А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 8

Понятие аналитической функпии является основным понятием теории функций комплексной переменной в силу особов роли, которую пграег класс аиалиьическпх фупкпиИ как при решении многочисленных математических проблем, так и при различных приложениях функция комплексной переменной в смежных областях естеспюзнаппя. Соотношения Коши — Римана часто используются при исследовании различных свойств аналитических функций.

При этом равенсгва (1.17) не являются единственно возможной формой соотношении Копьи — Римана. Как может усгзповить сам читзгель, деиствительнзя и мнимая часть аналитическои функции г(г)=-и(р, га)+1в(р, ьр) комплексной переменной г = речь связаны соотношениямьи да 1 дв 1 ди оо др' гьдьа' рдьь др' (1.19) где р и гр — полярные координаты точки (х, у). Лнзлогичным образом легко установить, что модуль и аргумеьп аналити'ьеской функции Х(с) =Й(х, у) егч 1'вь связаны соотношениями др К даь др дць дх ду ' ду дх ' (1.20) Отметим также, что соотношения (1.17) позволяют получить различные ььььрамгеньья д:и производной функпии комплексной переменной У'(г) =ил(х, у)+и,(х, у)=-оч(х, у)+го,(х, у)= = и„(х, у) — гггг(х, у) =-ог(х, у) — (ггь. (х, у). (1.21) При этом каждыя раз производная 7" (г) выражается через частные производные функпий и(х, у) и о(х, у).

2. Свойства аналитических функций. Определение производной (1.16) позволяет перенести нз аналитические функции комплексной переььеььь<ои ряд свойств дифференцируемых функции деисгвигельной переменной. 1, Если функция у"(г) является анзлитической в области 5, то опа непрерывна в этой области. 2. Если ут(г) ьь,5г(г) суть аналитические функции в области х~, го их сумльа и произведение также являются аналигическильи функциями в области У, а фупкцьт гр (г) = — является аналитической функ- П (г) (г (г) цпей всюду, где Л(г) ~(Ь.

3. Если иь †.-Дг) является аналитической фупкцпеа в области 5 плоскости комплексной переменной г, причем в области ее 34 1гл. ! ФУНКЦИИ КОЛ1ПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ значений 6 на плоскости ш определена аналитическая функция ~ = гр (ш), то функция Г (г) = !р ( Г (г)) является аналитической функцией комплексной переменной г в области А 4. Если тв =Дг) является аналитической функцией в области У, причем ( Г'(г)) ~ О в окрестности некоторой точки ге ее у, то в окрестности точки ш, =Д(ге) области О значений функции Х(г) определена обратная функция г = гр(ш), являю!даяся аналитической функцией комплексной переменной гв. При этом имеет место соотношение Г (ге) = 1 !р' (!ее) Г(окавательство.

1(ля существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения п=и(х, у) и о = о(х, у) можно было разрешить относительно х, у в окрестности точки гпе. Для этого достаточно*), чтобы в окрестности точки ге выполнялось условие ! пх пу — „, „=н=о. 'ох пу В силу соотношений (1.17) это условие можно переписать в виде не+не ~ О.

Но при условии 17'(г) ( ~ О последнее имеет место. Тел! самым существование обратной функции г=гр(ш) доказано. Состабг 1 вив ревностное отношение — = — —, легко доказать сушествовзние о!е !не ' ог и непРеРывность пРоизводной !Р'(ые) пРи Условии 1У'(ге) ! эя О. б. Пусть в области У плоскости х, у задана функция и(х, у), являющаяся действительной частью аналитической функции Дг). !'огда мнимая часть этой функции определяется с то шостью до аддитивной постоянной. Действительно, в силу условий Коши — Римана по заданной функции и(х,у) однозначно определяется полный дифференциал неизвестной функции о(х, у): гЬ = о„г(х + и 4у = — иуг(х + п„г7у„ что и доказывзет высказанное утверждение *е). 6.

ГГусть функция Г"(г) является аналитической в области У. Рассмо~рим в соответствующей области плоскости х, у семейства кривых и(х, у)=С и о(х, у)=С, представляющие собой линни уровнеи действительной и мнимой частей функции г'(г). С помощью соот- ношениИ (1.17) легко показать, что во всех точках данной области ега!1 и егаг) о = пхо ы капу — — — и„и„+ и„п = О. Так как гРадиент оР гогонален линии уровня, то отсюда следует, что семейства кривых и(х, у)=С и о(х, у)=С взаимно ортогональны. ") Об условиях существования неявных функций см.

вып. 1, стр, 5ЗЕ. *') Определение функции двух действительных переменных по ее полному дифференциалу см. вып. 2, стр, 174, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 35 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной. Пусть,г(») явлнется аналитическои функцией в некоторои области У. Выберем какую-либо точку »ее=Ф и проведем через нее произвольную Ф) кривую уь целиколг лежашую в Ф". Функция Д(») пропзнодит отображение области У комплексной плоскости » на некоторую область 6 комплексной плоскости ю. Пусть точка », переходиг в точкУ ц~м а кРиваЯ У, — в пРоходЯщУю чеРез юе кРивУю Гт (рис. 1.7). По услонию существует производная Г'(») функции те =)'( ) в точке е. Предположим, что „Г(»е) ь О, и представим комплексное число Г'(»е) в показательной форме"*): у' (»,) = П гп — = Гге"". (1.22) лг об» Выберем такой способ стремления Л» к нулю, прн котором точки »= -,+Л»лежат на кривой уц Очевидно, соответствукчцие им точки Рнс.

