А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного

А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ из серии КУРС ВЫС1ПЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией А. Н ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА, А. Г. СВЕШНИКОВА ВЫПУСК 4 ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов серии 8 Коши — Римана (30). Предисловие к третьему изданию 9 2. Свойства аналитических Предисловие к первому изданию 10 функций (33). Введение 11 3. Геометрический смысл Глава 1. Комплексная производной функции переменная и функции комплексной переменной (35). комплексной переменной 4. Примеры (36).

8 1. Комплексное число и 12 9 5. Интеграл по комплексной действия над комплексными переменной числами 1. Основные свойства (38). 1. Понятие комплексного числа 2. Теорема Коши (41). (12). 3. Неопределенный интеграл 2. Действия над комплексными (43). числами (12).

8 б. Интеграл Коши 3. Геометрическая 1. Вывод формулы Коши (4б). интерпретация комплексных 2. Следствия из формулы Коши чисел (14). (48). 4. Извлечение корня из 3. Принцип максимума модуля комплексного числа (15). аналитической функции (49). 8 2. Предел последовательности 17 З 7. Интегралы, зависящие от комплексных чисел параметра 1.

Определение сходящейся 1. Аналитическая зависимость от последовательности (17). параметра (51). 2. Критерий Коши (19). 2. Существование производных 3. Бесконечно удаленная точка всех порядков у аналитической (20). функции (53). 8 3.

Понятие функции 21 Глава 2. Ряды аналитических комплексной переменной. функций Непрерывность 8 1. Равномерно сходящиеся 1. Основные определения (21). ряды функций комплексной 2. Непрерывность (23). переменной 3. Примеры (2б). 1. Числовые ряды (57). 8 4. Дифференцирование 30 2. Функциональные ряды.

функции комплексной Равномерная сходимость (58). переменной 3. Свойстваравномерно 1. Определение. Условия сходящихся рядов. Теоремы 4б 51 115 123 123 128 143 Вейерштрасса (61). 4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра (65). з 2. Степенные ряды. Ряд Тейлора 1. Теорема Абеля (66). 2. Ряд Тейлора (70). 8 3. Единственность определения 74 аналитической функции 1.Нули аналитической функции (74). 2.

Теорема единственности (75). Глава 3. Аналитическое продолжение. Элементарные функции комплексной переменной 8 1. Элементарные функции 79 комплексной переменной. Продолжение с действительной оси 1. Продолжение с действительной оси (79). 2. Продолжение соотношений (83). 3. Свойства элементарных функций (86). 4.

Отображения элементарных функций (90). 8 2. Аналитическое 94 продолжение. Понятие римановой поверхности 1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности (94). 2. Аналитическоепродолжение через границу (97). 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу (98). 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов (103). 5. Правильные и особые точки аналитической функции (105). 6. Понятие полной аналитической функции (109). Глава 4.

Ряд Лорана и изолированные особые точки 8 1. Ряд Лорана 1. Область сходимости ряда Лорана (111). 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (113). 8 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции Глава 5. Теория вычетов и их приложения ~ 1. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке 1. Определение и формулы вычисления вычета (123). 2.

Основная теорема теории вычетов (125). ~ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов 1. Интегралы вида 2х ~ Я(созб,з)пО)сЮ (128). о 2. Интегралы вида ) Дх)~й (130). 3. Интегралы вида ) е Дх)сХх. Лемма Жордана (132). 4. Случай многозначных функций (138). з 3. Логарифмический вычет 1. Понятие логарифмического вычета (143). 2. Подсчет числа нулей аналитической функции (145). 148 148 163 173 175 184 191 212 212 Глава 6. Конформное отображение 8 1.

Общие свойства 1. Определение конформного отображения (148). 2. Простейшие примеры (152). 3. Основные принципы (155). 4. Теорема Римана (160). 8 2. Дробно-линейная функция 8 3. Функция Жуковского 8 4. Интеграл Шварца— Кристоффеля. Отображение многоугольников Глава 7. Применение аналитических функций к решению краевых задач 8 1. Общие положения 1. Связь аналитических и гармонических функций (184). 2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении (185). 3. Задача Дирихле (187). 4.

Построение функции источника (190). 8 2. Приложения к задачам механики и физики 1. Плоское установившееся движение жидкости (191). 2.Плоское электростатическое поле (203). Глава 8. Основные понятия операционного исчисления 8 1. Основные свойства преобразования Лапласа 1. Определение преобразования Лапласа (212). 2.

