kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 108

опреде- б2.З. Предел фильтра 573 ление 4) выполнено. Второе условие также выполнено, поскольку )(5) состоит только из элементов вида 1(А), где А вил. Следовательно, 1(А)~ф, поскольку А~ф. Наконец, из того, что й Ф ф, следует, что и 1(б) Ф ((з. ( ) 62.3. ПРЕДЕЛ ФИЛЬТРА Определение 1О. Пуспгь Х вЂ” тспологическсе пространство, х ~ Х и 5 — фильтр на Х. Точка х называется пределом фильтра 5, или его предельной точкой, если фильтр 5 сильнее фильтра 8(х), являюи(егося локальной базой топологии в этой точке, Если тачка х является пределом фильтра (), то пшиется х=1пп 5. Примеры. 1. Пусть Х=М вЂ” множество натуральных чисел, рассматриваемое, как обычно, с дискретной топологией: каждая точка и ~ сч считается открытым множеством (иначе говоря, каждая точка является изолированной точкой), тогда натуральный фильтр г» (см.

пример 3 в и. 62.2) не имеет предела в У. Действительно, никакое число и еигч' не является пределом фильтра г», ибо у любого числа п,~й( существует локальная база топологии, состоящая только из этого числа по и не существует А ~ Г», содержащегося в одноточечном множестве (п ), поскольку любое А АР» содержит бесконечно много элементов. Таким образом, фильтр г» не сильнее локальной базы топологии любого числа по ~Ж. 2. Пусть Х=йг () (+оо), т. е. множество Х получено добавлением к множеству натуральных чисел М «бесконечно удаленной точки» +со, причем локальная база топологии Е(+со) состоит из всевозможных множеств А„(см.

(61.1)), а локальные базы Э (п), и еи гч', по-прежиему нз одной точки и. База топологии в Х определяется как объединение локальных баз всех его точек. В пространстве Ф и (+со) натуральный фильтр г» имеет своим пределом + сю, Действительно, для любой окрестности А„АЗ(+оо) в качестве элемента АяР» такого, что А сА„ (см. определение 10), можно взять само А„, ибо А„сего».

Задача 44, Доказать, что длл того чтобы любой фильтр топологического пространства имел не более одного предела, необходимо и доапаточно. чтобы и рост ранстео было хаусдорфовым. Теорема 1. Для того чтобы елочка х являлась пределом фильтра Я топологического пространства Х, необходимо, чпизбы зта точка являлась пределом каждой его базы, и достаточно, чтобы она являлась пределом по крайней мере одной его базы. Доказательство необходимости.

Пусть подфильтр 3е является базой фильтра й пространства Х и х=1)щ5, у 62. Предел по фильтру 574 т. е. фильтр $ сильнее локальной базы топологии З (х) в точке х. Это означает, что для любой окрестности (7 ен З (х) существует такое А ен 5„ что А с: (7. Поскольку 54 является базой фильтра К, то для указанного А е= 5 найдется такое В е= 'гт„ что В с: А и, следовательно, В с: (7, т.

е. подфильтр гте также сильнее локальной базы топологии ч)(х), и потому х = 11пг)г)е. Доказательство достаточности. Пусть подфильтр 114 фильтра 5 является его базой и х=1!щ5„т. е. 5ь сильнее локальной базы топологии чг(х), тогда сам фильтр г1 тем более сильнее ч1(х), ибо каждый элемент подфильтра является и элементом фильтра. Следовательно х=1нп 5. 1 ) а2.4. пРедел ОтОБРАжения пО ФильтРу Общее понятие предела дается следующим определением. Определение 11. Пусть Х вЂ” некоторое множество, 1' — тополоеическое пространство, !' Х -~ У вЂ” отображение Х в У, 1 — фильпгр на Х.

Точка Ь ен У называется пределом отображения 1 по фильтру 5 и писается 1!гпь-~(х) =Ь, если фильтр г (17) имеет своим преде,гом в пространстве У точку ь. Таким образом 1!пЧг(х) "='1пп)(5). (62.5) Примеры. 1. Пусть Х=М вЂ” множество натуральных чисел, У вЂ” топологнческое пространство, ): ггг- У, у„— '1(п), и ен йг', и пусть Г» — натуральный фильтр, построенный в примере 3, п. 62.2, т. е. Р» состоит из множеств (62.1). Тогда предел отображения Г по фильтру Р» совпадает с обычным пределом последовательности «у„) в У. Действительно, условие !ппр„, !'(Э) =- Ь равносильно, согласно (625), условию 1пп 1 (Р») = Ь, где ) (Р») = «((А„) ',, г (А„) = = «д„: т) и).

Равенство предела фильтра 1(Р») точке Ь означает, что для любой окрестности (7 ы чг(Ь), где 9(Ь) — локальная база топологии в точке Ь, существует содержащийся в (l элемент г" (А,,) фильтра 1(Р»): ! (Ал,) с: (7, Поскольку при и> п, выполняется включение ля А„„а следовательно, и включение у„=-1(п) ен ~~(А„,), то при и- п, имеет место включение у„ы с!. Это и означает, что 1!щ у„=Ь. 2. Пусть Х =)Ухй(„Р» — натуральный фильтр, 5 = — Р»хРч (см. (62.2)), 1' — топологнческое пространство, ): гтгхгтг-+-У, у, =') (и, и), т ен М, и ен М; тогда предел 1!пгв ) (т, и) совпадает с обычным пределом двойной последовательности «у ); точка Ь называется пределом 1!пг у „последовательности «гу„„,), если се,ег сю б2.4.

