Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 7

Для скорости ть гг при атом получается выражение сч дг'з . дгг .д — Ч + —. а а дну У дГ ' Точно так же произвольное виртуальное перемещение йга можно связать с вариациями еду соотношением 'цч дгг йгг =- г — Ъуг ~ма дз~ Заметим, что в атом равенстве не содержится вариация времени ег, так как по определению виртуального перемещения оно обусло- вливается только изменениями координат оо Виртуальная работа сил Рг выражается через координаты ~уг следующим образом: ~~ гз ° егг — — ~а~~а г! д учуй — — ~ Яузу, (1.45) з сд где Я вЂ” так называемые обобяГИнные Силы, равные Х ' д (! Аб) Заметим, что подобно тому, как обобщенные координаты дт не обязательно должны иметь размерность длины, обобщенные силы !~у не обязательно имеют размерность силы.

Однако произведение !~уйду всегда имеет размерность работы. Рассмотрим теперь другой член уравнения (!.42), равный Х' ут! агу= )~~т,гг дг;, В 3 Выражая ага согласно (!.44), его можно ззписать в виде дг, тг, — Ьу. дуу Рассмотрим теперь сумму $1.4~ пвинцип-далмаввл и лвлвнвния ллгваижл 31 В последнем члене этого равенства можно поменять порядок диф- ференцирования по 1 и по д~, так как что согласно (1.43) равно — .

Кроме того, из (1.43) видно, что дог дд до~ дг~ дЬ дь' Совершая все описанные преобразования, мы для суммы (1.47) получаем: Таким образом, интересующий нас член уравнения (1А2) принимает вид 1 з Обозначая кинетическую энергию с~ — тчоз через Т, мы можем 2 окончательно записать принцип Даламбера в виде ~1 ц — ( —,) — — ~ — Я~) Йу =О.

(1.49) Пусть теперь рассматриваемые связи будут голономными (только в этом месте мы используем это предположение о голономности). Тогда координаты д~ будут независимыми, и любая вариация йд1 не будет зависеть от вариации 37„. Поэтому равенство (1.49) будет иметь место тогда и только тогда, когда все коэффициенты при 391 будут обращаться в нуль, т. е. когда будут выполняться равенства М гдТ' ду (1.50) и дую ддг Всего мы получим и таких уравнения.

Уравнения (1.50) обычно называют уравнениями Лагранжа, однако это название часто употребляют, имея в виду случай, когда уравнения (1.50) пишутся для консервативной системы. В этом случае силы Рз получаются из потенциальной функции (г по формуле (тл. 1 оевов элвмвитлвных пвннципов где У вЂ” потенциальная энергия системы.

Обобщенные силы Я~ могут быть записаны в виде Х г д С~~ ' д дд ' дд г з и получить д ( д (Т вЂ” У) ) д (Т вЂ” У) — О, д! дел де. или, вводя новую функцию — лагранжиан 5=7 — У (1.52) можно записать уравнения (1.50) в виде д1. д1. Во всех случаях, когда не будет сделано специальной оговорки, мы под уравнениями Лагранжа будем понимать уравнения (!.53). (! .53) ф 1.6. Потенциал, зависящий от скорости, и диссипативная функция. Уравнения Лагранжа можно представить в форме, подобной (1.53), и тогда, когда система не является консервативной в обычном смысле слова.

Это удаатся сделать в том случае, когда обобщенные силы Я~ можно получить из функции (У(дт, д~) посредством равенства с)л — — — — + — —. дУ д гдУ~ (1.54) дд,. д! ~да; )' В этом случае уравнения (1.53) получаются из уравнений (1.50) при лагранжиане, равном 5 = Т вЂ” И. Это выражение совпадает с выражением для частной производной функции — У(г,, г, ..., гк) по д . (Заметим, что У может н не быть явной функцией от г.) Таким образом, можно написать дУ ~консервативные~ (1,51) дд. н уравнения (1.50) примут вид Далее заметим, что потенциал У является функцией только положения системы и, следовательно, не зависит от обобщенных скоростей дт. дТ д (Т вЂ” Ъ') Поэтому частную производную —. можно заменить на де~ дег 1.1>~ но > ещщхл, зависящий о г пкогости 33 Величину (>' можно назвать «обобщйнным потенциалом» или «потенциалом, зависящим от скорости» *).

Возмо>кность использования такого «потенциала» имеет не только академический интерес; такой потенциал можно применить к очень важному силовому полю — полю электромагнитных сил, действующих на движущийся электрический заряд. Учитывая важность этого случая, остановимся на нем несколько подробнее. В единицах системы Гаусса уравнения Максвелла имеют вид: 1 дВ 7 ХЕ+ — — =О, с дт 7 ХН вЂ” — — = — ' 1 д0 ля/ с дт с 7 В=4«р, 7 В=О.

