А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов - Теория функций комплексного переменного, страница 2

В книге также даны примеры применения мегодов теории функций комплексной переменноИ к задачам гидродинамики и электростатики и разобраны некоторые вопросы метода перевала и метода Винера — Хопфа. ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В третьем издании книги усгрзнены замеченные неточности изложения, добавлен ряд приап>кении теории функций комплексной переменной (несобственные интегралы, зависящие от параметра, преобразование Ватсона и т.д.), а также дано представление об основных понятиях теории функций многих комплексных переменных.

Мы глубоко благодарны редактору этой книги С. Я. Секерж-Зеньковичу, работа которого способствовала улучшению ее содержания, Ааторьс ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Содержание этого выпуска в основном соответствует курсу лекций по теории функций комплексной переменной, читавшемуся авторами в те~ение ряда лет па физичеагом факультете МГУ. Изложение основного материала достаточно близко к традиционному. Однако мы не проводим специального рассмотрения элементарных функций комплексной переменной в самом начале курса, как это делается в большинстве учебников, а вводим элементарные функшш комплексной переменной как непосредственное аналитическое продолжеи~е элементарных фуикцнй действительной переменной, Теоремы об аналитическом продолжеиип соогношений позволяют единообразно перенести в комплексную область известные свойства элементарных функций действительной переменной.

Естественно, что стремление к цельности изложения заставило рассмотреть отдельные вопросы несколько подробнее, чем обычно удзегся в рамках сжатой лекционной программы. В первую очередь это огносится к обшим принципам конфорьшого отображения п прим пениям методов теории функций комплексной перелгенной к решению краевых задач гидродинаьшки и электросчатики. Кроме того, в книге имеются два приложения, посвященные изложеншо метода перевала и метода Винера — Хопфа, которыми физики обычно весьма широко пользуются. При работе над кншоп мы пользовались совшами многих наших товари пей по кафедре, в первую очередь В. А. Ильина и Д. 11.

Костомарова. Вольшую помощь оказали многочисленные и важные замечания, сделанные Г. Л, Лунцем и М. В. Федорюком, прочитавшими книгу в рукописи, а также тшательное редактирование текста книги, проведенное С. Я. Гекерж-Зепьковичем. Всем этим лицам мы выражаем самую искрешпою благодарность. Авлгоры ВВЕДЕНИЕ В настояшем выпуске излагшотся основные понятия геории функций комплексной перемегшой. Поггягие комплексного числа яозникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений.

Даже простейшие алгебраические операции над дейспппельпыми числами выводят за пределы области действительнгах чисел. Как известно, не всякое алгебраическое уравнение может быгь разрешено в действительных числах. Тетг самым надо пли отказаться ог автоматн ~еского применешия установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возмоакностн их применения, или расширить область действительных чисел с тем, чтобы основные алгебраические операции всегда были вьшолшяяьь 'Ганны распшрецием области дейсгвптельных чисел являются комплексные числа. Замечательным свойством комплексных чисел являегся .ог факт, ыо основные математические операции над комплексными нюламн не вгяводят из области комплексных чисел.

Введение комплексных чисел и функций комплексной переменной удобно такмсе прн шпегрированин элементарных функций, при решении дифференциальных уравнений и т. д., где часто приходится выходить в область комплексных чисел. Комплексная форма записи оказывается удобной и при математической формулировке мин~их физических положений (напрггмер, в электро- и радиотехнике, электродннамнке и т. д.). Олин из основных классов функций комплексной перемепной— аналитические функции — находится в тесной связи с решениями уравнення Лап.часа, к которому приводятся многие задачи механики и физики.