Изображение элементарных функций (216). 3. Свойства изображения (218). 4. Таблица свойств изображений (226). 5. Таблица изображений (226). 8 2. Определение оригинала по 227 изображению 1. Формула Меллина (228). 2. Условия существования оригинала (231). 3. Вычисление интеграла Меллина (234).

4. Случай регулярной на бесконечности функции (238). 8 3. Решение задач для линейных 241 дифференциальных уравнений операционным методом 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (241). 2.Уравнение теплопроводности (245). 3. Краевая задача для уравнения в частных производных (247). Приложение 1.

Метод перевала 249 1. Вводные замечания (249). 2. Метод Лапласа (258). 3. Метод перевала (259). Приложение 2. Метод Винера — 267 Хопфа 1. Вводные замечания (267). 2. Аналитические свойства преобразования Фурье (271). 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов (273). 4. Общая схема метода Винера— Хопфа (278). 5. Задачи, приводящие к интегральным уравнениям с ядром, зависящим от разности аргументов (283).

5.1. Вывод уравнения Милна (283). 5.2. Исследование решения уравнения Милна (287). 5.3. Дифракция на плоском экране (290). 6. Решение краевых задач для уравнений в частных производных методом Винера— Хопфа (291). Приложение 3. Функции многих 296 комплексных переменных 1. Основные определения (296). 2. Понятие аналитической функции многих комплексных ПРЕДМЕТНЫЙ Абеля теорема 66 Алгебраическая форма комплексного числа 13 Ллгебры основная теорема 147 Аналитическая функция в области 32 — — полная 109 ††, существование производных всех порядков 53 Аналитических функций свойства 33 Аналитическое продолжение 94 — — непосредственное 110 — — с действительной оси 79 — — соотношений 83 — — с помощью степенных рядов 103 — — через границу 97, 98 Аналитической функции нули 74 — — особые точки 106 — — риманова поверхность 91, 96 — — теорема единственности 75 Аргумент комплексного числа 14 Лсимптотическая формула полиномов Лежандра 264 — — функций Ханкеля 263 Асимптотическое разложение 249 — — гамма-функции 258 — — функции Хопфа 286 Бесконечно удаленная точка 20 Бесконечнолистная функция 92 Бесселя функции 240 Ватсона метод 306 Вейерппрасса признак 60 — теорема 62 306 314 315 переменных (297).

