Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 9

Лае точки равной массы и соедпяены жестким невесомым стержнем длиной й Середина этого стержня имеет возможность двигаться по окруж- задачи ности ралиуса а. Выразить кинетическую энергию этой системы в обобщен. ных координатах, 7. Составить уравнения Лагоанжа для сферического маятника, т. е. для точки, связанной посредством жесткого невесомого стержня с неподвпжным центоом, В.

Система состоит из трех материальных точек равной массы ш. Между каждыми двумя из ннх действует сила, обладающая потенциалом У= — лл '", где г — расстояние между взаимодействующими точками. Кроме того, две нз этих точен взаимодействуют с третьей и каждая нз спл этого взаимодействия получается из обобщйнного потенциала 12= — уп и, где в — относительная скорость взаимодействующих точек, а у — некоторая константа.

Написать лагранжиан втой системы, выбрав в качестве координат радиус-вектор Й центра масс и векторы рт = гт ' в рз = гг — га Будет лн кинетический момент этой системы оставаться неизмениым2 9. Лве материальные точки с массами гл, и тз связаны нитью, проходящей через отверстие в гладком столе, причем гл, находится на поверхности стола, а ягз — ниже этой поверхности. Предполагая, что л~з движется строго по вертикали, выберите обобщенные координаты этой системы и напишите уравнеяня Лагранжа для ней Постарайтесь выяснить физический смысл каждого из этих уравнений. Сведя задачу к одному дифференциальному уравнению второго порядка, получите его первый интеграл.

Каков его физический смысл? (Лвижение рассматривается лишь до тех пор, пока масса т, илн ягз не пройдбт через отверстие.) 1О. Составьте лагранжиан и уравнения двьокепин для двойного маятника, изображйнного на фиг. б. Ванны стержней равны ут и !э, а массы грузов соответственно глт и шз, Рекомендуемая литератураь) 3. 1.. Яупяе и В. А, Ог!!1!!'и, Ргшс!р1ез о1 Месйап!сз. Отличяый учебник механики средней трудности Он будет весьма полезен в качестве предварительного пособия до перехода к более серьезным курсам, подобным данному. С. 3.

С о е, Тйеоге!!са! Мес'пап!сз. Учебник средней трудности, написанный в векторной форме. В некоторых из последних глав затронуты более серьбзпые вопросы. В книге содержатся основы векторного анализа. ьЧ. г. Оэпо об, Месйап!сз. Пять первых глав этой книги составляют элементарное введение в механику.

Книга отлично написана и принадлежит автору, обладающему большим педагогическим опытом. О. у о оз, 1 епгЬнсп бег !пеоге!!зсйеп Рпуэйо В главах Ч и Ч! втой книги рассматриваются вопросы, близкие к изложенным в данной главе. ") Для удобства читателей мы в конце каждой главы дайм краткий список рекомендуемой литературы с небольшой аннотацией на каждую книгу. Более полный список литературы приведбн в конце книги, [гл. 1[ ОБВОР элвмлнтАРных НРинципов 42 Е, А. М!1пе, Ъгес!Ог!а! МесЬап!сз. Хотя данная кяига являет собой пример того, как можно изящную про. стоту векторного н тензорного метолов представить в сложном и трудном для ускоения виде, тем не менее в третьей части этой книги читатель сможет найти много интересных векторных теорем о движении точки и системы, полученных из основных законов механики Е.

М а с Ь, ТЬе Яс!енсе о1 Месйап!аз а). В книге содержатся анализ и критика основных концепций классической механики. В свой время она сыграла большую роль в отношении философской стороны теории относительности аа). к. В. [.!пбэау и Н. Ма!Ренан, Гонпба!!Онз о1 РЬуз!сз. В главе 3 этой книги дабтся ясное изложение основ классической механики. Наряду с книгой Маха она может служить основой для дальнейшего знакомства с основными идеями механики ва). О.

Н а щ е1, О!г ах!оше с1ег Меспап!Ь (ИапбЬнсЬ с1ег РЬуз!Ь, т, ту). В книге делается попытка установять аксиомы механики на строго мате. матической основе. В статье Нордхейма этого тома кратко рассмотрены потенциалы, зависящие от скорости (й 1О гл. 2).

Е. Т. цг Ь 1! ! а Ьег, Апа!упса! Оупаш!сз Рва). Это — хорошо известная книга, дающая исчерпывающее язложенне аналитической механики со старой точки зрения. В этой книге обнаружиаается очевидная нелюбовь автора к чертежам (их всего четыре во всей книге), а также к векторному аппарату н, наоборот, чрезмерная любовь к тем задачам по механике, которые приобрели известность как экзаменационные задачи в Кембридже. Однако в отношении многих специальных вопросов эта книга является практически единственным имеющимся источником.

Вопросы, связанные с темой настоящей главы, изложены в этой книге в основном в главе И, особенно в Е 31, где рассматриваются потенциалы, зависящие от скорости. Я 92 — 94 главы ЧШ посвящены диссипативной функции. ) огд йа у!е! РЬ, ТЬе ТЬеогу о1 Боннам ела*). В главе 17 1-го тома этой классической книги рассматривается диссипативная функция.

а) Имеется русский перевод: М а х Э., Механика, СПБ, 1909, **) Читателю следует иметь в виду, что в книге Э. Маха наряду с ценным фактическим материалом имеются неверные философские высказывания (Прим. иерее.) ***) Имеется русский перевод: У иттекер Э. Т., Аналитическая динамика, ОИТИ, 1937.

