А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 6

е. если и(х, у) и о(х, у) суть непрерывные функции по совокупности переменных х, у в неко~орой точке (х„, у„), то г(«)=и(х, у)+го(х, у) является функцией комплексной переменной г = х + (у, непрерывной и точке г„ = х, + + гу,„ 1(аиные угнерждепия являются следствием того, что *) Если точка го является изолированной точкой множества Е (т, е, существует такаи з окрестность точки з,, в которой нет других точек многкества Е), то функция 1(г), по определению, считается непрерывной в точке «о. ") Заметим, что данные определения понятая непрерывности функции 1(з) в точке «о справедливы ие только в случае коночной точки «,, но и в случае бесконечно удаленной тггчкгг зо=ж.

При этом под предельным значением функции 1(«) в точке оэ, в силу определения иа стр. 24, надо понимать предел последовательности (1(«„) 1, где («„1 †люб неограниченно возрастающая последовательность. Во втором определении непрерывности условие ~ « †го ' ~ б подо заменить на угчоввс « ~ ) (7. **") Определение непрерывности функции двух действительных переменных по совокупности переменных см. вып, 1, стр. 471.

26 !ГЛ. 1 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЛ ПЕРЕЛ1ЕННОИ' необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел являешься схоцимость последонательностей их действительных и мшы1ых юсгей. Это почволяег перенести на функции комплексной переменной основные снопе!на непрерывных функций двух действительных переменных а). Так, суммз н произведение двух функций комплексной переменной Л(7) и 77(г), непрерывных в области 3, также являются непрерывнылш функциями в этой области; фущниия гр (г) = = — непрерывна в тех точках области Ю, где А(г) 4=(), функ- 77 (7) 1г (г) пня г (г), непрерывная на замкнутом множестве Ё, ограни 1ена по модулю на Е и т.

д. 3. Примеры. Рзссл1отрим несколько простейших примеров. 1. В качестве первого примера функции комплексной переменной рассмотрим линейную функцию 7(г) =ш = а +Ь. Здесь а и Ь вЂ” заданные комплексные постоянные. Будем считать, что а:ф О, так как в противном случае функция (1.!2) ставит в соответствие всем кочкам г комплексной плоскости одно и го же комплексное число Ь. Функция (!.12) определена при всех значениях независимой переменной г.

Областью ее задания янляется полная "') комплексная плоскость г. Каждолгу значению г соогветс1вуег только одно значение ш, т. е. 7'(7) — однозначная функция -. О ели!дно, ! Ь обратная функция гр(пг) == = . ю —. =- алан+ Ь, обладает темп а а же свойствами, чго и Г(7).

Тем самым ~(7) — одполисгная функция г нз полной комплексной плоскости, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между плоскостями 7 и ш. В силу непрерывности действ1пельной и мнимой часги 7(г) по совокупности переменных х, у эта функция непрерывна на всей комплексной плоскости (при любых конечных знзчениях х, у). Чтобы выяснить геометрический смысл данного соответствия, рассмотрим вспомогательную функцию Е= аз.

На основании правила умножения комплексных чисел имеем й=' а'., 'г' (соз(агйа+агег)+1 з(п(ага а+ага 7)). Отсюда следует (ь:,=- а> ~г/, агй~=агйг+агйа. То есть функция й = аг любому комплекаюму числу г ставит в соответствие комплексное число й, модуль которого в ~ а ~ раз больше модуля ") См. вып. 1, стр. 474. **] В дальнейшем мы будем говорить, что функция комплексной переменной Г (г) определена на всей комплексной плоскости, если она определена для всех значений комплексного аргумента г, ограниченных по модулю, и будем говорить, что 7'(7) определена на полнои комплексной плоскости, если она задана и цри г=ж. В нагнем примере 7(со) = со, 27 понятие эвикции.

ивпрнвьгвиость З з1 (1.1З) Зтз функция также определена па полной комплексной плоскости, причем у (О) = сиз и у"(сэ) =-О. Как и в первом примере, устанавливаем, что у'( ) является однозначнои и однолистпои функцией г, отображаюпьей полную плоскость з на полную плоскосгь ю.

Легко установп1ь, что функция г'(з) являегся непрерывной па полной комплексной плоскости, за исключением точки з =- О. Для геолгетрнческой интерпретации данной функции воспользуемся показательной формой записи комплексных чисел: щ=ге'е= — — е гч(г=регч). Это рзвенство Р 1 озпзчаег, чго аго за= - — агя:, ю, =- — Полученные соотношения ь ~ озволиот рассматривать отображение, осуществляемое данной функцией, как совокупность двух отображений; "=й(з), где'~)= з(, 1 агд~= — агцз, и м= — ю(й), где 'ю;= —, агйы=агог. Первое отображение имеет геометрическнй смысл зеркального отражения относительно действительной оси, при котором точка г переходит точку г, а втогое — инверсии а) в единичном круге, переводящей 1 ~очку з в точку щ= —,— (рпс.

