А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного (1118155), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕЬСЕССССОЙ сгл. с 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. При изучении свойств комплексных чисел весьмз удобной является их геометрическая интерпретация. Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретациея является изображение комплексного числа г= — а+1Ь точкой плоскости (х, у) с декартовылси координатами х=а и у=Ь.
Число «=О ставится в соответствие началу координат дасснои плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс — действительной, а ось ординат — лснимой осью комплексная плоскости. При этом, очевидно, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплекшсых чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел «=а+1Ь и множеством свободных векторов, проекции х и у которых па оси абсцисс и ординат соответственно разны а и Ь. Весьма важной является также другая форма представления комплексных чисел.
Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (р, ср), где р — расстояние точки от начала координат, а ср — угол, который сосгавляет радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсппсс. Положительным направлением изменения угла ср считается направление против часовой стрелки ( — со ( ср ( ОО). Воспользовавшись связью декартовых и полярных координас: х =р сов ср, у =р зш полуснм так называемую тригонометрическую фор,пу записи комплексного числа: -=р(созср+сз1пср). (1.3) При этом о обычно называют модулелс, а ср — аргулсеннгом комплексного числа и обозначают р =1«:„ср =- Агй г.
Предшествующие формулы дают выражение действительной в мнимой:астея комплексного числа через его модуль и аргумент. Легко выразить модуль и аргумент комплексного числа через его действительссую Ь и мнимую части; р="р а'+Ь', (еср= — (при выборе из решения а последнего уравнения значения ср слелует учесть знаки а и Ь).
Отметим, что аргумент комплексного числа определен не олиозначно, а с точностью до адлитивного слагаемого, кратного 2п. В ряде случаев удобно через аге г обозначать значение аргумента, заключенное в прелелах ср, =-.с агй г ( 2л + сра, тле срь — произвольное фиксированное число (например, ср,= — О или ср,= — и). Тогда Аге« =агяг+2йл (й= — О,:.ч..1, мт 2, ...). Аргумент комплексного числа г=О вообще не определен, а его модуль равен нулю.
Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, илн отличаются па число кратное 2п. Комплексно сопряженные числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствую- 1б КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО щем вьгборе областей нх изменения различа1отся знаком. ! 1зкопеп, используя известную формулу Эйлера в) ее.=сочгр+15!птр, получаем тзк называемую показательную форлгу записи комплексного числа: « = ре "й (1.4) Отмеченное выше соотнетствне между множеством всех комплексных чисел и плоскими векторами позволяет отождествить операции сложения и вычитания комплексных чисел с соответстиуюиьиьги операциями нзд векторами (рис.
1.1). !)ри этом легко усганавлнваются неравенства треугольника: : - + «2 ~ = ~ «1',+! « ~, — — (1. 1) l Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смыс.ч Рис. !.!. расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости.
Отметим, кроме того, очевидные неравенства ) «! -=а, ! «',---Ь. Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой представления комплексных чисеж Согласно правилам умножения получаем в 2) « =- р (соз гр+ 1 5!п гр) = «1 . «, = =рт(сок Ч>1+15!и Ч11) рз(соз фа+1 51п фз) = = ртря(соя фтсоз фз — 51п фт 5)п Чзз)+ 1ртря (5!и фт соз ф., + соя фт 5!п ф.,) == = — ргрягсоз(Ч1+Ч12)+15!п(ф1+фз)2 р1 р2 1* Отсюда р = р, р„гр = гр, + тре, т. е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргуменгон сомножителей. В случае деления комплексных чисел при р;АО имеет место аналогичное соотношение: г — ' = ''-Егкт — Ча 22 Ря 4.
Извлечение нория из комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа н целую положительную степень и извлечения корня из комплексного числю Так, если - =--", то р=р" и ф =игр,. 3 *) Это выражение мы пока будем рассматривать как сокращенную форму ззписи комплексного числа г =-соз Ч1 1-1 мп ф. Полный смысл этого обозначения будет установлен в дальнейшем.
