Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 10

Таким образом, будем иметь х$ l(а) = ~,у(у(х, а), у(х. а), х~сГх, (2.5) и условие экстремума примет вид ~ф =0, (2.6) долйсен иметь максимум или минимум. Переменная х играет здесь роль параметра г, и мы будем рассматривать лишь такие кривые (х), для которых у(х,) =у,, йб ~г». 2 згавиання ллгглюьл и влгизционныа пгинцнпы Производя дифференцирование под знаком интеграла, получаем дд ~" ( дУ ду дУ ду! да ~ ду де ду де ) (2.7) где второй нз интегралов правой части равен ду да ° ду дх де Ф Вычисляя этот интеграл посредством интегрирования по частям, получаем 'дг' д'-'у д/ ду "' г н эдуз ду (2.8) ду дхда ду да ~, . дх(,дуУ да ( ) причам ~ — 1 и ~ — ) булут равны нулю, так как все кривые (ду1 /дут семейства у у(х, а) прохолят через точки (х„у,), (ха, уэ), Следовательно, первое слагаемое правой части выражения (2.8) обращается в нуль, и уравнение (2,7) принимает внл дд ' дУ а' дУ ду (д ) ~д ) и аналогично (2 Ж) (последнее равенство нам не потребуется).

Очевидно, йу представляет собой произвольную вариацию функции у(х), получающуюся посредством варьирования произвольного параметра а около эначе. Чтобы найти кривую реализуюшую экстремум интеграла (2.3), умножим полученное равенство на гГз и положим а 0; ( — ) сиз = ~ ( — — — —. ) ( «) Шх Их. (2.9) Вариации функций мы будем обозначать символом 6. Таким образом, буден иметь идкотогыв пьчшмы вычисления вдгилций иня а = О.

Эта вариация соответствует рассмотренному ранее виртуальному перемещению "). Но поскольку Ьу является произвольной функцией х, то равенство йу ~1 — — — —.~куак=О г1ду и' ду 1 „~ду дх ду ~ воаможно лишь тогда, когда ду и д1: — — — —. = О, ду с'х ду ('2,11) Следовательно, У будет иметь экстремум только для таких кривых у(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.11).

Это уравнение обнаруживает большое сходство с уравнением Лагранжа. Рассмотрим теперь несколько простых примеров на рааыскание подобных экстремумов. 1, 1тратчайгиее расстояние между двумя точками плоскости. Ялика элемента дуги плоской кривой равна э.=ууЗэ-э7. Полная длина плоской кривой, соединяющей точки 1 и 2, равна К4 У= ~ ~й = ~ 1/У 1+( — „«) Их, и чтобы кривая была кратчайшей, нужно, чтобы 1'было минимальным, Таким образом, мы имеем экстремальную задачу типа (2,3) при У=1У1+уз. Подставляя это значение у в выражение (2.11) и учитывая, что дУ дУ у получаем Ь или У „, *) Символы ь мы могли, конечно, ввести с самого начала.

Поэтому следует помнить, что в проведенном здесь рассуждении оии фигурируют как символическая запись дифференциала при изменении параметра, чРАВнання ллГРлн'кА и ВАРКАпиоиные пРннпипы !гл. 2 где с — некоторая постоянная. Это равенство может иметь место только в том случае, если у=а, где а — постоянная, связанная с с соотношением с )' 1 — сь 'г(о из равенства у= а следует, что у=ах+Ь, где Ь вЂ втор постоянная интегрирования. Следовательно, искомая кривая является прямой. Строго говоря, мы доказали только то, что прямая является экстремалью, однако в данном случае ясно, что она реализует именно минимум интеграла 1'.

Постоянные интегрирования а и Ь определяются нз того условия, что искомая кривая проходит через две заданные конечные точки (х,, у,) и (х„у,). Подобным способом можно найти и кратчайшую кривую между двумя точками сферы„для чего длину дуги на поверхности сферы нужно выразить через угловые сферические координаты. Кривые, реализующие кратчайшее расстояние Щ,я/ между двумя точками заданной поверх. ности, называются геодезическими линиями этой поверхности. 2.

Минимальная поверхность врагие- ния. Рассмотрим поверхность, получаемую Рис. !1. Минимальная по. верхногть вращения посредством вращениа вокРУг оси У не- которой кривой, проходящей через две заданные конечные точки (х,, у,) и (хг, у,) (рис. !1), Требуется найти такую кривую, для которой площадь указанной поверхности будет минимальной. Площадь элементарной полоски этой поверхности равна 2пхс(з = .=- 2пх Р' 1 !-угах, а полная площадь поверхности равна 2и ~ х)г 1+уз с(х.