ь"аа) Имеется русский перевод: Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, Гостехиздат, 1955. ГЛАВА 2 УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ВАРИАЦИОННЪ|Е ПРИНПИПЪ| $2.1. Принцип Гамильтона. Выводя в предыдущей главе уравнения Лагранжа, мы рассматривали мгновенное состояние системы и небольшие виртуальные изменения этого состояния. Таким образом, мы исходили из «дифференциального принципа», каким является принцип Лаламбера. Однако уравнения Лагранжа можно получить и из другого принципа, в котором рассматривается движение системы за конечный промежуток времени и небольшие виртуальные изменения движения в этом промежутке. Принципы такого рода известны как «интегральные принципы».

Прежде чем перейти к их изложению, уточним смысл фразы «движение системы за конечный промежуток времени». В каждый данный момент времени конфигурация системы определяется значениями обоби>аннь>х координат д>, ..., д„, и если рассматривать эти числа как декартовы координаты в п-мерном пространстве, то каждой конфигурации системы будет соответствовать определенная точка этого пространства. Такое а-мерное пространство мы будем называть пространством конфигураций. С течением времени состояние системы изменяется, и точка, изобрзжающая эту систему, описывает в пространстве конфигураций некоторую кривую.

>'|ы будем называть эту кривую «траекторией движения системы». Тогда движение системы можно будет рассматривать как дни>кение изооралсаюигей я>очки вдоль втой траектории (з пространстве конфигураций). Время 1 можно при этом рассматривать как параметр. Тогда каждой точке траектории будет соответствовать одно нли несколько значений С. Следует подчеркнуть, что пространство конфигураций, вообще говоря, не является трвхмерны»> пространством, з котором происходит движение системы (подобно тому, как обобщенные координаты не всегда являются обычными координатами, определяющими положение точки).

Траектория движения в пространстве конфигураций, конечно, не будет иметь сходства с истинной траекторией какой-либо точки рассматриваемой системы; каждая точка траектории в пространстве конфигураций изображает всю эту систему в некоторый момент времени. 44 гглвнания лггглнжл и алгнлционныа пгинцнпы [гл.

2 Теперь мы можем сформулировать интегральный принцип Га- мильтона для консервативных систем (в более широком смысле, т. е. допускающих обобщенные потенциалы): ггстиннае движение системы з промежутке ат Сг до Сг таково, что интеграл 1=~(.й1 с, (где 1. = Т вЂ” Ъ') имеет при этолг экстремум. Таким образом, из всех возможных движений изобража1ошей точки от ев положения в момент 1, до ев положения в момент Рг истинным будет то движение, при котором интеграл (2.1) имеет экстремум: максимум или минимум (рис.

9). Таким образом, согласно принципу Гамильтона истинное движе- ние таково, что вариация интеграла Т при фиксированных значе- ниях 1, и гг равна нулю: ц бг=б ~ Е (Дг дл тг ., фя 1)И=0 (2.2) Можно показать, что принцип Гамильтона вытекает нз уравне- ний Лагранжа (см., например, Ю И111а к е г, Аиа(уггса( 0уаатгсэ, 4-е изд., стр. 245). Мы сейчас докажем обратное, а именно, что уравнения Лагранжа следуют из принципа г Гамильтона. Эта теорема является более важной. Таким образом, мы покажем, что механику консервативных систем можно построить, исходя из принципа Гамильтона как из основного постулата.

заменяющего законы Нью. тона. Формулировка законов механики в виде принципа Гамильтона имеет определанные преимущества: например, Рис. 9. Траектория изображающей точки в пространстве кон- прн этом мы получаем принцип, не зафигураций. висящий от координат, применяемых при составлении лагранжиана. Более важно другое: что этот принцип указывает путь, которому нужно следовать при описании с математической строгостью классической механики явно немеханических систем (например, в теории поля). (2,1) ф 2.2. Некоторые приемы вычисления вариаций. Прежде чем показать, что уравнения Лагранжа вытекают из уравнения (2.2), мы сделаем некоторое отступление и остановимся на методах вычисления вариаций, так как главной нашей задачей является нахождение кривой, для которой заданный криволинейный интеграл принимает экстремальное значение. хе>~отогьсе пЙ>свасьс ВычислениЙ Влв>схции рассмотрим сначала эту задачу в одномерной форме.

Для этого попытаемся найти такую кривую у =у (х), которая на участке х ( х ( ха реализует экстремум криволинейного интеграла от за> данной функции Г(у, у, х), где у= —, Другими словами, для >гх искомой функции у интеграл '= ) 2'(у, у, х)с>'х св (2.3) у У(ха) =Уг !(Рис 10; этот чертеж сделан, конечно, не в пространстве конфигураций). Чтобы решить эту задачу, мы представим ей в форме, позволяющей использовать обычный аппарат дифференциального исчисления. С этой целью рассмотрим какое-либо однопараметрическое семейство кривых у(х).

Каждой кривой этого семейства будет соответствовать определенное значе- нне паРаметРа а, причем некотоРым рис. (О, йарьировассие кривой значениям этого параметра, например у = у (х), значению а=0 будут соответствовать кривые, реализующие экстремум рассматриваемого интеграла. Тогда у будет функцией х и а, Пусть, например, у(х, а) имеет Вид у (х, а) = у (х, О) + ат (х), (2.4) где Й (х) — любая функция х, обращающаяся в нуль при х = х, и х = х,. тогда семейство (2.4) будет одним из Возможных семейств кривых у(х). Подставив функцию у(х, а) сне обязательно в виде (2А)) в выра>кение (2.3), мы получим интеграл l как функцию а.