Г. Голдстейн - Классическая механика, страница 13

дт. — — — — =О и) бду будет для такой координаты иметь вид г! д). — — =О, иг дауд илн "рг =О, иг откуда (2.43) ру — — сон з!. ») Понятии гпиклическая коордииатаз и !игнорируемая коордииатаз обычно считаются тождественными и имеющими указанный выше смысл. Однако некоторые авторы делают различие между лима понятиями, определяя циклическую координату как координату, не входящую в кинетическую энергию Т, а игнорируемую координату — как координату, не входящую в лагранжиан (см. )Чева ! ег, Тпе Оупзт!сз о! Раж!с!ез (имеется русский перевод: Вебстер А, Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел, М.— Л., ГТТИ, 1933) и Вуег!у, лепета!!тел Соогб!па!ее). Эймс и Мзрнаган (А а е з и М п г п а к Ь а п, Тдеоге[ыз! Месйап!сз) пользовались обоими этими терминами, считая их эквивалентными, но, по-видимому, яоиимали под этим такие координаты, которые ие входат в Т.

и' 2.61 твогамы о сохглнании; своиотвл симматгяи р = тх + — = сопв1 йАх (2.44) и, как показывает эта формула, он не является обычным механическим количеством движения тх, а отличается от него на величину — «). аАх с Покажем теперь, что теоремы о сохранении, доказанные нами в главе 1, $2, могут быть получены из равенства (2.43) для цикли- ЧЕСКИХ КООРДИНат, ВЫбЕРЕМ ДЛЯ ЭТОГО ОбпбшВЫНУЮ КООРДИНатУ ду таким образом, чтобы дифференциал ей сьуу был равен перемещению «) Основываясь иа классической электродянамлке, можно показа~ь, что ЧАх если А и «не зависят от к, то величина — будет равна х-компонеите с электромагнитного импульса поля, связанного с зарядом в.

Таким образолп мы л1ожел~ сформулировать следующую общую теорему о сохранении: Если координата ду является Пиклической, то соответствуюи1ий обобисеннллй и.инульс остаетсн аостояннылс. Равенство (2АЗ) представляет собой первый интеграл типа (2АО) и оно может быть использовано для формального исключения циклической координаты. После такого исключения мы получим систему уравнений, содержащих только оставшиеся нециклические координаты, и задача сведется к решению этой системы.

В связи с этим Раусом был предложен метод, состоящий в такой модификации лагранжиана, при которой исчезают функции циклических скоростей ду, а вместо них появляются соответствующие импульсы рр Преимушество такого приема состоит в том, что он позволяет рассматривать эти импУльсы Ру как постоЯнные интегРиРованиЯ, и тогда последУющее интегрирование будет относиться только к нециклическим координатам. Подробное рассмотрение метода Рауса мы отложим до тех пор, пока не познакомимся с так называемым гамильтонианом, с которым этот метод тесно связан. Заметим, что условия, при которых справедлива теорема о сохранении обобщенного импульса, являются более общими, чем те, при которых верны теоремы о сохрзнении количества движения и кинетического момента, полученные ранее. Так, например, полученная сейчас теорема о сохранении справедлива и тогда, когда нарушается закон равенства действия и противодействия, что имеет место при наличии электромагнитных сил.

Пусть, например, мы имеем свободную частицу, находящуюся в электромагнитном поле, причам функции х н А не зависят от х. Тогда х не войдат и в Е и, следовательно, эта координата будет циклической. Поэтому соответствующий обобшйнный импульс рх должен оставаться постоянным. Согласно (1.61) этот импульс равен гглвнвния лхгглн>к> и вленхционнь>е пгн>н>ппь> 1..2 >>4 рассматриваемой системы как одного целого в заданном направлении.

Примером такой координаты может служить одна нз декартовых координат центра масс системы. Тогда ясно, что >) не будет входить в выражение для Т, так как смещение системы в целом не ду влияет на скорости еа точек. Поэтому — будет равно нулю. Кроме '. дду того, потенциал системы (т мы будем считать не зависящим от скоростей (чтобы исключить такие аномальные силы, как электромагнитные). Тогда уравнение Лагранжа для рассматриваемой координаты >уз будет иметь вид — =р.= — — =(;>,. (2.45) дТ дэ лг дд длу — у Пока>кем теперь, что зто уравнение выражает теорему о количестве дан>кения, т. е.

что 1;>> представляет сумму составляющих всех сил в направлении >>;, а р -составляющую количества движения системь> в этом >ке направлении. Мы знаем, что обобщенная сила 1,~; определяется равенством Рис. 16, 1!змененне радиуса- вектора точки при поступательном перемещении системы. 1'1=24 >'д доз ' дт, . т> (д>+ Аут) — тг (л ) а~,п — 1!ш дту лд ., О дДт Иду где а — единичный вектор в направлении перемещения д>),. Следовательно, Таким образом, с;>у, как это утверждалось выше, есть составляющая полной силы Р в направлении и. Чтобы доказать вторую половину нашего утверждения, заметим, что если кинетическая энергия 7 имеет вид Т= 1 ~~> тлзтаы Но так как в данном случае г(>)1 есть перемещение системы вдоль некоторой оси, то векторы т;(>уз) и тч(1>~+А)1) будут выглядеть так, как это показано на рис.

