А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 5

В данном определении обласаи второе требование является условием связности области. Например„множество точек /г1( ! образует область. Точно также и е-окрестность точки г,(1г —.ь1(в) образует область. Множество точек,,'г!.==1 не является областью, так как пе все его точки являются внутренними. Также не являются областями ьшожесгво точек ! ~-И= 1 н множество,' ','с 1, ) г — 4! (2 (рис. 1.3), поскольку они ие являются связными.

Для обозначения области обычно применяются буквы й, О, 1У. Точка г иазьшается внеигяей игочкой области У, если существует такая е-окрестность точки г, все точки которой не принадлежат области 3. Точка г называется граничной точкой области й, если в любой ее е-окрестности содержатся как точки, принадлежзщие области 3, 22 !гл. ! ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕЫЕННОН так и точки, не принадлежащие области о. Например, точка Е=1 является граничной точкой области з (1, Совокупность всех еда»очных точек образуепг грана!)у обг!атш. В дальнейшем гра!шву' области мы оудем обычно обозначать буквамн у.

1', С. Простейщнм примером гранины области, очевидно, является кривая; однако грз!Ннгз области может состоять 1 и нз днскре!ного многксс!ва тоеаб чек. Напрпмср, зн!ожество то !ек )з ! 4= О образчет па комплексной плоскости область, !раннпсй которой является точка =. = О. Рнс, 1.3. Множееигво, полученное лригоедпиенпеж к области всех ее граничных точек, называется зал!«ну!пой облатпью. Замкнутун! область обычно будем обозначзтгь ставя черту над снмволом обласгн, например: й, О, Ь. В далю!ей!нем мы будем рассматрнвзть те случаи, когда граннна области представляет собой одну нлн несколько кусочно-гладкнч кривых *), которые, в чзс!настя, могут вырождгпься в отдельные точки.

Прн этом будут рассматрнва!ься как одпосвязные, так и многосвязные области вч). 11апрнмер, область ~ г — ! !!( 2 является односвязной областью, границей которой является окружносзь ,:г †! = 2; круговое кольцо 1 ( ,'г ( 2 )рвс. 1.4) представляет собой двухсвязпую область; множество точек г ф: О предстзвляет собой односвязнук! облакть и г. д. Есгн! облас!ь Уг' целнком лежит впутрп некозоро!о круга конечного раднуса, то опа на- 1 зывается ограниченной. В противном слу'!зев х неограниченной.

й)ы будем рассматривать в основном те случаи, когда множестно Е значений комплексной переменной представляет собой область й Рве, !ай нлв замкнутую область а' комплексной плоскости. Тогда однозначна» функ»пи ло,яллексиой перел!в»ион г, заданная в области «1, олредел»етс» закопал, етавяти.в наг«дожу значению з из облатгч! о в соотвеш!тепе определенное «олшлешиое чае!о а~.

Снмволн ескн указанное соотнетствне будем записывать в виде (1.8) ') Понятие кусочно-гладкой крнвоя см. вып. 2, стр. !50. *') Понятие многосвязной области см. вып. 2, стр. !17. 23 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИ<! НЕПРЕРЫВНОСТЬ ь з! био!кассио комплексных шсел ю, соогаетсгз ющих всем г ~ У, иачызае вся множеством значений <)гуи<сци<г,~(г). Поскольку каждое комплексное число характеризуегся парой действигельиых чисел, то за пине коьпшексиой функции вв =и+!в комплексной переменной ,; =-х+!у экшщалеитио задаиию двух дейсгвительиых функций двух деисгвительиых переменных, что может быть ззиисаио в виде и(г) =-и(х, у)+!лз(х, у).

(1.9) Функции и(х, у) и о(х, у) определены в области У плоскости действигельиых переменных х, у, соогве<ствующей обласги У комплексной плоскосги г. Функция и(х, у) иазывзегся дейспгвительной, а функция о(х, у) — жнилгой частью функции ш=Д(г). В дальнейшем, если это ие оговорено особо, мы всегда будем пользоваться представлеиием (!.9), обозначая действительную часть фуик<ции г(г) с< мзолом и, мнимую — символом о.

Часто рассматрпзшот миогоз шчиые фуикиии комплексной перг'- ме шой, когда каждому значению ~ У сгавигся в соответствие несколько комплексных чисел. В иасгоящей глзве мы будем рассмзтривать только однозначные фуикции комплексной иеремеииой. Подробиое рассмотрение миогозиашых функций будег проведено ниже. Миожесгзо значений ге фупкции Д(г) иа комплексной плоскости ю может иметь самую разнообразную структуру.

В частиосги, это может быть область 0 или замкнутая область О. В дзльпейщем мы будем рассматривать толы<о такие случаи. Заданием функции тв =у( ) усгаизвливаегся сооп<етствпе между точками области У комплексной плоскости и точказш области 0 комплексиой плоскости т. Говорят, что при этом задзио отображеиие облзсги У иа область О. Очевидно, устаизвливается и обратное соог«етствие — каждой точке т с= 0 сгзвится в соответствие одна или иеског<ь<со то<ек г области У.

В последисм случае можно говорит!э что в области 0 задана миогозиачиая фушсция комплексной перемеииой го. Функция, осуществля<ощая отображение обласги 0 комплексной плоскосги ев иа область У комплексной плоскости г, иазывается обратной фуикции з(г), В этой главе мы в осповпом будем рассматривать тот слу <ай, когда образная фуикция =<р( ) (1ПО) является однозначной в области О. Тогда функция <о=<(г) осуществляет взаимно одиозна шое огображеиие области У иа облас<ь О. Функ<Сии /(г) называетгя однолиетной 4ункиггей в области У, еглл в различных точках =.