1.б, 1.6). Прн этом точки плоскости з, лежащие впе единичного круга, переходят в гочки, лежагцие ннутри единичного круга плоскости пг, и наоборот. 3. Рассмогрнм функцикз " =.у(з) = =' (1.14) :-'га функция является одиозна пюй функцией комплексной переменной з, определенной па полной комплексной плоскости з. Для изучения ') Инверсией (нлн преобразованнезг обратных радиусов) в круге радиуса а называется такое преобразованне, прн котором каждой точке внутри (вне) круга сщвятся в соответствие точка вне (внутри) круга, ле>нашая на луче, проведенном нз центра круга в данную точку так, что произведение расстояний от зтнх точен до центра круга равно квадрату радиуса круга.

а аргумент получается из аргумента прибавлением постоянно~о слагаемого — аргумента комплексного числа хь Геометрический смысл этого преобразования очевиден. подобное рзсгяжение плоскости з я ' а1 раз и поворот этой плоскости кзк целого вокруг точки = О па угол агйг и. Возвращаясь к функции (1.12), которую теперь можно записать в ниде тгз=й-( Ь, видим, что геометрический смысл последне~о преобразовзния состоит в сдвиге плоскосги з, характеризуемом вектором Ь. Итак, линейная функция преобразует комплексную плоскость в и комплексную плоскость тв путем подобного растяжения, поворота и сдвига. 2.

В ка1естне следующего примерз рассмотрим фупкциго =-у( ) = —,'- 28 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕХ1ЕННОгя !Гл, 1 ее свойств опять удобно представить комплексные числа в показательной форме: г =ре"Р, и= гегФ= раегяч. Отсюда легко заключ1пь, что точки плоскости а, лежащие на луче, составляннцем угол с положительным направлением действигельной осн, переходят в точки плоскости пг, лежащие на луче, составляющем с положительным направлением действительной оси угол 21р. !!оэтому точкам = и — з, аргументы которых различаются па и, а модули одинаковы, соответствует одно и то же значение щ(егск= — соя 2п+гзш 2п =1).

Тем самым обратная функция оказывается многозначной. Рассмотрим подробнее отображение, осуществляемое функцией гве=еа. Верхняя полуплоскость г вместе с действительной осью переходит в полную Рвс. !.6. Рис. 1.5. плоскость гп. Положим для определенности, что в верхней полу- плоскости аргумент г заключен в пределах О ( 1р ( п. Тогда различным точкам области О~гр~п соответсгвуют различные значения гп. Такая область изменения независимой переменной, различным точкам которой соответствуют различные значения функции, называется областью одполистности функции. В предыдущих примерах областью однолистности являлась вся область задания функции; в данном случае для функции гв = за, областью задания которой является полная комплексная плоскость з, областью однолнстносги служит полуплоскосгь.

Отметим, что в рассматриваемом случае границы области одполистности — лучи гр =- О и гр = л — переходят в одну и ту же прямую — положительную часть действительной оси плоскости ец Продолжая паши рассмотрения, легко показзтгь что функция щ ==.Еа производит отображение и нижней полуплоскости вместе с действительной осью на полную плоскость гп. Тем самым обратная функция з = )г гв, (1. 15) определенная на полной плоскости щ, уже пе является однозначной— одной и той же точке плоскости гв соогветствуют две различные точки плоскости яе одпз — в верхней, другая — в нижней полуплоскостн.

гПобы изучить отображение, осуществляемое дзппой функцией, воспользуемся опять покззательной формой записи .комплекаюго 29 понятие сункц>аи. непРеРывность о а! числа: гв = гога. Тогда, согласно правилу изнлечення корня пз комплексного числа, мы получаем два различных значения функции гя> -1- «лц «(ш): «о='г>'ге (>> = 0,1) (заметим, что агь «> — аге «о=. и).

Рассмотрим на плоскости тв некоторую замкнутую кривун> С, не имеющую самопересечений. Фиксируем па ней гонгу св„которой припишем определенное значение аргу>>епта ф,, найдем «о(п>о), «,(юо) и будем следить за изменением функций «»(тз) н «,(ш) при непрерывном дни>кении точки то> по кривой С. Аргумент точки ы на кривой С изменяется непрерывно. Поэтому, как легко видеть, функции «о(п>) и «>(гп) являются непрерывпымн функциями гп па кривой С. При этом возможны два различных случая. В первом случае кривая С не содержит внутри точку п>=0.

Тогда после обхода кривой С аргул>ент точки шо вернется к первопачалыюму значению аге гпо = — ф„. Следовательно, и значения функций, (и>) и «, (гв) в точке и> = ш, после обхода кривой С будут равны их первоначальным значениям. Тем самым па кривой С в этом случае определены две различные однозначные функции комплексной переменной ш: г>о — — (9+ ял> „= '1> ге о и «, = '1~ ге - '' (ф изменяется непрерывно на кривой С, начиная от значения фо в точке юо).