,р,)+ ()„р,) или П =(рх, «) +(р„, 1) + (р, й) либо девятью скалярными компонентами: Ри Рм Рза Ры Раа Раа Раа Рза Раз Рхх Рха Рхг ра» раа раг Ргх Рга Ргз Ясно, что у трехмерного теизора имеется, вообще говоря, три взаимно перпендикулярных главных направления и три главных значения Л„Лп, Лпп Симметричному неособенному тензору в трехмерном пространстве соответствует центральная поверхность второго порядка (в системе главных осей): х' уз а' — + — + — =1.

ПЛ««?Лп ОЛ«и (6) При этом в зависимости от знаков собственных значений Л„Лп, Лщ эта поверхность принимает следующие формы: 1) Л, > О, Лп > О, Лп, > Π— эллипсоид, 2) Л, > О, Лп > О, Лп, < Π— однополостный гиперболоид, 3) Л, > О, Л„< О, Л„, < Π— двухполостный гиперболоид, 4) Л, < О, Лп < О, ? „, < Π— мнимый эллипсоид. На практике чаще всего встречается первый случай. Поэтому принято поверхность (6) называть теизорнмм эллиисоидом (хотя в тех случаях, когда реализуются условия 2) и 3), она будет гиперболоидом). Инвариантами трехмерного тензора являются: 7« = Ро+ Рза+ Рзз = ?'«+ Ли+ ?"шз (7) «(Раз Рм( 1 ~рзз Раз!+~Раз Рзз! ?„Л,+?„,Лп 1 ?, «Рзз Раа! !Рзз Раа! 1Рзз Рз»1 (7') Ра«ры Рза~ 1а = «Ы П = рз«раа рза1 = Л«Л««Л««« Ра«рза Рзз (7») 36 Перейдем теперь к рассмотрению примеров различных физических тензорных полей в реальном трехмерном про- странстве.

й 2. Тензор деформации Прежде всего подчеркнем, что при деформации различные участки тела, вообще говоря, деформируются неодинаково (неоднородная деформация). Поэтому следует говорить о деформации в данной точке, имея в виду изменение объема и формы элемента тела в окрестности этой точки. Покажем далее, что ни векторные, ни тем более скалярные величины не могут быть использованы в качестве меры деформированности элемента тела, для этого необходимы более сложные, тензорные величины. Действительно, пусть тело, первоначальная форма которого показана на рисунке 8, а, после деформации приняло форму, показанную на рисунке 8, б. Для математического описания этой деформации сопоставим каждой точке тела вектор смещения У = г' — г (где г' и г †радиус- векторы точки после и до ее перемещения), Ясно, что при деформации мы имеем дело с векторным полем У (г), область которого совладаете первоначальными размерами тела (рис.

9). Зная поле вектора смещения У(г), мы можем полностью определить деформацию тела. Однако каждый отдельно взятый для данной точки вектор У никакой деформации характеризовать не может. Ведь Рис. 8 зт если и соседние точки сместились на такую же величину У, т. е. если в окрестности данной точки У=сонэ), то рассматриваемый элемент тела вообще не деформирован, хотя вектор смещения У не равен О. Отсюда ясно, что степень деформации в каждой точке тела определяется не вектором смещения У в данной точке, а относительным изменением этого вектора в ее окрестности. Может поэтому возникнуть предположение, что искомой характеристикой является производная векторной > -> лй функции У (г), представляющая собой тензор —. Легко, дг Ж/ однако, убедиться, что производная — не всегда харак- ЦГ теризует деформацию.

Действительно, если, например, тело целиком повернулось на некоторый угол, то вектор смещения У не равен нулю и изменяется от точки к точке; ай при этом тензор — заведомо отличен от нуля, хотя ниИ~ какого изменения объема или формы не произошло, Чтобы стало яснее, в чем дело, разложим тензор-производную на симметричную и антисимметричную части: Ниже будет показано, что антисимметрнчная часть тензорапроизводной совпадает с так называемым ротором (или вихрем) векторного поля У(г) и характеризует поворот элемента объема в пространстве. Симметричная же часть . дй производной = полностью определяется деформацией тедх ла и называется тензором деформации: дих ! /дих — ) — "+ дх 2),ди ди дг ~ Как уже отмечалось, каждому симметричному тензору можно сопоставить определенный эллипсоид. В главе 1 был указан общий метод нахождения эллипса, соответствующего двумерному тензору.

Оказывается, однако, что для характеристики деформации удобнее геометрически интерпретировать тензор 0 эллипсоидом деформации, который строится иначе. Способ построении последнего мы изложим на примере деформации плоского сечения тела. Окружим рассматриваемую точку плоскости окружностью единичного радиуса; ее уравнение в координатах, как известно, имеет вид: х'+у'=1, или в векторной форме (г, г) — — 1, В результате деформации, характеризуемой тенвором У, каждый радиус-вектор г преобразуется в новый вектор г'=(У, г), а указанная окружность — в новую линию, которая представляет собой геометрическое место концов радиус-векторов г'.