А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 7

Очевидно, если область г> плоскости ш обладает тем свойством, что любая замкнутая кривая в этой области не содержит точки ш.=О, то в 0 определены две различные однозначные непрерывные функции о(ш) и «, (ш). Функции «г> (ш) и «, (ю) называются веглзял>п жногозна слой функцш! «( )=)~'~. Во втором случае кривая С содержит внутри точку и=О. Тогда после обхода кривой С в положительном направлении значение аргумента точки п>о уже пе вернется к первоначальному значению а изменится на 2п: а!дело=фа+2л. Поэтому и значения функций «о(гл) и «>(ш) в точке шо в результате их непрерывного изменеш>я после обхода кривой С уже пе будут равны их первоначальным значенням.

Более точно, получим «о(п>о) = «о(шг>) е л,, (шо) = «, (п>о) е™. То есть функция «о(ье) перейдет в функцию:,(п>), и нзоборот. Если для точки «о можно указать такую е-окрестность, по прн однократном обходе точки -, по л>обому замкнутому контуру, пеликом лежащему в этой в-окрестности, одпз ветвь многозначной функции переходит в другую, то точка «, называется Ело гкоа развеглвленпд (веглалелпп) данной многозначной функции. В окрестности точки развегвлешпа отдельные вегви многознз шой фушгции уже нельзя рассматривать как различные однозначные функции, поскольку при обходе точки разветвлепщ! пх значения меняются.

В рассматриваемом нр>гмере точкой разветвления является точка ы= О. Замегим, по обход окружности , '! —.>с сколь угодно большого радиуса соответствует обходу на плоскости >".== - точки ~=0 по а Функц!иги комплексной пеРеменнОЙ пл. г окружности Ь) =р= —.

Согласно пункту 2.3 иушет место соотно- 1 1 шение . —.=ОС. Поэтому будем считзть, что обход окружности бес- О конечно большого радиуса (гс -+ сО) есть обход бесконечно удаленнои гочки г = СО. Кзк легко видеть, в рассматриваемом примере при обходе точки ю =- со одна ветвь функции г = уеге переходит в другую.

Таким обрззом, второй точкой рззветвлегшя функции г = К'пг на комплексноИ плоскости ю являегся точка ш = ОО. Обласгью с), в которои определены однознагные ветви функции г = 1'кц является ггкгбая облзсть плоскости ш, в которой невозможен обход по ззмкнутому контуру точек разветвления ш = О и ш = со. Такои областью является, например, вся плоскость ы с раарезом вдоль положительноИ части депствительноп осн. При этом берегз разреза являются границей данноп области, так что при непрерывном движении внутри области мы не можем пересекать разрез (границу области). Если считать, что аргумент точек ие для первой ветви иззгеняется в пределах О ( агИ ге < 2п, а для второй — в пределах 2п ( аг)(ш < ( 4п, то первая ветвь функции г = р'ш производит отображение плоскости с разрезом на верхшою полуплоскость г, а вторая вепгь данной функции отображает ту же область на нижнюю полунлоскость г.

Аналогичным обрззом легко показать, что функция тг = г" (и ) О— 2ле целое число) нроизводнт отображение любого сектора — ~ аге гч" и ( ' (гг=О, 1, ..., п — 1) плоскости г нз полную плоскость ш, 2л (/г+ 1) разрезанную по положительной части действительной оси. Тем самым эти секторы представляют собоИ области однолистности данноп функл цни.

Обратная функция г = )' са является многозначноИ, и точки я=О и м =СО представлягот собой ее точки разветвления. ф 4. Дифференцирование функции комплексной переменной 1. Определение. Условия Коши — Римана. До сих пор теория функции комплексноИ переменной строилась в полной зналогии с теорией функции деиствительнои переменной.

Однако понятие диф- ференцируемоИ функции комплексноИ переменной, введенное по аналогии с соответствующим понятием теории функции действительной иеременнои, приводит к существенным различиям. Дадим определение пронзводноИ функции комплексной переменноя. Пусть в области у комплексной плоскости е задана фу>огцня у( ). Если дли лгочки гч е= ии СУгаегтвггепг пРи Аг -+ О пРедел (пРедельнае значение) разностного отношении 1(г,+дг) — ) (г,) дг диФФЕРенциРОВАние Функции комплекснои пеРеменнОЙ З1 >по этот предел называется производной функции 1 (а) по ко.а>плексной' переменной з в то оке зо гг обозна гаетгя 7'( о), >и. е. ! (х, + Лг) — [ (га) л -о 2 (1.1 6) футсвия 1(х) в этом случае называется дифференцируемой в точке Подгеркием еще раз, что если сущесгвует предел(1.16),то он не зависит от способа стремления Лв к нулго, т.

