А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 9

! ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ й 5. Интеграл по комплексной переменной 1. Основные свойства. Пусть на комплексной плоскости а задана кусочно-гладкая кривая С конечпои длины Е, Испольауя параметрическое предсгавлепие кривои С, зададим координаты К,т) каждой ее точки уравнениями $=-5(!), а! =у!(!), где Я(!) и т((!) — кусочно- гладкие функции действительного параметра й изменяющегося в пределах и==!:=() (сс и Р могут соответственно принял!ать значения:! ОО), удовлетворявшие условию я' (!)!а+ !л)' (!)1л ~ О. Задание координат 8, т) точек этой кривой С эквивалентно заданию комплекснои функ!Или ь(!)=Е(1)+!т!(!) действительной переменной Е Пусть в каждой точке и кривой С' определено значение функции 7(е).

Важным понятием в теории функции комплексной переменной являелся понятие интеграла от функции 7(е) по кривой С. Это понятие вводится следующим образом. Разобьем кривую С иа и часчичных дуг точками деления с„ил, Ьь ..., Ь„соогветствуюлгцилил нозрастающим значениям параметра ! ((,,л ) 1;). Обозначим ель! = ь! — ь; л и составим сумму (!.33) где ь7 †произвольн точка 1-и частичной дуги. Если прп щах!Л~! — ьО существует предел сул.ьг (!.33), не зависящий нп от способа разбиения кривой С, нп овг вллбора точек ь7, то тпот предел называется ннтегралолг от функции 7(ь) по кривой С п обозначается (1.34) )Геествительная н лщпмая части О'(~ь ~7) предстзвляют собои интегральные суммы криволинейных интегралов второго рода ) иди — йЧ с и ~ийт!+осЯ с (1.33) сооплетственпо*), откуда и следует высказанное утверждение.

Под- ') Определение криволинейных интегралов и теорему существования си. выя, 2, сгр. !60. Вопрос существования интеграла (1.34) сводится к вопросу о существовании некоторых криволинейных интегралов от действительной и и мнимои о чашеи фущсции Дг). В самом деле, записав 7(Е,") =- = и(Р;")+!О(Р7), еле;=слал+!7лл)ь где Р;(с,*', л!7) — точка кривой С па плоскости х, у, мы лложем представить выражение (1.33) в виде л и 5(~п ~7)= ~„(и(Р7)Л3! — О(Р7)йт)Д+1~',(н(Р7)ЛЧ;+о(Р7)!Ц!). в т! интеГРлл пО комплексиОЙ пГРехгенной 39 г) Г" (~) г(Ь = ~ и г($ — э й~ + 1 ~ и г(т) + о г(~.

(1.36) Это соопщшение может само служить опреателенисм интеграла от функнии у(г) по кривой С. Из него следует ряд свойств, являющихся очевидным следствием соответствующих свойств криволинейных интегралов: !. — с'г. 1.37 ).у(~) ~ $ю . ( ) лв вл 2. ~Л~)(1+ ~УС)К= ~ У(1)(1 (1.33) с, с, с,+са 3. Если а — комплексная постоянная, то ~ ау Д) г(» = а $ 7 (е) г(е.

с с 4, ~(Л(,")+У,(Р) (," —.~ЛР,(~+~А(ч) (~. (1.46) с с с д. ~~У(1) %~~-=~,У(1) ь, с с где г(з — дифференциал длины дуги кривой С, а интеграл, стоящий справа, является криволинейным интегралом первого рода. ь(сйствгн тельно, в силу неравенства треугольника имеем и 1- ~ ~ Я,)г(~~ =- 1нн ~~ .У(Ц)гь'и ( ыах Лг. — 0 (1.39) (1.41) а 11щ ~Д~ ~)Д(~;) ~ Кг, (= ~ ~ У'~) ( г(а ааа» ьгг~ Ог ~ г. Если шах ~ г"(ч)! = гИ и Š— длина дуги кривой С, то сьс )У(.") (~)= И (.. (1.42) с 6.

Имеет место следующая формула замены переменной гштегргн ровання: ~У()".-=~УМ(1)! р'(')(!, (1.43) ~еркнеаг, что для существования криволинейных интегралов (1,Зо), а тем самым и интеграла (1.34) но коашлексной переменной достаточно лишь кусочной непрергявносгга функния и и о действительных переменных. Это означает, что интеграл (1.34) существует и в случае неаналнтической функнип у(е), если эта функния является кусочно- непрерывной. И гак, интеграл (1.34) представим в виде Функции комплвксноп псиемвннол 1гл.

! где г=гр(Й) — зналитпческая функция Ч, устанавливающая взаимно- однозначное соответствие между кривыми С и Г. В частности, ) у (з) г(».=- ) Дт (1)) а' (!) ~)г, с а (1.44) где =.=«(1) есть параметрическое задание кривой С, а а(сг) и а(р) суть начальная и конечная точки последпеИ. П р и и е р. В качестве существешюго для дальпеишего примера вычисления интеграла по комплексной переменноИ рассмотрим пнге- грал (1,45) с и где кривая С„предсгавляет собой окружность радиуса р с центрои в точке гэ, обходимую против часовой стрелки. Воспользовавшись параметрической формоИ задания кривой С„: ", = э+ реев (0(ер( = 2п), получим г'= т л; — = г ~ йр=2п!.

