Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах), страница 3

Аналогично ды = 2эз — — О. Итак, 1 = О. 3.23 Рассмотрите системы координат х1 и х" = 2х1 и покажите, что суммы а11 + 6, и о"1 + 6'; не связаны тензорным законом преобразования, если не выполнено условие а = О или Ь = О. 3.24 Найдите компоненты метрического тензора в системе координат (х1) и затем контравариантные компоненты 6'1.

Контравариантные компоненты суммы суть 11+ 611 2 12+ 612 21+ 621 1 22+ 622 другие компоненты равны нулю. 3.25 Выразите обе части рассматриваемого равенства через Щм, используя компоненты метрического тензора. 3.26 а) Компоненты В и и в различных системах координат связаны тензорным законом преобразования. Использование этого факта дает тот же закон для рассматриваемых сумм.

3.27 См. задачу 3.23. Да, в общем случае зависят; если же используются только декартовы координаты, то не зависят, см. задачу 2.15. 3.23,11 = ~,:,12 = 2. 41.ч,уэ = ~. 2. ф . 1 НО 2 .1' .О Э 3.29 а) В координатной системе с базисом е;, собственные значения и собственные векторы и = н1е; определяются из любой из следующих трех систем: 1ои1 = Лд;.и1; Рн = Лд'1и", 2'.'н21 = Ло'. б) Используйте критерий существования ненулевого решения последней системы из предыдущего пункта, 11 — — Й';ч 12 = — (1'.,'41 ' — 1" ,21;.), 1э = деС 'О1'.:!/. 18 1'лава 1. 0>'нонн>»е ш>пятая 3.30 Проверьте. что прп переходе к другой лч>стеме координат (л' . х' ..г' ) набор чисел л>ы„, = е'л (е'> х е' ) выражаетгя через сл>л по правилу преобразования тенек>ра. 3.31 в) Пугть векторы базига е' разлагаются по правому декартову базигу еп г коэффициентами Л "ь т.

е. е; = А";е'л. Тогда е> (ея х ез) = <1е1 А. где Л = йЛ";'ц. Выразите с1е1 Л через д = с1е11Ьд;,)!. учитывая, что ЛЛ~ = )(д;>11. 3.32 б) Покажите. что с>~> = е'.(езхел). Выразите е' (ее хе>) через с1е1!)д'>й = 1/ д. см. указание к задаче 3.31. 3.35 б) Используя фс>рл>улы >иэ:эадач 3.28 и 3.27, найдел>, что а х (Ь х с) = с'">и,(ср„гйггэ)е; = ( — Ь' >5> + >5'>5„')Ь"г"п;е; = = ( — п,Ь'г' + п,г'Ь>)е; = Ь(а е) — с(а Ь). 3.37 а) Пет. б) л(е111п> )! = 7»л и', п'зи"',э — — — й»л с~'"ирп',и, „.

2 Элел>ент>я л>атрицы !!Ь',;11, обратной к /!и»,!(, гуть 2 >"~ с1е! /)и ">„11 3.38 а) Игпользуйте формулы для:элементов обратной матрицы. гм. задачу 3.39. 3.39 Используйте г»отноп>ения Ьли'л = >5>. определяющие элементы обратной матрицы. 3.40 Нет. Эти производные не подчиняются тензорному закону преоб>разовання. 3.41 Символы Кристоффеля равны нулю в декартовой системе координат. но по крайней лэере один из них не равен нул>о в криволинейной системе. 3.42 Нет.

3.43 а) »лд„= О: б) 1де>>я = О. ;1, '1< взор<,1. Крнаолпнейны< координат<,1 3.44 Символы Кристоффеля для цилиндрических и полярных координат таковы: 1 22 — — — г, Г12 — — Г21 — — 1/г, остальные Г'я — — О, 1 2 2 индексы 1. 1' принимают значения 1, 2, 3 и 1, 2 в случаях а) и б) соответственно. Г.<<3 — — — гс41п 9, 1 2 1 1 22 2 11г = .3 3 1 13 1:11 т< Г = Гз, — <189, ' остальные Г';~ — — О. 3 '1 3.46 Символы Кристоффеля для системы координат, описанной в задаче 3.15, таковы: г г Г, =Г, =Г =О.

Здесь Л вЂ” радиус кривизны заданной кривой 3.47 Используйте формулу для дифференциала детерминанта матрицы, см. задачу 3,38, и соотношение l' д9;1 д9<ь д9</«1,<д9<1 3.48 а) <<остаточно проверить равенстно в декартовой систе- ме координат. б) Используйте формулу задачи 3.47. 3.51 Учесть симметрию символов Кристоффеля Г'е — — Г~ . 3.53 В рассматриваемой <исгеме к<юрдинат выполнено следовательно правило преобразования дает дх'/<де<~ .= Й'. 11озчому рассмотрим систему дифференциальных уравнений «г' — = к'(,гг).

<Ь 3.45 Символы Кристоффеля для сферических координат: .г 1 г Г21 — — —, Гзз — — — н1 и в соя е, г 20 Глава 1. Осноаньа понятия Пусть;т,' = ~'(а: а,6. с) — решение этой системы при начальных условиях х1(0) = а, хг(0) = 6. л'3(0) = с, где (а, 6, с) — произвольная точка в окрестности неособой точки этой системы — точки. где Й ф О. Без потери обшности можно принять.

