Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 4

Теорема о сохранении кинетического момента м а т е р и а л ь н о й т о ч к и. Если результирующий вращающий момент )т равен нулю, то 1 =0 и, следовательно, кинетический момент сохраняется неизменным. Рассмотрим теперь работу, совершаемую силой Е, действующей иа материальную точку. Согласно определению работа силы при перемещении точки из положения 1 в положение 2 равна К,,= ) Е ° с!в. (1.1!) 1 Для точки постоянной массы (во всех случаях, кроме особо оговоренных, мы будем считать массу постоянной) получаем (гл. 1 16 ОБЗОР элемвнтагных пгинципов Такая сила (система) называется консервативной. С физической точки зрения ясно, что при наличии трения или других диссипативных сил система не может быть консервативной, так как соответствующий этой силе член ет йв будет все время отрицательным, и поэтому интеграл (1.14) не может обратиться в нуль.

Согласно теореме Стокса условие консервативности сил [условие (1.14)) можно записать в виде р Х го =- О, и так как ротация градиента всегда равна нулю, то вектор г. должен быть градиентом некоторого скаляра, т. е. должно иметь место равенство (1.!5) Величина !г называется потенциалом или потенциальной энергией. Существование функции 1г(х, у, г) может быть доказано без привлечения теорем векторного анализа. В самом деле, если равенство (1.14) выполняется, то работа !г;а не зависит от пути, по которому совершается интегрирование между точками 1 и 2.

Но отсюда следует, что и',а можно представить в виде разности 7(ха, уа, аг)— — У(хы Уы г,), где 7 — некотоРаЯ величина, зависчщаЯ только от положения точки. Эту величину можно обозначить через — !Г, и тогда для любого элемента длины йа будем иметь или д1г г"., = — —, де ' что эквивалентно равенству (1.15).

Заметим, что в равенстве (1.15) мы можем прибавить к )г любую постоянную (в пространстве) величину, не нарушая при этом справедливости рассматриваемого равенства. Следовательно, нулевой уровень для функции !г может быть выбран произвольно. Для консервативной системы работа й'„ равна (1.16) ~12 ! г 12' Подставляя теперь равенство (1.16) в (1.!3), получаем соотношение (1.17) 7;+(г, = та+)7„ выражающее следующую теорему. 9121 МЕХАНИКА СНСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1У Теорема о сохранении энергии материальной т о ч к н. Если силы, действующие на материальную точку, являются нонсереатиеными, то ей полная энереия Т+ Ь' остается неизменной.

~Р)я+Рве =ро )в) (1.16) где через Р)" обозначена внешняя сила, действующая на 1-ю точку системы, а через Рч — сила, с которой у'-я точка действует на 1-ю (сила Рн, конечно, равна нулю). Мы будем предполагать, что силы Р, (так же, как и Рс ) подчиняются третьему закону Ньютона, )в) т. е. закону о равенстве действия и противодействия, согласно которому силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, их соединяющей.

Следует заметить, что в некоторых важных случаях этот закон несправедлив, например, для электромагнитных сил взаимодействия между движущимися частицами. Поэтому, применяя к таким системам теоремы, которые мы выведем ниже, следует проявлять осторожность. Написав равенства (1.18) для всех точек и сложив их, получим — ~й тьгс — — ~~) Р1') + ~ Рйн (1.19) в', 3 сФ5 Первая сумма правой части этого равенства представляет собой суммарную силу Р'), действующую на рассматриваемую систему, а вторая сумма обращается в нуль, так как согласно закону о равенстве действия и противодействия каждая сумма Р)е+Р1) равна нулю. Преобразуем теперь левую часть этого уравнения, вводя средний радиус-вектор ве рассматриваемой системы, полученный с учетом масс ез точек (среднее взвешенное вектора ег): ~~~„тсев ~~~~ тсгс й= Х (1.20) $1.2.

Механика системы материальных точек. Результаты, полученные в предыдущем параграфе, можно обобщить на систему из многих материальных точек, но при этом нужно различать внешние сила и внутренние силы. Под внешними мы будем понимать такие силы, которые действуют на материальные точки рассматриваемой системы извне, а под внутренними — такие силы, с которымн каждая материальная точка этой системы действует на все остальные точки той же системы. Тогда уравнение движения )-й материальной точки (второй закон Ньютона) примет внд: (гл. 1 пазов"элямвитлгиых пгннципоь Этот вектор определяет точку, называемую центром масс системы (рис.

2) "). Вводя вектор»с в уравнение (1.!9), получаем М вЂ” =ур»=— Р аИ ~т ия М» »»»а 7»» (1.21) равно массе всей системы, умноженной на скорость ей центра масс. Поэтому из уравнения движения центра масс (уравнение (1.21)) мы получаем следующую теорему. Теорема о сохранении количества движ ения материальной системы. Если сумма внешних сил, действую- и»их на систему, равна нулю, то полное количество движения системы остается неизменнь»м.

