Механика сплошных сред в задачах. Под ред М.Э.Эглит. Т. 2. Ответы и решения (М.Э. Эглит - Механика сплошных сред в задачах)

МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД В ВАААЧАХ Том 2 Ответы и решения Под редакцией М. Э. Эглит Г. Я. Галин А. Н. Голубятников Я. А. Каменярж В. П. Карликов А. Г. Куликовский А. Г. Петров Е. И. Свешникова И. С. Шикина М Э. Зглит ББК 22, 25 С23 УДК 531 Издание осуществлено нри ноддернске Российского Фондо Фундол|витальных исследований Механика сплошных сред в задачах.

Том 2: Ответы и решения Мл «есьоенобоеиа»6иуеа», 1996. — 394 с. Под ред. М. Э. Эглит !8ВХ 5-7611-0083-5 Том 2 содержит ответы, указания и решения около 1000 приведенных в Томе 1 задач и упражнений по всем главным разделам механики сплошных сред, включая: общие основы механики и термодинамики сплошных сред, гидромеханику, газовую динамику, теорию упругости, теорию пластичности, основы моделирования. Для студентов, преподавателей и научных работников в области механики и физики. Авторы: Глеб Яковлевич Галин, Александр Николаевич Голубятников, Яков Александрович Каменнрэк, Владимир Павлович Карликов, Андрей Геннадьевич Куликовский, Александр Георгиевич Петров, Елена Ивановна Свешникова, Ирина Сергеевна Шикина, Маргарита Эрнестовна Эглит.

Рисунки Е. Н. Пащенко !8В1Ч 5-7611-0083-5 © ее«»осев!есной йу », 1996 © Авторы, 1996 Частное некоммерческое учебное заведение «езсоснойееисг «й~есг» 129348, Москва, Ярославское ш., д. 2, карп. 1 Тел. (095) 188-59-71, факс (095) 188-33-10. Содержание Предисловие ко второму тому 1. Лагранжево и эйлерово описания движения 2. Тензоры в евклидова м пространстве. Декартовы координаты . 1 1 3. Криволинейные координаты 4. Деформация, скорость деформации, вихрь 13 21 5. Относительное движение и четырехмерное цространство-время 40 б. Элементы симметрии и тензорные функции 48 Глава 2. Общие законы и уравнения механики сплошных сред 53 8.

Закон сохранения массы. Уравнение неразрывности 9. Тензор напряжений 55 10. Дифференциальные уравнения движения и равновесия 60 11. Применение законов сохранения массы, количества движения, моментов количества движешш в интегральной форме для определе- ния сил и моментов, действующих на тела, движущиеся в жидкости (метод контрольных поверхностей) .......... 67 12.

Уравнения моментов количества движения Глава 3. Термодинамика сплошных сред 75 81 14. Первый закон термодинамики. Уравнения энергии и уравнение притока тепла. Совершенный газ............. 81 15. Второй закон термодинамики. Энтропия. Тождество Гиббса . 91 16. Ограничения на вид определяюших соотношений, вытекающие иэ законов термодинамики и принципа Онзагера ....... 97 17. Термодинамика сред с внутренним моментом количества движения 103 Глава 1. Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошной среды .... 6 Содержание 107 Глава 4. Поверхности разрыва в ~плошных средах 107 18.

Условия на поверхностях разрыва 117 19. Поверхности разрыва в лагранжевом описании Глава 5. Механика жидкости и газа 120 21. Гидростатика 120 22. Динамика идеальной несжимаемой жидкости 23. Динамика вязкой несжимаемой жидкости 24. Волны на поверхности тяжелой жидкости 25. Механика сжимаемой жидкости 126 147 168 187 26. Газовая динамика 240 Глава 6.

Теория упругости 264 28. Линейная теория упругости 29. Нелинейная теория упругости 264 298 30. Моментная теория упругости и осредненне Глава 7. Пеупругие деформируемые среды 302 310 31. Теория пластического течения 310 32. Вязкоупругость и вязкопластичность 323 327 333 Глава 9. Электродинамика сплошных сред 337 35. Уравнения Максвелла 36. Магнитная гидродинамика 337 343 37. Электрогидродинамика Глава 10.

Анализ размерностей и моделирование 39. Примеры приложений теории размерности 359 363 363 Предметный указатель 387 Глава 8. Специальная теория относительности ЗЗ. Преобразования Лоренца. Пространство Минковского 34. Некоторые понятия релятивистской кинематики и динамики Предисловие ко второму тому Второй том книги содержит ответы, указания и решения к задачам, включенным в первый том. Как правило, приведены лишь главные моменты решения, а детали оставлены читателю для самостоятельной работы. Поэтому даже те задачи, решение которых дано в книге, могут быть использованы преподавателями в качестве домашних заданий, при составлении контрольных работ и экзаменационных билетов.