Предел огоброьхлния яо фильтру для любой окрестности У точки Ь существуют такие и, и п„что при т~п„и п) и, выполняется включение у „~ У. Таким образом, 11ш6~(т, п) = 1!ш у „. Ол, н~ сь 3. Пусть Š— измеримое по джордану множество в Ян, т— какое-либо его разбиение: т=(ЕД,'.=ь, $; енЕь 1=1, 2, ..., й, Пусть элементамн множества Х являются в свою очередь всевозь можные множества вида х = (т, $„..., $ь). (62.6) Для любого т!) 0 обозначим через А„подмножество множества Х, состоящее нз всех таких элементов х, у которых мелкости 6,, входящих в них разбкений т меньше т1, т. е.

6,(л!. Система (1=(Ач) является фильтром на Х. Всякая действительная функция 1: Е-«лс порождает отображение ~р~. Х вЂ” «лс по формуле ве1 <рь(х) =~~,1К;))ьЕь х=(т, $п ..., $ь). Таким образом, гр~(х) является значением соответствующей интегральной суммы Римана функции 1. предел отображения ьог. Х-«Я по фильтру 5=(Ач) совпадает с обычным пределом интегральных сумм Римана функции 1 при условии, что мелкости рассматриваемых разбиений стремятся к нулю: 1!то ьр~(х) = 11гп ~ ~($;) рЕь от а, 4. Пусть Х и У топологические пространства, 1: Х-«)', а~Х и 5 — такой фильтр на Х, что!!щи=а (т. е. фильтр о сильнее некоторой локальной базы топологии 5(а) в точке а).

Предел 11шх)'(х) в данном случае называется пределом отобраокекия ) по фильтру 5 в точке а. Прп соответствующих выборах фильтров 5 будут получаться в частнссп1 пределы в данной точке по различным множествам. Например, если фильтр $ состоит из окрестностей некоторой локальной базы топологии 6(а) точки а, то существование предела 1!ш;„)'(х) в точке а по такому фильтру означает непрерывность отображения ) в точке а, причем !1шй~(х) =1!ш! (х) =~(а).

л а Если точка а является предельной точкой множества Х, а фильтр 6 состоит из проколотых окрестностей некоторой локаль- З а2. Предел ло фильтру ной базы топологии в этой точке (см. пример б в и. б2.2), то предел 1)шт((х) совпадает с обычным пределом 1ип((х). к а Заметим, что раньше символ х-ь-а не имел для нас самостоятельного смысла: было определено лишь все обозначение 1)т р(х) в целом. Теперь, в конце курса мы видим, что символ к а х- а можно рассматривать как обозначение фильтра 3(а) нли фильтра 6(а), по которому берется предел отображения (в первом случае получится обычное определение предела отображения в точке а, во втором — определение его непрерывности в этой точке).

Итак, действительно все встретившиеся нам раньше понятия предела являются частным случаем предела отображения по фильтру. ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Банах С. (ВапясЬ 5.) 442, 48! Бернулли Я. (Вегпоп1!1 Л) 340 Бессель Ф, (Весле! Р.) 379, 380, 485 Буняковский В. Я. 450 Вандермонд А. (Уапдегпюпбе А.) 554 Вейерштрасс К. (гте1етяпаяя К.) 307, 373, 396, 429, 479 Гаусс К.-Ф (Оаняя Кур) 283 Гейне Г. (Не!не Н.

Е.) 46 Гельдер О. (Н61бег О.) 365, 366, 368, 395, 435, 494 Гельмгольц Г. (Не!шбо(!г Н.) 297 Гильберт Д. (Н1)Ьег( Р.) 455, 481 Грам И. (Огаш Л Р.) 472 Грин Дж. (Огееп О.) 199, 202„203, 218 Гульдив П. (ОпЫ!п Р.) 232 Дарбу Г. (РагЬонх О.) 141, 149 Дини У. (Ргп( ГЗ 359 Дирак П. (Ббгас Р. А.) 5!2, Ыб Днрихле Л. (Р1г1сЫе! 1. Р. О.) 163, 352, 353, 355 Жсрдгн К. ()огбап С.) !!4, 126, 2!8, 220, 412 Кантор Г.

(Сап1ог О.) 49 Коши О. (Сапсйу А. Б.) 46, 60, 308, 384, 448, 449, 452, 486, 494 Крамер Г. (Кгатег О.) 43 Кронекер Л. (Кгопекег 1..) 424 Лангранж Ж. (Байгапйе Л. Б.) 4, 12, 96, 301, 328, 543, 555, 562 Лаплас П. (Бар!асе Р. 5.) 82, 2! 8, 401, 402 Лебег А. (Бебеяйпе Н, 1..) 357, 434, 469 Лежандр А. (Беяепдге А. М,) 473, 474, 475, 480, 490 Лейбниц Г. (1.е!Ьп(х ч. О. %.) 203, 300, 319, 5ЬЗ Липшиц Р. (Б!рясЬ(!я Е.) 365 Литтльвуд Д. (ЫГВежооб 3. Е.) !68 Лопиталь Г.