что ее координаты суть т~ = хг = хз = О. и направление вектора Й(0, хг. х'3) выходит из поверхности х = 0 (в рассматриваемой окрестности). Тогда решения х' = 1'(л; О, 6, с) с. начальными данными на поверхности х~ = 0 можно использовать для введения новой системы координат х' = Г'(, " х",:т 3), Г'(х", х", 3) = Г'( ": О, .",,"), которая обладает требуемым свонством. 3.54 б) Достаточно показать, что формула верна в декартовой системе коордияат (т.') с базисом е,.

Рассмотрим также криволинейную систему координат (х") с базисом е';, в которой в = е',. Так как д1н в = О, то формула из задачи 3.48 б) сводится к равенству дн'д'/дхп = О, где д' = с1е1'Пд,' й. 11оэтому ~/д' зависит только от х'г и х'3: нд' = Зн(х'~, х' ). Удобно выразить е1 через и'г н е'3 по формуле из задачи 3.1 г) егг х еа3 е', = ~'* — ЕП . (Егг Х Е'3) ~'* где 1'* =- 1/и'д', см. решение задачи 3.32. Таким образом, имеем н=е,=нде хе =~р ' е х '„е —; г 3 д.т.", дх'3 дхэ дх" дхгг дтгз;~, гг д, ~з — — е'хе =~ —, с' еь /с ' г /с дх' дхь дхй дх" 11оэтому для компонент 10 в декартовой системе координат (х ) выполнены равенства дт'г дт'3 :т о =~ — —,е дтг дх" Определим два скалярных поля о и д, которые принимают значения о(р) = х'г(р), д(р) = х'3(р) в любой точке (р, х') выбранной г1 4 деформация, < корость деформации, вихрь выше (фиксированной) системы координат.

Предыдушая формула принимает вид да дд и = ф(о ~3) —. — е дтй дхь Для получения окончательной формулы дв де ю' — со~ — —— дт~ дх" остается показать, что две функции я1 и т можно выбрать так, чтобы скалярные поля е = уз(о, д), 6 = Х(а,д) удовлетворяли условию до д/3 е ь дп дй ~р(оь 13) — — дз = —,. — Г' дтз дхь дту дх" Это условие эквивалентно равенству да д)1, ь /д4 дх д~~ дк'1 до дд р(ое,д) —, — ео~ = ( — — — — — ( —. — ео, дтй дх" (,да дд д11 до( дхй дхь ' которое очевидно выполняется, если дФ дх д4 дх И(оь д) = — — — —— до дд дд да' Это условие выполнено, например, для функций е(,е=1е( °еа, х( е=Р.

4. Деформация, скорость деформации, вихрь 4.1 Эти материальные элементы переместились параллельно самим себе. Относительное удлинение элемента, направленного вдоль оси х', равно а; элементов, перпендикулярных оси хы равно О. При а > О происходит растяжение, при — 1 < а < О— сжатие материальных элементов. 22 Глава 1. Основные понятия 4.2 Компоненты тензоров деформаций можно вычислить по формулам, связывающим их с компонентами поля перемещения. Ответ: Поле перемещения имеет вид ПГ = Н(ГЕ! (в лагранжевом описании), С пг = хге! (в эйлеровом описании). 1+и Отличны от нуля только компоненты йг! и еГ! тензоров Грина и Лльманси, они равны соответственно = — '((1+ а) — 11, еГ! — — — ~1— 2 ' 2 ~ (1+а)21' 1 Г 2 1 1~ 1 ~~(1 1 )2 1]е е 2~ ) ' 2~ (1+а)г) еге!.

4.3 а) Использовать формулу Ганг — двег = 23 д Г2~ Г2~д, где !гн и Ггне — Длина матеРиального элемента До и после ДефоРмаЦии. Относительное удлинение равно 1+ 2е дГ2 Гд — 1, где сà — компоненты единичного вектора, имеющего то же направление, что и Г1ф. б) Относительное удлинение каждого из элементов равно г 1+ а+ — — 1. 2 4.4 а) Угол между материальными элементами можно найти, вычислив скалярное произведение векторов, которым соответствует их положение после деформации При этом следует учесть, что дх, д.с, — — = 2Я,„д + Бод и воспользоваться ответом задачи 4.3 а), чтобы найти величины /Г1х1г1/ и !Г2х121/. 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 23 Угол ~р между элементами определяется по формуле (2е а+б в)г1 4, сов ~р— где И и Ин — компоненты единичных векторов, имеюппих то П) (п) же направление, что 4~1 ) и 0~1~) соответственно.

б) Угол между элементами равен 2п+ е2 р = агссов 2+ 2а+ аз 4.5 Относительное изменение объема равно а. 4Я а) Отрезки, первоначально параллельные оси хз, переносятся параллельно себе без удлинения; отрезки, параллельные оси хз, переносятся без удлинения и поворачиваются на угол я/2 вокруг оси хз, отрезки, параллельные оси т,„переносятся, поворачиваются таким же образом и удлиняются в (1+ 6) раз. б) Отличны от нуля только компоненты еы и езз тензоров Грина и Альманси; они равны соответственно еы — — — '((1+ 6) — 1~, епз — — — )1— 2 ' 2 ~ (1 + 6)з1 ' е = — ((1 + 6) — 11 еп ем е = †, ) 1 — езез .