1.7. ее=-еле+Лги лежат на кривой Г,. Комплексные числа Л» и Лю изобрзжаются векторами секущих к кривым ул и Г, соответственно. Заметим, что аге Л» и аге Лю имеют геометрическии смысл углов соогветсгвующих векторов с положительными напранлениямн осей х и и, а ,'Л»~ и!Лю) представляют собой длины этих векторов. Г!ри Л -ьО векторы секущих переходят в векторы касательных к соответслвующим кривым. Из (1.22) следует, что и= агп Г'(»е) =- Вгп агЕЛю — !!пт агд Л» =с(зт — грц (1.23) ле-о ль-о т.

е. аргумент я производной имеет геометрический смысл разности угла Фл вектора касагельнои к кривой Г, в точке тпе с осью и и угла гр, нектара касательной к кривой у, в точке»„с осью х (рис. 1.7), ") Здесь н в дальнейшем, если зто не будет оговорено особо, под пронзвольнод кривой мы понимаем гладкую кривую. *") Условна Г (ге) эь О необходимо для возможности такого представления, оэнкции комплексном пвгвмвннои 1гл. г Так как производная г'(ев) не зависит от способа предельного перехода, то эга разносгь будет тоИ же и для любая другов кривОй, про- ходягцеИ через тогку з, (хотя значения самих углов Фг н гр, могут измениться). Отсюда следует, что нри отображении, осущеотвляелгом аналитическая функцией г (з), удовлетворжощеи условию г (» ) э» О, угол ф —.— грг — грг мегкду любымн кривыми уя, уг, нересекзющимцся в точке з„, равен углу Ф=Фа — Ф, между гих обрззамн (крнвыми Гз и Г,), пересекающимися в точке шь =- г" (са).

Заметим, что при этом сохраняегся не только абсолкиная величина углов между кривыми уя у, и их образами, но и нацранление углов. Это своиство данного огображения носит название свойства сохранения углов. Авалогично из соотношения (1.22) получим 1дм' й = ~у'(з )', = Пи (1,24) То есть с точностью до величин более высокого порядка малосги имев~ место равенство 1бго'=й1гд ~. Заметим, что и это соотношение не ззвисит от выборз кривая у,. Геометрический смысл этого соотношения состоит в том, что при отобрзжеяии, осуществляемом знзлитнческоИ функциеИ, удовлетворяюгцеИ условию г'(з„) ~ О, бесконечно мзлые линеяные элементы преобразуются подобным обрззом, причем !у'(е,); определяет коэффициент цреобрззовзння подобия. Зто своиство данного отображения носиг нззванне свойспгва постоянспгва растяженпя. Отобразкенле окресптоста точка зв на окрестноспгь точка ш, осугкествлиежое аналнпщческой функцггей ш=у(з) и обладающее в пгочке за свойство.и сохранения углов и постоянсгпво»м распигженнй, называелгся конфор.ггнылг огпображенгге.гг.

При конформном огобрзжении окрестности точки за на окресгность точки ы', бесконечно малые треугольники с вершннои в ~очке з, преобразуются в подобные им бесконечно малые греугольники с вершиной в точке ша. Более подробное изложение основных понятии теории конг)>орггного отображения будет дано в гл. б. 4. Примеры. В заклю чение данного нарзграфа отыетггтг, что, как легко проверить, линейная функция и функция ш = — за, введенные в предыдущем параграфе, являются анзлигическими функциями на ! всея комнлексноИ плоскости; функция ш —. — является аналитической г всгоду, за исклгоченнем тогкц -=О.

Тзк как определение пронзнодгюя (1.1б) аналогично онределешию производная функции одноИ деИ- сгвнгельноИ цеременноИ, то для цроизггодгггях дзнных функциИ комнлексцои переменной имеют место выражения; (ы~+ г()' =, Ф)' =- 2», — а. (1.2б) Рзссгютрим функцию комплексной переменной ш = е', широко првменяющуюся в приложениях. Определим эту функцию, задав ч а! диээаг~вниивовлние Фхмкцгги комплексном пшглиеннон 37 зналигические выражения ее деиствительнои и мпимои частеи: и (Х У) = Ек СО5У П(Х У) = Ех а!ПУ (1.26) Па деиствительпои оси эта функция совпадаег с деиствнтельнои фупкциеИ ех деИствительного аргумента х и, как будет показано в дальнеишем, в комплексной области сохраняет основные своиства экспоненты.

Поэтому для пее естественно сохранить обозначение е'=-ех(сову+!а!пу) = ех е'>'. (1.27) Покажем, что е' является апалптическои фупкниеИ па всей комплексиои плоскости г. !!ля этого проверим выполнение условиИ Еошн — Римана (1Л7) ди „ гЪ ди , ди дх - ду' ду дх =-ехсоау= --, — -=- — еха!ну=в и заметим, что все производные в этих равенсгвах непрерывны по совокупности аргументов на всея плоскосги х, у. Проводя вычисление производной е' по формулам (1.21), получзем (е')' =и„+!п„=е. (сову+!вшу)=е. Аггалогнчио (е"')' =- сге"', (1.28) где и †произвольн комплексная постоянная. Рассмотрим еще две функции 7т(г) и Яг), определенные с помощью соотношении 2( + !сак легко видеть, для депствнтельных значешгп комплексноИ переменнои г=-х эти функции совпадакат с снах п а!пх; поэтому для пих естественно сохранить прежние обознзчения. В дальнеишем мы подробно изучим свойства этих функции, а сеичас лишь отметим, по, как сложные функции от аналитической функции, созе и а!п являкнся аналитическими на всей комплексной плоскости.

Пепосредсгвеннои проверкой легко убедиться, что (соаз)'= — а!па. Лействигельно, с помощщо (1.28) получим (1.30) Аналогично прямое вычисление даег Л (а) +Л (е) = — 1, так как согласно правилу возведения комплексного числа в целую степень из формулы (1.27) получим (еиг)я еач (1.32) 38 !гл.