этой области она пронижает различные значения. Из этого определения следует, что одиолисгпая функция осуществляет взаимпо одиозиа~и<ое отображеиие. 2. Непрерывность. Перейдем к иоиягию непрерывности функции комплексной переменной. Пусть функция г(г) определена иа некотором 24 Функции комплексной пепегиенной 1гл.

1 множестве Е. Рассмотрим различные поспелова гельпости почек этого множества [ „[, сходящиеся к некоторой точке г„и состоящие пз точек г„, отличных ь) от точки гь(г„Ф гв), и соответствующие им последовательности значений функции [У(г„) ), Если незавпсплго от выбора логледоваглельноспш [г„[ сугцесглвует едпнгтвенньпг предел 1!па У(г„) = юа, лго этот предел называеглся предельным гв '0 значение.и, нлц лределолг, функции )(г) в точке г,, что записывается в виде ! ! щ,Г(г) = ю . г ы Чзсто употребляется и другое "") определение понятия предельного значения (или предела) функции. Число гоь называетгя лредельньгж значение,и функции Г(г) в точке г,, если для любого е >О жолсно указать такое 6)0, что для всех точек г ~ Е и удовлетворя югцпх условию О ч" > « — '(6, плсеет .место равенство [г(г) — иг„'(е. Докажем эквивалентность этих определений.

Г!усть функция у(е) удовлетворяет второму определению. Возьмем произвольное положительное число е и выберем для него соотвегсгнующее 6(е). Рассмотрим произвольную последовательность [ „[-« „и найдем лг[6(е)[ =- = Л(е), начиная с которого 0( ' г, — «ь с.,6. Тогда по условию (Д(г„) — то„,'~е для л «Х(в)! а так как е)0 — любое, то это в силу произвольности выбора последовательности [г„[ и озпачзет, что 1нп Х(гь) =иг„т.

е. функция ((г) удовлетворяет и первому опрег л делению. Тем самым иэ второго определения следует первое. Докажем теперь, что из первого определения вытекает второе. Предположим, что это не имеет местз. '!'огда можно указать такое ев ) О, что для любого 6„) О найдется такая точка г„с= Е, что прн О() г„— гь <б„будет вьшолнепо неравенство ! г(г) — тоь,:)е,. Выберем стремящуюся к нулю последовательность [6„[-«0 и соотвегству!ощую ей последовательность точек [гн[, удовлетворщощих приведенным выше неравенствам. Очевидно, [г„[ — «- „а последовательность [! (г„) 11 не сходится к числу ыа, так как все члены этой последовательности отличаются от юь больше челг па е„.

Но полученный результат противоречит первому определению. Тем самым сделанное предположение не вмеег места, т. е. нз первого определения вытекзет егоров. Эквивалентность обоих определений доггазапа. Так же, как и в случае действительной переменной, важную роль играет понятие непрерывносги функции. Начнем с понятия пепрерыв- ') При этом предполагается, что точка г„является точкой сгущения множества Е, т. с, существуют последовательности (г„! точек этого множества, сходящвсся к точ«с гь **) Заметим, что ато определение, в отличие от псрвого, имеет смысл лищЬ для конечных значений гь и щь. 25 пОнятие Финкгпгн. нспРерыв!гость ности в точке.

Прп этом будем считать, по точка го, в которой определяется это понятие, обязательно принадлежит множеству Е зада- ~ ~ на функции. Функцггя у( ), заданнап на .множестве Е, называегпся непрерывной в гпоггке — е= Е, если предельное значение згпой функции в гпочке го гуществуегл, конечно и совпадаепг со значениелг г (го) функции г (г) в точке «о, т. е. Ипт у (г) =7(го).

г г, Это определение непрерывности распространяется как на внутрешще, так и на граничные точки множества "). Если функция 7'(«), заданная на множестве Е, непрерывна во всех точках этого множества, то говорят, что функция 7(г) непрерывна па множестве Е. В частности, мы будем рассматривать функции, непрерывные в области, в замкнутой области и на кривой. Подчеркнем еще раз, что в силу дзнных выше определениИ следует рассматривать предельные значения функции 7(«) лишь на последовательностях точек, припадлежагцих данному множеству (в последних случаях замкнутой области, кривой и т. д.).

С помощью з — б-определения предельного значения условия непрерывности функции 7(г) в точке г, можно также сформулировать следующим образом. Функцггя г'(г) непрерывна в точке гм если для любого в) О лгожно указать такое 6- О, что для всех пгочек г е= Е, удовлетворяющих неравенству,' « — «о1 <: Ь, ижеет жесгпо неравенство,у(«) — 7(«о)',< е. Геометрически это означает, что функция комплексноИ переменной, непрерывная в ггекогорой гочке ь") «о, ставит в соответствие кажДОИ точке нз 6-окРестности .точки го некоторую точку, принадлежагцую е-окресгности точки соо=У( о) Из непрерывности функции комплексной переменной 7'(г) .=- := гг(х,у)+(о(х, у) следует непрерывность ее действпгельпоИ и(х,у) и ыггимогл о(х, у) частей по совокупности переменных х, у *ь"). Имеет место и обрапюе утверждение, т.