! Экстремум этого интеграла может быть найден с помощью уравнания (2.11), в котором хтгГ1+уа, и поэтому дГ дУ ху ддх ' 1/' й г.~) ш:.котояыз пгпймы вьшпслепия вагнющй Уравнение (2.1!) имеет в этом случае зпд пл| ху 711+ у где а — некоторая постоянная интегрирования (очевидно, меньшая, чем минимальное значение х). Возводя в квздрат обе части этого равенства и группируя члены, получаем уз (х' — а') = а', пли, разршпая его относительно производной, имеем а'у а ах У х~ — аз Общее решение этого дифференциального уравнения (с учйтом сказанного относительно а) имеет вид у=а ( + б=.— аагссй — +6 и'х х уха — аа а нли у — Ь х= аспв Эта формула выражает уравнение цепной линии.

Постоянные интегрирования а и д определяются, как и ранее, пз того условия, что эта кривая должна проходить через две заданные конечные точки. х 3. Задача о брахистохроне. Эта хорошо известная задача состоит в следующем. Пусть материальная точка, начальная скорость которой равна нулю, скользит под действием своего веса по ~ С' некоторой кривой, проходящей через две заданные точки. Требуется найти такую кривую, чтобы при движении по ней от верхней точки до пнжпей требовалось наименьшее время. Обозначим скорость движения точки Рис. 12, Задача о брахистовдоль этой кривой через о. Тогда время хр ев движения вдоль с(з будет рав. а'з ко —, и задача сведется к нахождению минимума интеграла лз 1 50 1'РАВнвния лАГРАнжА и ВАРНАционныз пРинципы (Гл. 2 Если ось у направить вертикально вниз, а начало координат взять в точке, нз которой начинается движение, то теорема а сохранении энергии рассматриваемой точки примет вид 1 —,то' = тру, 2 или Тогда выРажение длЯ тш запишетсЯ в виде г !" 71+уз Ггг = ~ ггх, ~ Т.2'у и, следовательно, ( в данном случае будет равно !!нтегрирование уравнения (2.11) производится здесь обычными методами, и мы предоставляем читателям проделать это в качестве одного из упражнений к этой главе.

(Задача о брахистохроне хорошо известна в истории математики, так как, решая эту задачу, Иван Бернулли заложил основы вариационного исчисления,) В 2.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. Основная задача вариационного исчисления легко обобщается на случай, когда у есть функция многих независимых переменных у; и их производных у;. (Конечно, все эти величины рассматриваются как функции переменной х,) Тогда вариация интеграла У будет равна 32 = е ~ У(уг(х), уг (х).

.. у, (х), у, (х), ..., х) г(х . (2.12) 1 Как и ранее, она может быть получена из рассмотрения l как функции а, где а — параметр, определяющий кривые уг(х, а). Так, например, можно положить: у,(х, а) =у,(х, О)+со!1(х), 1 уг(..) =у,(., О)+-„(х), ~! (2,1 3) где у,(х, О), у (х, О), ... — кривые, реализующие экстремум (они подлежат определению), а тсо т,, ... — произвольные функции х, обращающиеся в нуль в конечных точках (они появляются при варьировании кривых с фиксированными конечными точками). Конечно, семейства (2,13) не являются единственно возможными и приведены 2.31 вывод гглвненнп ллгглнжл из пгинцнпл гамильтона 61 яами лишь для иллюстрации.

Дальнейшая процедура проводится здесь так же, как и ранее. Вариация у имеет вид — да= ~ '~ ( — — гйа+ —.— ьйи)ь(х. (2.14) дд Г -! г дУ дУг д/ дУ; де „~ 2а(, ду! дь ' ду, де Интегрируя по частям !интегралы, входящие во вторую сумму уравнения (2.14), получаем Г ! ду ему! ду ду,1 1' ду! й ! ду! ду, дь дх ду; дь 1! „~ де йх'! дуг,) ! ! где первое слагаемое правой части равно нулю, так как все крнвые уь(х, и) проходят через фиксированные конечные точки.

Подставляя правую часть последнего равенства в уравнение (2.14), получаем оl в виде ~'ъч "ду й др'. . д'г,)-' '' ! (2 16) где аналогично равенству (2.10) (д ) Так как переменные у; являются независимыми, то вариации оу,. также будут независимымн (в частности, функции ти(х) в выражениях (2.13) являются независимыми). Следовательно, равенство О=О будет иметь место тогда и голько тогда, когда все коэффициенты при ьу! будут равны нулю.

Таким образом, получаем уравнения — — — — =О (!'=1, 2,..., л), ду й дУ (2.16) ду; ах ду! являющиеся обобщением уравнения (2.11) на случай многих переменных. Система уравнений (2.16) известна под названием сися!ельм дифференциальных уравнений Эйлера — Лагранжа. Кривые, для которых вариация интеграла (2.12) равна нулю, описываются функциями у;(х), являющимися решениями системы (2.16).