е. от способа приближения гочки з> во+Лз к точке св Требование дифференцпруемости функции комплексной переменной в точке ео накладывает весьма важные условия на поведение действительноЙ и мнилгой частей этой г)>ункцигг в окрестности точки (х,, у,). Эти условия известны под названием условий Коши — Римана, которые могут быть сформулировзны в виде следующих теорем. Теорема 13. Если функция гг(а) = и(х, у)+го(х, у) дифференцлруел>а в то >ке хо =-х,+гу„то в >почке(х„, у,) существуют частные производные функций и(х, у) и о(х, у) по переменным х, у, причем и.иеют лгес>по следую>цие соотношения о) дгг (хаа, уа) до (ха уа) ди (ха уа) до (ха, у„) (1 17 дх ду ' ду дх Показательство.

По условию теоремы существует предел (1.16), не зависящий от способа стремления Лх к пулю. Г[оложггог Лз.=-Лх и рассмотрим выражение ° 1 и (ха+г[х Уа) и (ха Уа) ° 1, о(ха+Лх, Уа) — о(ха, у„) +г 1[ш лх-о лх-о Лх Из существовзния предела комплексного выражения следует супгествование пределов его действительной и мнимой чзстсй. Поэтому в точке х,, уо существуют частные производные по х функций и (х, у) н о(х, у)и имеет место формула .Г (ео) = г>х(хо Уо)+го~(хо Уо).

') Соотношения (1.17) обычно и называются соотношениями Коши — Римана. Полагая Ла =[Лу, находим У'(-о) =- =- — 1 Иш и(ха. уа+Лу) — и(ха, уа) . Р(х„, у,+Лу) — о(х„, у,) Л + 1!гп лу-о у ло-о Л у [гг> (хо Уо) + оу (хо Уо). Сравнивая дие последние формулы, убеждаемся в справедливости соотношений (1.17). Теорема 1.4.

Если в точке (х,, у,) функа,ии и(х, у) и и(х, у) дифференцируемог, а их частные производные связаны соотногиения.ии (1.17), то функцгт 1"(а) =.- и (х, у)+ >о(х, у) являепгся овггкгпш комплнксггоп гтгз емшпгоп 1гл. г дифференцпруетоп функцггей ко.ип.гсксной пере. пенной г в точке го .== хо ге гуо. До каза ге л ь с г в о. По определешно двфферепцируемосги о'), приращения функциИ п(х, у) и о(х, у) в окрестности точки (хо, уо) могут быль записаны в виде и(хо+Лх, Уо+ЛУ) — п(хо, У.)= = гг«(х,, У,) Лх + по (х„У,) ЛУ + 9 (х, У), о(хо+ Л-» Уо 1 Лу) о(хо Уо) =— е п«(х„уо)Лх+о„(хо,уо)ЛУ+Ч(х,у), (1.18) где фУшкцнн 9 (х, У) и г) (х, У) с гРемЯтси к нУлю пРн х -ь хо, у — г-уо быстрее, чем Лх и Лу 1пп — ' — = — О, 1пп ' = О, с(х, о) . г1(х, у) (,л«, о ~Лг/ ' .д,, о /Лг, ! Лг' ,= )г(Лх)'-',-(Лу)' '.

Составим теперь разностное отношение г('о+ ) — ', где Лг=Лх+гЛУ, и используя (1.18) и (1.17), преЛг образуем его к виду ! (го+Лг) — 1 (го) Лх 1-гзу гйх — Лу п«(хо Уо) Лх;Л + о«(хш Уо)Л; Л + С(х, у)-гп1(х, у] . Ь(г) + 'Л„,ЛУ ' =- и.(хо, дго)+!о«(хо, Уо) + лг Я(г) =-с(х, у)+Л)(х, у)).

Заметим, что при стремлении Лг к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к пулю, а первые осгаюгся неизменными. Поэтому сущее.гвует предел 1пп ' ' =- г" (го), что и доказывает а -о днфференцируемосгь фупкцчи у(г) в точке -,. Если функции у (г) длфференцируелга во всех точках некоторой обласпш У, а ее производная непрерывна в этой области, то функция у'(г) наэываетсн аналилтческой функциеа *о) в области А Как известно ооо), непрерывность частных производных является достаточным условием существования первого дифференциала (диффе- ") См. вып. 1, стр. 479.

"*) 11риведеовое здесь определение аналитической функции отличается от обычно принятого в литературе дополнительным требованием непрерывности производной. Зто сделано с целью облегчения последующих доказательств. Кроме того, как зто следует из более подробного исследования, математическое содержание понятия аналгпической функции при этом ие меняется. В частноств, можно показать, что прн дополнительном требовании непрерывности функции Г(г) в области э выполнение условий Коши — Римана (1.17) всюду в этой области является необходимым и достаточным для аналитичности )(г) и непрерывности всех ее производных в области .'э. См, подробнее А. РК М а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, М., Гостехиздат, 19оо, '**) См.

вып. 1, стр. 483. ч И дььоое внцияовлння оьнкцин комплекшюгь пвявмецнои ренцируемости) функции многих переменных. Поэтому из теореьь 1.3 и 1 ч следует, что необходилвы.и и достаточным условиелг аналияптноста Функции 7(г) =-и(х, у)+го(х, у) в обласгпп .а является суьлсствование в этой области непрерывных часгыных производных гсяьньсцьгй и(х, у) и о(х, у), связанных соотношениялги Коши— Рилгана (1.17).