1б. Поэтому, дифференцируя т; по (>р получаем 2.61 ТЕОРРМЫ О СОХРЛПЩ!ИИ; Сзойсгзз СИММЕТРИИ то обоб!цйнный импульс, соответствующий координате !гг, можно на основании (1.48) записать в виде дТ ъ~ дг! ъ ! дгг Тогда из (2.46) получим: р! — — а ~ лг!я!!. Таким образом, мы доказали вторую часть сделанного утвермгдения, что р, есть составляю!цая полного количества движения системы в направлении и. Предположим теперь, что рассматриваемая нами координата у~ является циклической. Тогда !г~ не войдст в У, и, следовательно, будем иметь ды — — — = О.= О. д4. В этом случае мы получаем обычную теорему о сохранении количества движения, утверждающую, что если одна из составляющих полной силы Г будет равна нулю, то соответствующая составляющая количества движения будет постоянной. Аналогично можно показать, что если циклическая координата д такова, что Ф!Уэ соответствУет вРащению системы вокРУг некотоРой оси, то равенство рг — — сопй выражает теорему о сохранении кинетического момента системы.

Докажем это. Рассуждая так же, как и раньше, мы приходим к выводу, что координата д~ не может входить в выражение для Т, так как поворот системы не может влиять на величину скоростей ей точек. д!' Следовательно, — должно равняться нулю, а так как К не зависит ду~ от !г„то мы опять получаем уравнение (2.45). Но так как От является теперь угловой координатой, то нам нужно показать, что обобнгйнная сила ь!! будет суммарным моментом всех сил относительно оси вращения, а р~ — полным кинетическим моментом системы относительно той же оси.

Обоб!ценная сила Я, как и ранее, равна но производная — имеет теперь другой геометрический смысл. Измедг, дяу пение координаты !у означает теперь бесконечно малый поворот вектора Г! при сохранении его длины, и поэтому будем иметьп 1 дГ! ! = Г! 5!П 0 О!(г хвлвнения лап лнжл и влеилцнонныа пгинципы ~гл. 2 (рис. 17). Следовательно, Р1="е-гад причем направление этого вектора будет перпендикулярно к г, и и. Учитывая это, мы можем написать дгг — =-п Х.; дч1 ('2А7) и тогда получим Ь~=ХГ; п Х~,=-Хп ~с ХГп или (~л — — а ..~~ Аге = — п Ф, что доказывает первую часть нашего утверждения. Совершая затем аналогичные преобразования над величиной р, получаем Р~ — — .

— — 7 туг ° —" = 7 и ° г;Х т1п,=.н ° ~ 7.г — — п ° Е. Таким образом, доказана вторая часть сделанного нами утверждения. Итак, если угловая координата дг будет циклической, то обобщенная сила г~ч являющаяся моментом всех действующих сил относительно оси и, будет равна нулю; кинетический момент системы относительно оси п будет при этом постоянным.

Таким образом, мы вновь доказали теорему о сохранении кинетического момента, получив еа из общей теоремы о сохранении для циклических координат. Циклические координаты, описывающие перемещения или арап~ения, играют важную роль при исследовании свойств системы. Поэтому онн заслужнва|от того, чтобы на них остановиться несколько подробнее. Если координата, описывающая перемещение системы, является циклической, то зто означает, что перемещение системы как тварднуса-вектора точки прн лого тела не отражается на еа динамических повороте системы.

характеристиках. Вследствие этого, если система инвариантна относительно перемещения вдоль данного направления, то соответствующее количество движения сохраняется постоянным. Аналогично, если циклической координатой будет координата, описывающая поворот (и поэтому будет оставаться постоянным кинетический момент системы), 9 2.91 теоеьмы о сохгхненин; свойства симметени бу Но согласно уравнениям .'!агранжа де и де В~, дГд', ' и поэтому можно написать И, .ч и д2 . -г дЕ ив — = ~ — —.ч +) — — — — ', м;а ит дв. " ~"а дв в или Отсюда и, следовательно, ъч дУ.

Š— т гт —.= — Н, дй, (2.49) где Н есть некоторая постоянная. Это уравнение можно также записать в виде Н=~~" ,а р, — Е Ф (2.50) то система будет инвариантна относительно вращения вокруг данной оси. Таким образом, теоремы о сохранении количества движения и кинетического момента тесно связаны со свойствами симметрии системы. Если, например, система обладает сферической симметрией, то мы можем сразу утверждать, что все составлягощие ей кинетического момента будут оставаться постоянными. Если же система симметрична только относительно оси а, то неизменным будет оставаться только кинетический момент Е,, и аналогично для других осей. С зависимостью между постоянными, характеризующими движение, и свойствами симметрии мы еще несколько рав встретимся. Другой теоремой о сохранении, которую мы такгке получим сейчас с помощью лагранжиана, является теорема о сохранении полной энергии консервативной системы, рассмотрим консервативную систему, для которой Р= — 'г'Г, где à — функция, не зависящая от скорости.

Кроме того, введем дополнительное ограничение, потребовав, чтобы связи не зависели от времени. Тогда Е не будет дб явно зависеть от г, и производная — будет равна вт Н, Ъч И. дй ьт дУ. ие ит Л в дй. ит .Ьв' д,~ дг Ф РРлвнвния ЛАГРлнжА и ВЬРНАционные НРинципы 1гл, 2) Таким образом, мы получили первый интеграл уравнений движения. Пока1кем теперь, что правая часть равенства (2.50) представляет собой полную энергию рассматриваемой системы. Для консервативных систем (Г не зависит от скоростей д ) имеем: ~И. дТ Р,г = д6 дд, ' и поэтому первый член правой части (2.50) равен ду дву Но в Э 1.6 было показано, что если связи не зависят от времени 1или, точнее, если формулы (1.Зб) не содер1кат явно 11, то кинетическая энергия Т есть однородная квадратичная функция д .