Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 8

аау ач, ' Уравнения Лагранжа принимают в этом случае вил, дЕ дЕ д5 — ( —,) — — + — *, =о, лг дт да~ дд~ и для того, чтобы получить уравнения движения, нужно задать две скалярные функции: Е и 5 Оьзог взвив!плевых ПРнцциноь 1гл 8 1.6. Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что для нез можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщанным потенциалом, то имеется весьма удобный способ пол„чения уравнений ей движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты.

Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя слаллрнылги функциями Т и У, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Т и Ъ' в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан Ь и, подставив его в (!.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых координат к обобщенным получается для функций Т и У с помощью уравнений преобразования (!.36) и (1АЗ). Так, например, функция Т в общем случае вычисляется по формуле Ясно, что, раскрывая это равенство, мы получим выражение вида Т= и+ ~ ауу!+ ~~Р а,„д д„, (1,62) „,л где а, ал, а;л — определенные функции г и Г и, следовательно, определенные функции д н Г.

Действительно, сравнивая два послед. ннх равенства. пол, чаем: а = У вЂ” т;(-~ — '), дг, дг, а =, ел — ° —,' ~а 'д! дл; Ъ' ! дг! дгг лд =- 7а — ж лаз 2 'ддэ дел ' Если уравнения преобразования не содержат явно времени, т. е. если связи не зависят от времени (склерономные связи), то лва пер- вых члена в равенстве (1.62) обрагцаются в нуль, В этом случае Т будет однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, Рассмотрим следующие простые примеры: 1.

Движение свободной материальной точки а) в декартовых координатах, а !.6[ пРННВРы пОлучения уРАВнений лАРРАнжА 37 Ь) в плоских полярных координатах. 2. Машину Атвуда. 3. Шарик, скользяшип вдоль врашающепся проволоки (пример связи, зависяшеИ от времени). 1. Движение свободной материальной точки.

а) В декартовых координатах. В этом случае буден иметь: Т = — т (ха+у'+ г'),. 1 2 дТ дТ дТ дх ду дв оТ дТ дТ вЂ”. = (тх), —. = пип —. =- в!г, дх ду дв и уравнения движения примут Вид; — (тх) = Ра, — (ту) = Р„, — (тг) = Р, (1.63) д и иг а' Ж в' ив и поэтому скорости х, у равны: х = гс050 — гб 5!и 0, у = г Вгп 0 + г!! сов '! ! [согласно (1.43)). Следовательно, кинетическая энергия Т= — т (ха+уз) 2 принимает вид Т = — гп [г'+ (г0)в[. 1 2 (1.64) Формулу (1.64) можно получить иначе, если у честь, что вектор скорости имеет в полярных координатах две составляющие; г — вдоль г и г0 — перпендикулярную к г (вдоль направления, определяемого единичным вектором, который мы обозначим через и).

Поэтому величина ов будет в полярных координатах равна г'+(г0)з. Обобшенные силы Я„и Я, можно получить, исходя из их определения [формула (1.46)), согласно котороиу дг !!ь=р дз =Р где Р, Р„, Є— обобшанные силы [уравнение (1.66)[. Таким образом, мы вйовь пришли к уравнениям Ньютона, Ь) В плоских полярных координатах. В этом случае нам нужно выразить Т через г и "!. Уравнения перехода от х, у к г, 0, т. е.

уравнения (1.36), имеют вид; х=гс050, у=гз[п0, 1гл. 1 овзог элвмантлгных пгинципов и соответствуюшес уравнение получаег вид тг — щг'Ог = Р„. Второе слагаемое этого уравнения появляется вследствие наличия центростреРис. 7. Производная г по О. мительного ускорения. Зля координаты 0 будем иметгн — =О, —, тггО, — (тггО) = тггО+2тггО, дВ да Лг н соответствуюшее уравнение примет вид (тггО) щггО'+ 2щгг О гг' е дт Левая часть этого уравнения представляет собой производную по времени от кинетического момента, а правая — момент действуюшей силы. Такии образом, мы вновь получили уравнение (1.24). 2. Машина Атвуда. Эта машина может служить примероь.

консервативной системы с голономноп н склерономной связью (трением в блоке пренебрегаем). Здесь, очевидно, имеется лишь одна независимая координата х, так как положение второго груза определяется нз .гг того условия, что длина нити, связывающей грузы, равна 1 1рис. 8). Потенциальная энергия этой системы равна Ю~ У = — М,дх — Мгд(1 — х), а кинетическая энергия Т= — (М,+М )х'. 1 Рис. 8. Машина Атвуда. Следовательно, е6 лагранжиан будет иметь внд 1 б =- Т --1' = —,, (М, ' М,) х'+ М,дх+ Мгд 11 — х). 1в соответствии с определением производной вектор — направлен дг дз вдоль а; рис. 7).