Под полным кинетическим моментом системы мы будем понимать сумму ~~~~с» )(ро Умножив уравнение (1.18) на г» и произведя 4 ") Это определение будет более обычным, в декартовых координатах: Х= ~~~~ т»х» и» ' если равенство (1.20) записать ~ т»е» Е= ~ т,» где Х, У, л - координаты центра масс. Отсюда видно, что центр масс движется так, как будто в нбм сосредоточена масса всей системы и к нему приложена суммарная внешняя сила Р~~~, действующая на систему. Следовательно, внутрен- ние силы никакого влияния на движел» ние центра масс не оказывают. При- мером, который в связи с этим часто 4еемр асс приводится, может служить движение снаряда, разорвавшегося в воздухе: г» х центр масс его осколков движется так, как будто снаряд продолжает двигаться неразорвавшимся (если пренебречь сопротивлением воздуха).

Этот же закон лежит в основе реактивного »т движения: для того чтобы движение Рнс. 2. Центр масс системы ма- центра масс оставалось неизменным, тернальных точек. истечение газов (происходящее с боль- шой скоростью) дол»кно сопровождаться движением ракеты в сторону. противоположную истечению, т. е. вперед. Согласно формуле (1,20) полное количество движения системы мвхлникл сисгамы млтагилльных точек 1.21 — =Ж И ы) еев Рис, 3. Вектор г, = гс — гг (1.24) Таким образом, производная по времени от кинетического момента равна полному моменту внешних сил относительно данной точки.

В соответствии с уравнением (1.24) имеем следующую теорему. Теорема о сохранении кинетического момента системы. Если молный момент внешних сил, действуюивих на систему, равен нулю, то вектор Е остается неизменным во врвмвни. (Следует подчеркнуть, что эта теорема является векторной теоремой, и поэтому, если, например, дг~" равно нулю, то Е, будет неизменным прн любых М~" и Ж~~,'~, даже отличных от нуля,) Заметим, что теорема о сохранении кинетического момента системы справедлива лишь прн выполнении закона о равенстве действия и противодействия.

В системах с движущимися заряженными частицами этот закон не выполняется, и полный кинетический момент в механическом смысле этого слова не остаатся там постоянным, но остаатся постоянной сумма механического кинетического момента и электромагнитного «кинетического момента». Из равенств (1.20) и (1,21) следует, что количество движения системы можно рассматривать как количество движения ез центра масс, если считать, что в нам сосредоточена вся масса системы. Для кинетического момента аналогичная теорема формулируется более сложно. Кинетический момент системы относительно начала координат О равен Е=ХгсХРс затем суммирование по всем значениям С получим ,~>(г ХР) =,«Л —,с-(г1 ХР;)= А= «г;ХР'ей+ «„гсХРзо (1.22) с е Согласно закону о равенстве действия н противодействия последний член этого равенства можно рассматривать как сумму членов вида г; Х Р~, + г~ Х Рц — — (гс — гу) Х Езв (1 2В) Но разность гс — г; есть вектор гср идущий от точки у к точке д и согласно закону о равенстве действия и противодействия гмхру=б.

так как вектор ЕР направлен вдоль линии,. соединяющей у-ю точку с е-и. Следовательно, сумма ~~'„г, Х Е;; равна ну- 1 лю, н уравнение (1.22) можно записать в виде. (гл. 1 овзог элвмвнтлгных пгннципов г, =г,'.+)с, (1.25) 4ееаГе масс. Фв = ч»,, +ч», где вектор есть скорость центра масс, а вектор Рнс.

4. Векторы вс, г, г,, сгг' с1с — скорость 1-й материальной точки относительно центра Масс системы"). С помощью уравнения (1,25) кинетический момент можно представить в виде с=а,вх,'~-д",х е~~-Д,",'х ~-вх„'д е,'. Два последних члена в этом выражении обращаются в нуль, так как они содержат сумму ~~' т,г',, которая определяет радиус-вектор центра масс в системе координат, начало которой совпадает с этим центром. Переписывая остальные члены, получаем полный кинетический момент системы в виде Е = )~ Х А4п+ Х г~ М и;'.

(1.26) Равенство (1.26) показывает, что кинетический момент системы относительно точки О складывается из двух частей; из кинетического момента этой системы в предположении, что вся ей масса сосредоточена в центре масс, и из кинетического момента, возникающего вследствие движения этой системы относительно центра масс. Из равенства (1.26) ясно видно, что в общем случае вектор Е зависит от выбора точки О, так как правая часть равенства (1.26) выражается через Р. Только в случае, когда центр масс неподвижен относительно точки О, кинетический момент в. не зависит от выбора этой точки.