3. Формула Коши (298). 4. Степенные ряды (300). 5. Ряд Тейлора (302). 6. Лналитическое продолжение (303). Приложение 4. Метод Ватсона Литература Предметный указатель УКАЗАТЕЛЬ вЂ” — вторая 64 Ветвления точка 29 Ветвь многозначной функции 29 Винера — Хопфа метода общая схема 278 Внешняя точка 21 Внутренняя точка 21 Вычет 123 Вычет логарифмический 143 †относитель бесконечно удаленной точки 126 Вычетов сумма на полной комплексной плоскости 127 — теории основная теорема 125 Вычисление интегралов с помощью вычетов 128 — — от многозначных функций 138 Вычитание комплексных чисел 13 Гамма-функции асимптотическое разложение 258 Гармонической функции и аналитической связь 184 Гаусса теорема 205 Геометрическая интерпретация комплексных чисел 14 — — функции комплексной переменной 23 Геометрический смысл производной 35 Гиперболические функции 81 Граница области 22 Граничная точка 21 Даламбера признак 58 Двуугольника отображение 171 Действительная ось 14 — часть комплексного числа 12 Действия над комплексными числами 12 Деление комплексных чисел 13 Дирихле задача 187 — — для круга 188 — — — полуплоскости 189 Дифракция на плоском экране 290 Дифференцирование изображения 224 Дробно-линейны функция 163 — — —, круговое свойство 165 Естественная область существования полной аналитической функции 109 Жордана лемма 132 Жуковского теорема 202 — функция 173 Запаздывания теорема 219 Извлечение корня из комплексного числа 15 Изображение по Лапласу интеграла 222 — производной 221 — свертки 223 — функции 215 Изолированная особая точка 115 Инверсия 27 Интеграл Дюгамеля 245 — контурный 41, 249 — Коши 48 — неопределенный 43 — несобственный 40 — по комплексной переменной 38 — Шварца — Кристоффеля 175 — эллиптический 182 Интеграла главное значение 49 — изображение 222 — Меллина вычисление 234, 238 — по комплексной переменной свойства 39 Интегралы, зависящие от параметра 51 —, — — — несобственные 65 Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 267, 273, 282 Интегрирование изображения 224 Источник 195 Классификация изолированных особых точек 115 Комплексная переменная 21 †плоскос 14 — — полная 20, 26 Комплексное число 12 Комплексного числа алгебраическая форма 13 — — аргумент 14 — — модуль 14 — — показательная форма 15 — — тригонометрическая форма 14 Комплексно сопряженные числа 13 Комплексный потенциал течения 192 — — электростатического поля 204 Комплексных чисел вычитание 13 — — геометрическая интерпретация 14 — — деление 13 Комплексных чисел последовательность 17 ††равен 12 — — сложение 12 — — умножение 13 Контур замкнутый 41 Контурный интеграл 41, 249 Конформное отображение 36, 148 — — в бесконечно удаленной точке 152 — —, взаимно однозначное соответствие 155 — — второго рода 151 — —, основные принципы 155 — —, принцип симметрии 159 — —, соответствия границ 157 Коши интеграл 48 — критерий равномерной сходимости ряда 60 — — сходимости последовательности 19 — признак 58 — теорема 41 — — для многосвязной области 43 — теоремы вторая формулировка 42 Коши — Адамара формула 69 Коши — Римана условия 31 Критерий Коши равномерной сходимости ряда 60 — — сходимости последовательности 19 Круг сходимости 67 Лапласа изображение функции 215 — метод асимптотических разложений 252 Лемма Жордана 132 Линейная функция 26, 152 Линия тока 192 Листы римановой поверхности 96 Лиувилля теорема 55 Логарифмическая функция 46, 88, 102 Логарифмический вычет 143 Лорана ряд 111 Максимума модуля принцип 49 Меллина интеграла вычисление 234, 238 — формула 228 Мероморфная функция 136 Метод Винера — Хопфа 267, 278 — Лапласа 252 — наибыстрейшего спуска 252 — перевала 259 Милна уравнение 283, 287 Мнимая единица 13 — ось 14 — часть комплексного числа 12 Многих переменных ряд степенной 300 — — — Тейлора 302 — — функция аналитическая 298 — — — непрерывная 297 Многозначная функция 23 Множество значений независимой переменной 21 — — функции 23 Модуль комплексного числа 14 Морера теорема 55 Наибыстрейшего спуска метод 252 — — направление 260 Необходимое и достаточное условие аналитичности функции 33, 185 — — — — сходимости последовательности 19 — — — — — числового ряда 58 Непрерывность функции в бесконечно удаленной точке 25 — — — точке 25 — — на множестве 25 Неравенства треугольника 15 Нули аналитической функции 74 Нуля аналитической функции порядок 75 Область 21 — замкнутая 22 — неограниченная 22 — ограниченная 22 Обратная функция 23 Обтекание кругового цилиндра 198 — произвольного замкнутого контура 200 Обхода полной границы области положительное направление 42 Однолистная функция 23 Окрестность точки 18 Операционный метод для линейных дифференциальных уравнений 241 Оригинал-функция 215 Основная теорема теории вычетов 125 Остаток ряда 57 