А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Последовпигельностью нологлвмсных чисел называеглсл лсрену.яерованное бесконечное лгножвсглво колшленснмх чисел. В даль- 18 ээнкции комплвкснон пзнвменнон ггл. г певшем последопательность комплексных чисел мы будем обозначать символом ( „). 1йомплексные числа г„, образующие последовательность (г„), называются ее элементами ч).
Число г называется предела.и последовательности (г„), если для любого положительного числа в лгожно указать такой нолсер гЧ(в), начиная с колгорого все элементы «„этой лоследоваглельности удовлетворяют неравенслту ', « — г„~ ~ в при и) Лг(е). (1.6) Последовалгельность (г„гс, илгеющая предел г, называется сходящейся к числу «, что записывается в виде 1нп «„=г. ч со Дгссг ~еометрической интернретзпин предельного перехода в комплексной облзсти удобным окззывается понятие е-окрестности точки комплексной плоскости. Лножесглво точегс г колтлексной ллоскотли, лежащпх внутри окружности радиуса в с центром в точке г (1 г — гги (в)„называется с:окрестностью тотси .. Из этого определения следует, сто точка г являегся пределом сходящейся последовательности (г„), если в любой в-окрестности точки г лежа~ все элеъгенты этой последовательности, начиная с некоторого номера, зависящего от е.
Поскольку каждое коьшлекспое число г„=- аь+ сЬ„характеризуется парой действительных чисел а„и Ь„, то последовательности комплексных чисел (г„) соответствуют две последовательности действительных чслсел (а„) и (Ь„), составленные соответственно из действгпельных и мнимых частей элементов г„последовательности Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1.1. Иеобходгс.ссылс и достаточнылс условиелс сходимослси лоследовагпельности (гь) является сходилсость последовательностей действительных чсгсел (а„) и (Ь„) (г„=- а + (Ь„), Доказательств о. В самом деле, если последовательность (г„) сходится к числу =- а+ гд, то для любого е ) О а„— а ~ г„— г ~ <в и ~ ܄— Ь',< в при л )гчг(е). Это и доказывает сходимость последовательностей (а„) и (Ь„) к а и Ь соответственно.
Обратное утверждение следует из соотношения = )г(а„— а)а+(܄— Ь)з, где а и Ь являются пределами последовательностей (а„) и (Ь„) и г =- а + сЬ, Последоваглельность (г„) называетсн ограниченной, если сущесглвуегл таь;ое положительное пасло сИ, что для всех элементов «„этой последовательности сг,веет лсесто неравенство ! г„) ч- М, Основное свойство ограниченной последовательности характеризует следующая теорема. ') Определеияе последовательности ие исключает возможности повторяющихся элементов, и, в частности, все элементы последовательности могут совпадать между собой. ! г1 пивдпл последовательности комплексных чисел !9 Теорема 1.2.
Из всяной' ограниченной последовательности лгожно выделить сходягиуюся ггодпогледовапгельностгп Г(о к а за те л ь ство. Поскольку последовагельпость (гп) ограничена, то ясно, ч>о соответствующие еи действительные последовательности (ап) и (Ьп) также огра>шчены. Рассмотрим последовательность (а„). Так как эта последовательность о>.раничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследовагельность ') (а„.), предел которой обозначим а. Г1оследовательности (а„ 1 соотч>е>ствуег последовательность (Ь„.~, также являющаяся ограничен>гоп Г!оэгому из пее можно в свою очередь выделить сходящуюся подпоследовательпость ~ и1, Ьп 1, предел которой обозначим Ь.
При этом соответствую>цзя после»к>' довательность (а„,~ по-прежнему сходится к а. Ото>ода следует, что последовательность комплект>ых чисел (г„1= — !а, +РЬ» 1 также является сходящейся, причем 1пп гп =г=а+!Ь, что и доказывает п пп теорему. 2. Критерий Коши. При исследовании сходимости последовательности во ьшогих случаях удобным окззываегся пеобхотимыи и достаточнып признак сходимости последовательности, извести!як под нззванием критерия Коши. Критерий Коши. Последовательность (гпД сходипгся тогда и >полька тогда, если для любого е) 0 лгожно уназагпь такое дь (е), что (1.7) „— г„„, (е при и == И(е) и для любого но»гера >и == О. Л о к а з а те л ь с т в о.
Зля доказагельства критерия Коши мы опять воспользуемся экиивзленгпостыо сходимосди последовагельно- СГИ (г,) Н ПОСЛЕДОзатЕЛЬНОСтЕ8 ДЕИСтзитЕЛЬПЫХ ЧИСЕЛ (а„) П Г>Ь»!, а также тем обстоятельсгвом, чго критерий Коши является необходимым и достаточным признаком сходимости последовательности действительных чисел ьь), 1!ачнем с доказательства необходимости критерия Коши. Так как последовательность (г„) сходится, то сходятся и последовательное>н действительных чисел (а„) и (Ьп). Отсюда следует, что для любого е)О ° юбого о ера т)0 !а* — а+ ° (-2- при п .Лгд(е) и /Ь„--Ь,.1,~< — при и .=Мг(е).