В любом случае, даже если читатель решил задачу совершенно самостоятельно, авторы считают, что ему было бы полезно изучить решение, представленное в этом томе. Зачастую оно содержит не только указание на другой возможный путь решения, но также дополнительные элементы теории и комментарии, которые дают более глубокое понимание проблемы. Ответы и решения задач включены во второй том последовательно, в том же порядке, как соответствующие тексты задач входят в первый том, и имеют ту же нумерацию.

Для удобства ориентировки во втором томе повторены названия глав и парагафов первого тома, также с сохранением их нумерации (естественно, параграфы, не имеющие задач, во второй том не включены). Номера формул и рисунков, относящиеся ко второму тому, содержат букву О (ответы). Если же в какой-либо ссылке эта буква отсутствует, то имеется в виду формула или рисунок из первого тома книги.

Как и в первом томе, сначала указан номер параграфа, а затем порядковый номер формулы или рисунка в этом параграфе. Во втором томе также повторен обгций для всей книги предметный указатель, содержащий ссылки на наиболее важные понятия, определения, факты, встречающиеся как в первом, так и во втором томах книги. Я желаю больших успехов всем читателям этой книги. М.Э. Эглит Москва, 1 июня 1996 года Глава 1. Основные понятия, используемые для описания движения и деформации сплошной среды 1. Лагранжево и эйлерово описания движения 1.1 Решение: Введем в пространстве декартову систему координат (хы хг, хз).

В качестве лагранжевых координат частицы (хм хг, хз) возьмем координаты (СмСг,Сз) точки пространства, в которой частица находилась в момент ~ = О. а) Пусть ось х, направлена по (имеющему постоянное направление) вектору скорости. Движение состоит в переносе тела в направлении оси х1 на расстояние И. Поэтому закон движения имеет вид хг = 6, хз = 1з. х1 = ог+~ы б) Пусть ось хз направлена по оси вращения, неподвижной в пространстве. Движение состоит в повороте вокруг нее на угол аа. Преобразование вектора начального положения частицы в вектор ее положения в момент 1 осуществляется при таком повороте ортогональной матрицей хг = в1п аг~ сов ьЛ О Поэтому закон движения имеет вид хг = ~геолог — ~г япюг, хг = ~г в1пюг+ ~г соеьА, хз = ~з.

Другое решение. Соответствие Р е> (аы аг, аз) векторов евклидова пространства и троек чисел не обязательно устанавливать в виде аг = хы аг = хг, аз = хз, где (хг, хг, хз) - — компоненты г в декартовой системе координат. 1. Лагранжево и эйлерово описания движения Например, можно использовать цилиндрические координатны х1 = В, х2 = ~р, хз = г, где Л вЂ” расстояние от конца вектора г до оси хз, ~р — угол между плоскостью, проходящей через г и ось хз, и плоскостью х10хз, я = хз.

При вращении вокруг оси хз цилиндрические координаты Н и х частицы очевидно не меняются, а координата у изменяется за время 1 на величину ~01, если угловая скорость постоянна. Поэтому закон движения в цилиндрических координатах имеет вид Й = Но, У = 101+ Уо, Я = Яо, здесь (Во, ~ро, го) — лагранжевы координаты частицы. Таким образом, декартова система координат не всегда самая удобная.

(6 1) = ( ), (Ч ) = ( ): Ы, 1) = ( ). Иэ определения скорости дхЯ, 1) (61) = д1 находится закон движения 1 = 1, 2, 3 1 х1 = и1(т)дт+ 6, о х2 — — и2(т)от+ ~2, хз = из(т)ат+ сз. 1.3 Поле скорости: 01 = 0~2, 02 — б~1, 03 = О; поле ускорения: а1 = 02 = аз = О В точке (хо1, хо2, хоз) в момент 1 = 10 находится материальная точка, имеющая лагранжевы координаты х01 010х02 х02 б10х01 41 2 ~ С2 — 2 ~ СЗ ХОЗ.

1 — аб1о 1 — аб10 1.2 Решение: При поступательном движении твердого тела ~коро~ти всех частиц одинаковы, 1, Лагранжево и эйлерово описания движения Линии тока в случаях а), б) и в) совпадают с траекториями, хотя в случаях а) и б) движения не являются установившимися. В случаях а) и в) линии тока лежат в плоскости яз = сопв1, картины линий тока одинаковы во всех таких плоскостях и описываются соответственно уравнениями в яг з1 а) 6 6' В случае б) линии тока — всевозможные прямые, проходящие через начало координат. 1.9 Если в качестве лагранжевых координат ввести координаты индивидуальной частицы в момент 1 = О, то закон движения примет внд — 1 Амит ) ВЯАт х1 = сге о, хг = ~гео, яз = ~з.