ГГоэтому методы теории функций комплексной переменной нашли весьма широкое и эффективное применение при решении большого кру~а задач гидро- и аэродинамики, теории упругости, электродянзмики и других естественных наук. ГЛАВА 1 КОМПЛЕКСНАЯ ПЕРЕМЕННАЯ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ф 1. Комплексное число и действия ивд комплексными числами 1. Понятие комплексного числа. Мы считаем, что с понятием комплексного числа и определением ариФметических действий над комплексными числами читатель уже знаком. Комплексные числа и действия над ними изложены в предыдуших выпусках курса ь). Однако из соображений цельности изложенная имеет смысл еше раа напомнить основные понятия. Компленсныль числом «называется пара действительных чисел (а, Ь) с усьпановленныж порндколь следованнн чисел а и Ь. Это условно записывается в виде « =(а, Ь).

Первое число а пары (а, Ь) называется действительной частью комплексного числа « и обозначается символом а=Не«; второе число Ь пары (а, Ь) называется мнилсой частью комплексного числа» и обозначается символом Ь=!ш». Два комплексных числа»т=(аи Ь,) и «а=(аа Ь,) равны тогда и только тогда, когда равны и их действительные и их мнимые части, т. е, = »а лишь при ад —— ам Ьт = Ьм 2. !(ействия над комплексными числами.

Перейдем к определению алгебраических операций над комплексными числами. Суммой комплексных чисел», = (ан Ь,) и», = (а„Ь,) называется комплексное число» = (а, Ь), где а = а, + а„Ь = Ьт+ Ь,. Легко видеть, что при таком определении сохраняются перемести- тельный и сочетательный законы сложения, т. е. -„+«,=-»,+», и «т+(«а+»а)=(«т+»,)+»м 'Гак же, как и в области действительных чисел, нулем называется такое комплексное число О, сумлза которого с любым комплексным числом» равна этому числу «, т. е. «+0=». Очевидно, что сушествует единственное комплекаюе число 0 =(О, 0), обладаюшее этим свойством.

") См. вып. 1, стр. 195 — 199. 1З КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО а 1! Л!юизаедением колиглексиьгх ~исел»л =-(а,, Ьл) и гв =(иь Ьв) называется комгищкшюе число г=(а, Ь) такое, что а=алая — Ь,Ьв Ь =- алЬв+ а,Ьл. 1!ри таком определении произведения выполняются переместительный; г,г,=»,гн сочетательный: г,(г, »в) =(г, г,)»в и распределительный: (»!+»в)»ч=-глгв+гвгв законы. Включим действительные числа в множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число а = = (а, 0).

Тогда, как следует из определения чействий сложения и умножения, для комплексных чисел сохраняются известные правила действий над действительными числами. Г!оэтому множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действилельнгях чисел в). Заметим, что умножение на действительную едигппту (1, 0) не меняет комплексного числа: » 1 = ». Колгплексное число вида г=(0, Ь) называется чисто мнимым и символически обозначается г = Э. Чисто мнимое число (О, Ь) = гЬ люжпо рассматривать как произведение мнимой единиц!я (О, 1) и дейсгвигельного числа (Ь, 0).

Мнимую единицу обычно обозначают символом (О, 1) = б В силу определения произведения комплексных чисел справедливо соотношение 1. Г =- !в = — !. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл так называемой алгебраической форме записи комплексного числа » = (а, Ь) =- а + ЬЬ (1.1) и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.

!ломплексиое число -= — а — ЕЬ называется комплексно сопряженным числя г — ' а+ГЬ. Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число г=а+!Ь называется разностью комплексных чисел,=а,+!Ь, и гв= — а,+(Ьв если а=а — ав, Ь=Ьд — Ь. Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число» = а+ГЬ называется частным комплексных чисел гл=ал+ГЬл и -,—.— ав+ГЬвФО, если г,— -».»в.

Отсюда следует, что действительная а и мнимая Ь части частного г определяются из линейной системы алгебраических уравнений ава — ЬвЬ = ал, Ь,а+а,Ь=Ь, с определителем а;+ Ь',, отличным от нуля. Решив эту систему, получим вл алая+агав алов — олав гл а)+ Ь! а',-'+ Ь1 *) Квк будет следовать из дальнейших рассмотрений, множество комплексных чисел, в отличив от множества действительных чисел, ие обладает свойст. вов упорядоченности, твк как нв существует рациональной системы сравнения комплексных чисел.