Выбирая в качестве М(е) наибольшее из Хд и Мг, в силу неравенства треугольника получаем ! гп — г, Ь пг ~ ( е при гг ) !д> (е). Перейдем к доказательству достаточности признака Коши. Из соотношения (1.7) при гг ) Х следуют неравенства, ап — ап-рм ', -.=- ~гп гп-гп>: (е и ! Ьп — Ьп+>п ~:= ! г» гпд-и ! (е, ЯвлЯющиесЯ и! См. вып. 1, стр. 82. "*) См. вып. 1, стр. 85. 20 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1гл ! достаточш!ми условиями сходнмостп последовательностей га„) и !гд„11, т.
е. сходив!ости последовагелы!ости ~. „11. Тем самым доказано, что для сходнмосгп последовательности (х„) с Комплексными элеменгами необходимым н достзточпым является выполнение критерия Коши. 3. Бесконечно удаленная точка. Введем понятие бесконечно удаленной точки комплексной плоскости, существенное для дальнейшего. Пусть дана последовагельпость комплексных чисел )а„) такая, что для любого положительного числа й найдется номер Ог, начиная с которого члены последовагельности удовлетворяют условию ) злы ) )л при и ='л гч. Такую последовательпосзь назовем неограниченно возраста!ощей. Согласно введенным ранее определениям данная последовательность, зак аге как и исякая ее подпоследовательпость, предела пе имеет. Такое особое положение неограниченно возрастающей последовательности вызывает ряд неудобств.
Чтобы избежать этого, введем комплексное число - = со и будем считать всякую неоаран!гчснно возрастающую последовательность сходящейся к этому числу, которому мы поставим в соответствие бесконечно удаленную точку комплексной плоскости. Введем понятие полной комплексной плосл.остад состоя!Цей из обычной комплексной плоскости, и единственного бесконечно удаленного элемента в бесконечно удаленной точки л) е = со. Если мы будем пользоиагься геометрической иллюстрапией, ставя в соответспше элементам пеограничеш!о возРастающей последова гелыюсти 1ел) гочки комплексной плоскос си, то обнаружим, что точки рассмагриваелюй последователы!Осги с возрастанием пх номера располагаются впе конпептрическнх кругов с Центром в начале координзЧ радиусы которых могуг быть сколь угодно большими.
О!метим, гго точки данной последовательности сгреьщгся к точке ж незаваспшо от направлсння па полной комплексной плоскости. В связи с введенными понятиями есгественно называть окрестносгью бесконечно удзлеппой точки множество точек а полной комплексной плоскости, удовлетворяющих условию ~», :) Й, где )х' †достаточно большое положительное число. Определим алгебраические свойства числа а= ОО.
Из элементов неограниченно возраста!ошей последовательности 1а„) составим после! довзтельность 1---~, Эта последовательность сходится к точке Е=О. ал Действительно, из предыдущих рзссмотрений следует, чго для любо- 1 го в) 0 можно указать такой номер М, что ~ — ~ в при а=аХ. ал Очевидно и обрапюе утверждение, т.
е, если последовательность $,) сходится к нулю и состоит из отличных от нуля элементов, то пос- 1 ледовательность 1 -~ сходится к бесконечно удаленной точке. ьл г *) Заметим, что аргумент комплексного числа со ие определен, так же как и его действительная н мнимая частя. 21 ПОНЯТИЕ ЕУНЮ1ИИ, ЫГПРЕРЬ1ВНОСТ! 1 ! В связи с этим ползгают — =- О и = Оак Вообпге для бескооэ О печно удаленной точки усганавливаюгся следующие соотношения; г.со=ею при г~О и а+со=со, — =О при гасо, которые естественны с точки зрения предельного перехода в оперзцчях сложения и умножения. С этой точки зрения операция — -, естественно, является неопределепнои.
ф 3. Понятие Функции комплексной переменной. Непрерывность 1. Основные определения. Целью настоящего пункта является ВВЕДЕНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОИ ПЕРЕЛ1ЕПНОИ. Это понятие вводится так же как и понятие функпии ДеисгвительнОИ переменной. Будем говорить, что на множестве Е комплексной плоскости ааданз функшш комплексноИ переменноИ, если задан закон, ставящий в соответствие каждоИ точке множества Е некоторое комплексное число. Множество Е будем называть множеством значении неззвисимои перемешюп. Структура этого множества может быть весьма сложноИ и разпообразнои, однзко в теории функции комплексной переменной рассмагривают множества специальной сгруктуры.
Пля дальнеишего пам потребуется ряд вс1юмогагельных понягии. Точка называется внугпреияей то~гкой лгножестаа Е, если суигестггу'ет е-окрестность точггн =., все точки когороп принадлежаг множеству Е. Например, 1очка г множества /г|= 1 является внутрен- неИ, если ~ г ( 1; точка .г = 1 пе является внутренней точкой данного множества. Л!ножесгпаа Е поливается областью, если выполняются следуюгкпе условии: 1) кажоая ишака лгножегтаа Š— внутренняя точка этого лгяожеспгаа; 2) любые две точка шножетпва Е шожно соединить латаной, вге точки копгорой принадлежат Е'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