р сре'чепэ ре ч (1.46) ") См, вып, 2, стр. 358. Отсюда следует, что интеграл (1.45) ~е зависит нн от р, ни от За не ч а и не. Формула (1.36), в силу которой игпеграл по комплеьснои переменнои представляет соооИ комплексное число, деиствигельпэя и мнимая части которого являются криволинейными иптеграламп второго рода, а также соотношение (1Л4) позволяюг непосредственно перенести поняпее несобственного интеграла от фупкпин деиствительнои перемепнои в) на случаИ комплексной перемепнои.

В нашем курсе мы будем главным образом иметь дело с несобственными ипгеграламп первого рода — ингеграламп по бескопечпои крпвои С. !!есобствепныи интеграл первого рода по бесконечнои крнвои С пзаывается сходящимся, если существует предел последовательности интегРалов ~ У"(Ь)г(ье по любой последовательности конечных кРис„ вых С„, составлякгц~их чэсть С, при С„стремягцихся к С, причем этот предел пе зависит от выбора последовательности (Се). Если лишь при определенном выборе последовательности (С„) существует предел последовагельносги интегралов ) г(Й) е(~, то несобсавенныи интеграл с л называется сходящимся в смысле главного значения. В дальнеишем мы будем рассматрш~ать интегралы от функции, аналитических в пекоторои ограниченнои области, причем нас в основном будет интересовать тот случаи, когда грашщеи области является пнтеГРАл пО комплекснОЙ пеРеменноп кусочно-гладкая замкнутая кривая, не имею цая самопересечений.

Кусо ьпо-гладкую замкнутую кривую, не плгеющую точек самопересечеяин, будем называть залскпутым яоптуролг. Если функция (г) (а.=.г=р) задает параметрически замкнутый контур, то она утовлетворяет условию» (гг) =,6» ((ь) прн гь =,и сь, за исключением случая г',. —.— сс, (ь = р. Интеграл (1.34) по замкнутому контуру часто называется контурным интегралом. 2. Теорема Коши. Поскольку знзчение контурного интеграла зависит ог направления интегрировангигц условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, осгаегся слева ог направления движения.

Интегрнрование в положительном направлении будем обозначать символом ~ Т(»)с(» сь или просто ~ Т(») а», интегрирование в отрицательнои направлении— с символом ~ г (») гг». Свойства интегралов по замкнутому контуру от функций, апалитп юскпх внутри области, ограниченной данным контуром, во многом определяются известными свойствами криволинейных интегралов второго рода"). Как извесзноьв), для криволинейных интегралов по замкнутому контуру имеет место следующее утверждение: если функции Р(х, у) и Я(х, у) непрерывны в эахпчпупюй области 3, ограниченной кусо ьно-гладкитн контура.и С, а их частные производные первого порядка яепрерыеньс е .ех, пго (1.47) Перейдем теперь к доказательству основного положения данного параграфа.

Теорема глз (теорема згтоиш). Пусть в односвязной области 3 задана однозначнан аналитическая функция Д(»). Тогда интеграл от этой функции Т(») по любо.иу залгкнуто.иу контуру Г, целиком лежаггЬему в области .зс, равен нулю. До каза те льс гв о. Согласно формуле (!.36) ~ /(~) с(~ = — ) и г(х — о бу + 1 ~ о йх + и йу. г 'г г *) См. вып. 2, стр. 168.

Напомним, что по принятому нами определению кои гуры интегрирования всегда являются кусочно-гладкиии правыми. " ) В вып. 2 зта теорема доказана при дополнительном условии ограиимипости частных производных функций Р и Я в области У, введенном с полью облегчения доказательства. В случае кусочно-гладкои границы зто условие может быть снято с поьгошью дополнительного продольного перехода. ЬАы здесь ие будем приводить подробное доказательство, а ограничимся лишь данным замечанием.

42 Функции комплекснон пвпеменноя 1гл. 1 Так как функция У(г) — аналитическая всюду внутри контура Г, то функции и(х, у) и о(х, у) в области, ограниченной этим кон~уром, обладают непрерывными частными производными первого порядка. Поэтому к криволинейным интегралам, стоящим в правой части последнего равенства, можно применить формулу (1.47). Кроме того, частные производные функциИ и(х, у) и о(х, у) связаны соотношениями Коши — Римана. Поэтому ~ о ах + и ау = ~ ~ ( д- - — — ~ ах ау = О, г Я что и доказывает утверждение теоремы. Итак, теорема 1.б устанавливает факт равенства нулю интеграла от аналитической функции по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в односвязной области ее аналитичности. При дополнительном условии непрерывности функш1и в замкнутой области данное утверждение справедливо и для замкнутого контура, являющегося границеИ области аналитичности.

Последнее утверждение фактически является несколько видоизмененной формулировкой теоремы Коши, но ввиду его важности для практических приложении мы выделим это утверждение в отдельную теорему. Теорема 16 (вторая формулировка теоремы Коши). Если функция Д(г) является аналитической функцией и односепзной области 3, ограниченной кусочно-гладким контуром С, и непрерывна в замкнутой облапил У, то интеграл от функции 1(г) по границе С области 3 равен нулю: ').г ©йь'=б. с Теорема Коши устанавливает одно из основных свойств аналитической функции комплексной переменной.