"*) Эта формула показывает, что введенная выше функция сгч обладает свойством евж с2Ч" =еЫЧЧЧ Ч', ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОН ПЕРЕЬ4ЕННОП !Гл. с Коьсплекспое число гт = рг г называе~ся лорнелг и-й степени из комплексного числа, если г =г",. Из этого определения следуе~, чго р,=) р и ср, = . !1ак оыло отмечено выше, аргумент комплексл и ного числа определен пе однозначно, а с точностью до аддитивного слзгаемого, кратного 2П.
11оэтому из выражения для аргумента комплексного числа г,: ср 2л/с В = — +— л л / / где ср — одно из значений аргумента комплексного числа г, получим, но существуюг различные комплексные числа, которые при возведении в и-ю степень равны одному и тому же комплексному числу г. лг— Модули этих комплексных чисел одинаковы и равны рс р, а зргументы различаются на число, крат- 2л г-е г и ное —. Число различных значе- и ний корня и-й степени из комплексного числз г равно и. Точки ег е / / нз комплексной плоскости, соответствующие различным знзчепиям корня и-й степени из комплексе=0 ного числа г, расположены в вершинах правильного и-угольника, вписанного в окружность рздиуса р р с центром в точке г = О.
е --е'г =-е, Соответствуюнтие знзчения фа получаются при /г, присснмаюптем значения /4=-0, 1, ..., и — 1. Рис. !.2. 1(ссзссический зналнз поставил задачу так расширить множество действительных чисел, чтобы не только элементарные алгебраические операции сложения и умножения, но и операшся извлечения корня пе выводила из этого расширенного множества.
Как мы видим, введение комплексных чисел решает эту задачу. Примерсс 1) Найти все значения )с/. Записав в показательной .л с— форме комплексное число г=/=е а, получим для значений квадрат- л .ала с — +с=,— ного корня из данного комплексного числа выражения гь=-е 4 /4=0, ! !рис. !.2), откуда с — л . л Р2 е 4 соз — — + 4 а!и —" = — !1+4), 4 4 2 — 1У2 — е 4 — е 4 = - — (1+4). 2 5 21 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ т1 2) Найти все значения 5'1, где р)Π— пелое число. ВоспользоР,— вавшись представлением 1=в", так же, как и в предыдущем при.
2л мере, получим «А =-:е Р , 12 = О, ..., р — 1, откуда 2л «1 — Е Р— 2л, 2л соь + 151п — '-, Р и ал ш— «л, = в а — — е =1, га 1 2л и ' — 2л .. 2л = В Р =С05 — — 151П вЂ”. 11 и То есть корень р-й степени иэ 1 имеет ровно р разлишных з1а 1епнй. Эти комплексные числа соответствуют верпгипам правильного р-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с венгром в точке «=-О, причем одна из вершин лежит в то1ке «= 1. 3) Найти все значения г' 1 — 1'К'3. Так как «=1 — 1)сЗ = = 2е 5, то для значений квадратного корня из данного комплекс.л .2ль — 1 — Ч-1 ного числа получим выражения «5='Кс2 е а 2, 12=0, 1, Откуда — — —,--,' л ..
л1, 1 3 — 1' « =)'2 е ' =) 21сов — — 151п б " б1~ 5л — — 1' 3 — 1 1'2 Итак, для извлечения корпя л-й степени из комплексного числа надо перейти к показательной форме записи комплексного числа, извлечь корень п-и степени из модуля данного комплексного числа (берется арифметическое — действнтелы1ое и положнтелы1ое — значение корня), а аргуменг данного комплексного числа разделить на л. (Лля получения всех значений корня надо иметь в виду многозначность аргумента.) ф 2. Предел последовательности комплексных чисел 1. Определение сходящейся последовательности.
Пля построения 1еорпи функпнй комплексной переменной большое значение имеет перенесение основных идей анализа в комплексную облас~ь. Одним из фундаментальных понятий анализа является поняпш предела и, в частности, понятие сходящейся числовой последовагельпости. Аналогичную роль играют соогветсгвующне понятия и в областя комплексных чисел. При этом многие определения, связанные с предельным переходом, полностью повторяюг соогветствугощие определения аеорни фупкпий действительной переменной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