Отображение конформное 36, 148 — — в бесконечно удаленной точке 152 — — второго рода 151 Отображения элементарных функций 90 Отражение зеркальное 27 Первообразная функция 45 Перевала метод 259 Плоское потенциальное течение жидкости 191 — электростатическое поле 203 Плотность распределения заряда 207 Поверхность Римана 91 Показательная форма комплексного числа 15 Поле бесконечного плоского конденсатора 209 Полная комплексная плоскость 20, 26 Положительное направление обхода контура 41 — — — полной границы области 42 Полюс 117 Порядок нуля аналитической функции 75 Последовательность комплексных чисел 17 — неограниченно возрастающая 20 — ограниченная 18 Постоянства растяжений свойство 36 Потенциал комплексный течения 192 — — электростатического поля 204 Поток вектора скорости 193 Предел последовательности 18 — функции 24 Предельное значение функции в бесконечно удаленной точке 25 Преобразование Лапласа 212 — Фурье 268 — —, аналитические свойства 271 — — обратное 272 — Хевисайда 215 Признак Вейерштрасса 60 — Даламбера 58 — Коши 58 Принцип максимума модуля 49 — минимума модуля 51 Продолжение аналитическое 94 Производная функции комплексной переменной 31 Производной изображение по Лапласу 221 — функции геометрический смысл 35 Равенство комплексных чисел 12 Равномерная сходимость ряда 58 Радиус сходимости 67 Разветвления точка 29, 101 Резольвента 269 Римана поверхность 91, 96 — — бесконечнолистная 93 — —, листы 93 — теорема 160 Руше теорема 146 Ряд Лорана 111 Ряд равномерно сходящийся 59 — степенной 66 — Тейлора 70 — функциональный 58 — числовой 57 Свертки изображение по Лапласу 223 Свойства аналитических функций 33 — изображения 218 — интеграла по комплексной переменной 39 — непрерывных функций 26 — равномерно сходящихся рядов 61 — элементарных функций 86 Свойство постоянства растяжении 36 — сохранения углов 36 Сила воздействия потока на обтекаемое тело 201 Система решений фундаментальная 241 Сложение комплексных чисел 12 Смещения теорема 225 Сохоцкого — Вейерппрасса теорема 118 Сохранения углов свойство 36 Среднего значения формула 49 Степенная функция 103 Степенные ряды 66 Стирлинга формула 250 Сток 195 Сумма ряда функционального 59 — — числового 57 Существенно особая точка 118 Существование производных всех порядков уаналитической функции 53 Таблица изображений 226 — свойства изображений 226 Тейлора ряд 70 — теорема 71 Теорема Лбеля 66 — Вейерштрасса 62 — — вторая 64 — Гаусса 205 — единственности аналитических функций 75 — Жуковского 202 — запаздывания 219 — Коши 41 — —, вторая формулировка 42 — — для многосвязных областей 43 — Лиувилля 55 — Морера 55 — основная алгебры 147 — — теории вычетов 125 Теорема Рима на 160 — Руше 146 — смещения 225 — Сохоцкого — Вейерппрасса 118 — Тейлора 71 Точка бесконечно удаленная 20 — вихревая течения 195 — внешняя 21 — внутренняя 21 — граничная 21 †особ 106 — — бесконечно удаленная 120 — — изолированная 115 — — устранимая 116 †правильн 105 — разветвления 29 — существенно особая 118 Точки критические течения 199 — седловые поверхности 251 Тригонометрическая форма комплексного числа 14 Тригонометрические функции 37, 79 Трубка тока 192 Уравнение Милна 283 Условия Коши — Римана 31 — существования изображения 212 — — оригинала 231 Факторизация 276, 279 Формула вычисления вычета 125 — — коэффициентов степенного ряда 68 — Коши — Лдамара 69 — Меллина 228 — среднего значения 49 — Стирлинга 250 — Чаплыгина 202 — Эйлера 15, 87 Функции Бесселя 240 — геометрическая интерпретация 23 — гиперболические 81 —, множество значений 23 — предел 24 †производн 31 — тригонометрические 37, 79 Функция аналитическая в замкнутой области 106 — — в области 32 — — многих комплексных переменных 84, 297 — — многозначная 96 — — полная 109 — бесконечнолистная 92 Функция гармоническая (связь с аналитической) 184 †дроб-линейная 163 — —, круговое свойство 165 — единичная Хевисайда 216 †Жуковско 173 — источника задачи Дирнхле 190 — комплексной переменной 21, 23 — логарифмическая 46, 88, 102 — мероморфная 132 — многозначная 23 — обратная 23, 34 — однолистная 23 †степенн 103 — целая 77 Фурье преобразование 268 ††, аналитические свойства 271 — — обратное 272 Хевисайдаединичная функция 216 — преобразование 215 Целая функция 77 Циркуляция вектора скорости 193 Чаплыгина формула 202 Число нулей и полюсов аналитической функции 145 Чисто мнимое число 13 1Пварца — Кристоффеля интеграл 175 Эйлера формула 15, 87 Элемент полной аналитической функции 110 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Настоящая книга представляет собоИ четвертый выпуск серии «Курс высшей математики и математической физики» и посвягдена изложению основ теории функциИ комплекснои пЕремснНОИ и операционного исчисления.