(! .551 и следовательно, этот заряд не является консервативной системой в обычном смысле. Г!олная сила, действующая на движущийся заряд, равна Е = >7 (Е+ —, (т> Х В) ~ (1.56) Вектор Е не есть градиент скалярной функции, так как 7 Х ЕФО; из равенства 7 В = О следует, что вектор В можно представить в виде В=7 ХА, (1. 57) где А — так называемый векторный магнитный потенциад. Тогда первое из уравнений (1.55) примет внд 7 ХЕ+ д (7ХА)=7Х(Е+ — дг) =О, что позволяет написать 1 дА Е+ — — = — 7", с дт или 1 дА Е = — 77 — — —.

с дг' (1.58) «) История этого термина довольно курьазна. По.видимому, он был сначала аведбн (н ошибочно) Вебером в классической злектродннамнке, где посту. даруются силы, зависящие от скорости. Немецкий математик В. Шеринг был, видимо, первый, кто серьазно пытался ввести такие силы в механику (см. ОСЧ1. ДОЬ. 18, 3, 1873). Так, например, в первол> издании Унттекера, Аналитическая динамика, 1904, есть ссылка на потшщнал в смысле «потенциальной функции Шерннга».

Однако этот термин, по-видимому, не вошел в употребление, так как в последующих изданиях он был исключая. мы отдаем предпочтение термину «обобщбнный потенцяал», включая в эта понятие также н обычную потенциальную энергию, являющухкя функцией только положения. Известно, что сила, действующая на заряд >7, не вполне определяется электрической силой Р= дЕ= — >777, овзов элвмвнтлвных пгинципов Отсюда следует, что так называемая сила Лоренца (1.5б) выражается через потенциалы Ч и А следующем образом: 1 дА ! Р=9( — ЧЧ вЂ” — — + — (аХ Ч Х А) ).

с дс с (1. 59) Члены равенства (1.59) можно записать в более удобной форме. Для того чтобы получить еа, рассмотрим составляющие (ЧЧ)х = д дт Первый член здесь возникает вследствие непосредственного изменения А со временем, а второй †вследств движения заряда, так как это приводит к изменению координат точки, к которой относится А . Учитывая предыдущие равенства, можно составляющую (о Х Ч Я А) записать в виде (~ХЧ ХА) =д (~ А) — ~~".+ ~~' д ФА,„дАе а составляющую Р в равенстве (1.59) — в виде Р = Ч ( — — ~ р — - и ° А) — — — „~ — (А ° а)~ ~, Так как скалярный потенциал Ч не зависит от скорости, то это 4" равенство можно написать в виде дУ д д1г — 1 дх ' Ф до, где (1.60) Таким образом, величина (у является обобщенным потенциалом в смысле (1.54), и, значит, лагранжиан заряженной частицы.

движущейся в электромагнитном поле, можно записать в виде 1 = Т вЂ” ЧЧ+ — А ° еь с и ;дАя дА . ~дА,, дА,' (оХЧХА) ='( —" — —,1 — (',— — — ',~ =- Адх ду у '~ дг дк) дАс, дА», дАх дАх дАе дАе о)о+Фвепяо вдх ' ' дх ' хдх Вду дг х дх ( дАх В последнем выражении мы добавили и вычли член о — ",) Полхдх ') ная производная Аи по времени равна дА дА, / дА„, дА„ дА, 1 «.,+о е+ дг дг 1гдк в ду 'дг)' 1.51 потенциал, зависящий ог сковости 38 Следует заметить, что если из сил, действующих на систему, потенциалом обладают лишь некоторые, то уравнения Лагранжа можно записать в виде дЕ дЕ где Е, как и ранее, получается из сил, обладающих потенциалом, а Я1 пРедставляют собой обобщенные силы, не имеющие потенциала.

Такое положение часто встречается тогда, когда в системе имеются силы трения. В ряде случаев сила трения пропорциональна скорости движущейся точки, так что еа составляющая по оси х выражается равенством ~,. = — й,р,. В этих случаях силы трения могут быть выражены через диссилативную функиию Рзлея, равную б= 2 24( е ь 0 ~у * ~ь)' где суммирование производится по всем точкам системы.

Иэ этого выражения видно, что Р, дй до или символически: Гг = — рЛ. Диссипативной функции можно дать физическую интерпретацию. Работа, расходуемая системой на трение, равна гЕ УУг Гг Ь Рг ЕЕ (й + йяов + А О ) Ж Следовательно, величина 2Я выражает скорость рассеивания энергии вследствие трения. Обобщенные силы, обусловленные рассматри- ваемыми силами трения, равны что согласно (1А8) равно Г~ дг, д5 — р,о ° —.