Так как в данном случае имеются две обобшаняые координаты, мы можем получить два уравнения Лагранжа. Лля координаты г будем иметь: ОТ Л гдТт дТ . „.Ог дг дг дт ~ дг ) 9 1.61 пгимагы полгчения геквнвний лкгванжа Далее находим дА д„=(М вЂ” М)к (М1+ М12) дЕ дх и получаем (М!+ М2) х (М1 М2) а или М1 — Мз х= о. 39 В данном случае мы имеем лишь одно уравнение движения. Полученный результат совпадает, конечно, с тем, который получается более элементарныи путам.

На примере этой простой задачи мы показали, что реакции связи — в данном случае натяжение нити— не входят в уравнения Лагранжа. Поэтому определить натяжение нити, пользуясь непосредственно методом Лагранжа, конечно, нельзя. 3. Шарик, скользя1лий по раанолгерно араа1аюжейгя проволоке в пространстве, свободном ол2 сил, Этот пример выбран нами в качестве иллюстрации системы со связями, зависящими от времени. Уравнения перехода к обобшанным координатам содержат в данном случае время явным образом и имеют вид: х = гсозы1, у = г з1п ы1, где ы †углов скорость вращения.

Хотя величину кинетической энергии Т можно в данном случае найти так же, как это делалось при получении формулы (1.62), однако проще воспользоваться непосредственно формулой (1.64), учитывая условие связи э = ы. Тогда получим Т= — 'пг(гз+гз 2) 2 (Заметим, что Т в данном случае равно Е.) Кинетическая энергия Т не является здесь однородной квадратичной функцией обобщенных скоростей, так как здесь имеется дополнительный член, не содержащий г. Уравнение движения будет иметь и данном случае вив шг — шгыа = О, или г = гыз, Это равенство выражает хорошо известный факт, согласно которому шарик движется от оси вращения под действием центробежной силы. В данном случае мы, как и ранее, не можем найти рассматриваемым методои реакцию связи, удерживающей шарик на проволоке.

[гл. 1) 40 овнов эляминтлгных пгниципон Задачи 1. Ядро, находящееся в покое, претерпевая радчоактивный распад, испускает электрон с количеством движения 1,73 Меч'с и под пряиыи углом к направленчю электрона — нейтрино с котнчзстзом движения !,00 Меч'с.

(Меч =10а электрон-вольт является единицей энергии, употребляемой в современной физике; она равна 1,59 10 а эргов. Соответственно Мет(с является единицей количества движения, равяой 0,533 1О 'а г слг1сгк.) В каком на. правлении будет двигаться само ядро) Чему будет равно его количество движения в 51еч1су Чему будет равна его кинетическая энергия в электрон. вольтах, если оставшаяся масса ядра равна 3,90 ° 1О гг гу 2. Материальной точке, находя цсйся нз поверхности Земли, сообщена скорость, достаточная для преодоления свлы земного притяжения. Показать, что миннчальное значение этой скорости равно понблнзнтельно 11 клНсек.

(Если пренебречь сопротивлением атмосферы, то система будет консервативной. Использовать теорему о сохранении суммы потенциальной и кинетической энергии; влияние Луны не учитывать.) 3. Лвижеиие ракет прочсходнт в соответствия с теоремой о количестве движения. Продукты сгорания топлива отбрасываются назад через еб хвостовую часть, и так кзк топливо находится внутри самой ракеты, то масса ей ие оста6тся постоянной, а убывает по мере сгорания топлива.

Показать, что если пренебречь сопротивлением атмосферы, то для ракеты, летящей по вертикали в однородном гравитационном поле, уравнение движения будет иметь вид г(п, йт ш — = — о' — — тд, йг йг где ш — масса ракеты, а о' — скорость истечения газов относительно рэкеты. Проинтегрировать это уравнение и получить и как функцию т, считая ггш массовый расход — постоянным. Рассмотреть ракету, начияающую движек( 1Пт ние из состояния покоя со скоростью о' =. 2 км,'сек и ~ — ~ = шз~б0, где ~ и'г гла — начальная масса (данные близки к ракете Фау-2).

Показать, что скорость, достаточную для преодоления земного тяготения, эта ракета сможет достигнуть тогда, когда отношение веса се топлива к весу самой ракеты (без топлива) будет равно приблизительно 300. 4. Точка движется в плоскости, притлгиваясь к неподвизкпому центру силой где г — расстояние от центра притяжения. Найти обобщгиныи потенциал втой силы, а также лагранжиан рассматриваемой системы. (Указанная сила Р представляет силу взаимодействия двух заряженных частиц в электродина. мике Вебера.) 5. Составить уравнение движения материальной точки, падающей вертикально вниз под действием двух сил: силы тяжести и силы трения, получае- 1 мой из днсснпативной функции — лоз. Проннтегрнронать полученное урав- 2 некие и найти скорость как функцию времени, Показать, что максимальное значение скорости падения (п1 н оз = О) равно о = тгг//г, б.