kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 105

И Квадратурные формулы, которые мы рассмотрим, будут получаться посредством замены при интегрировании функции 1' на каждом отРезке 1х» г, х,] интеРполЯционным мпогочленом степени и. Мы нзучилг случаи о=О, 1, 2. Соответствующие приближенные значения интеграла от функции г будем обозначать символом Е„(~), я=О, 1, 2. В первом случае (при и=О) соотвстствугощая квадратурпая формула называется форлгулой гголмоугольников, во втором (при и= 1) — формулой трапеций, в третьем (при и= — 2)— паработгичеекой формулой или, чаще, форму.гой Симпсона.

Формула прямоугольников Для интерполяции функции Г на отрезке (х~ г, х»], й = 1, 2,... и, миогочленом нулевой степени достаточно задать лишь один узел. Возьмем в качестве узла середину отрезка Гтх»-г, хе]: хн, +х» 2 Интергголяционным многочленом является постоянная еееюс+ Р»(х) =)'(с»), 1»=-1, 2, ..., и. Рис. 238 При такой интерполяции мы заменяеи данную функцию ( «ступеггчатой функцией», точнее набором функций, постоянных на каждом отрезке (х» „х»] и равных значению функции Г в центре этого отрезка (рис. 238). Вместо интеграла ~ 1(х) дх возьмем "»- г 60.4. Квадратураые формулы 557 к!! в кв к Т.вЯ= ~ ~ Р,(х)!(х= ~, ~ 7($к)!(х=:„,~, ~(Ц), (60.23) к=- ! кв в=!к а=! итак, Т.,(Д= — [)~ — )+)( — )+...+~~ )1.

Формула трапеций На каждом отрезке 1х~ к, хк1, 1=1, 2, ..., и, возьмем интерполяционный многочлен Рв (х) первой степени, определяемый узлами интерполяции хв ! и хк. Полагая Ук=~(х!), 1=О, 1,, р, получим (см. (60.20)) 1=1, 2,, и. Таким образом, мы заменяем данную функцию ) кусочно-линейной функцией. Вместо интеграла а к! ~ )' (х) !(х возьмем интеграл Рас. 239 к, 'к ~ Р„(х)!(х, т.

е. заменим площадь криволинейной трапеции к!, соответствующей площадью обыкновенной трапеции (рнс. 230). Замечая, что к!! кк-! получим квадратурную формулу трапеций Хк ХЕ ХВ 6 Х и ка л ЕкЩ= '~„' ~ Рк(х)с(х=:„" '5' вк ' У', (60.24) к=! к к=! «-1 или !'.кЩ= — „~ +!'(х!)+! (хк)+...+)(х„)~. интеграл ~ Рк (х) в(х, т. е. заменим площадь криволинейной трапеции площадью соответствующего прямоугольника.

Напишем теперь квадратурную формулу прямоугольников: 556 р бб Некоторые вопросы приближенных вьыисленна Формула Симпсона На каждом отрезке (х~, „х»1, й=!, 2, ..., и, возьмем интерполяционпый многочлен Р»(х) второй степени, определяемый узлами интеРполЯции хг, ы 5»="' '+"" и х». Тогда (х — $») (х — х») Р~(х) = (х ц )(, х) 1'(~~-~)+ (х — х» !)(х — х») )(с ) 1 (х — х» !) (х — ьь) е( ) (Ц» — х».

!) (5» — х»1 "" (х» — х» !) (х» — ье») Непосредственным вычислением убеждаемся, что к» (х — $») (х — х»), 1 1 Ь о ах=-- (х» — х» !) =- - —, (х» „— $»)(х» ! — х») 6 б и "» (х — «» !)(х — х») ( 2 2 Ь а ($» — х„,) ($» — х„) 3 ' ° 3 и х= (х» — х»,) = -- —, х, ( — х» )( — Г),( ! 1Ь— (х» — х» т) (х» — $») 6 — ° Ь н > е(х=- .

(х» — х» !) = —,—, к»-! понтом у х» 3 '() ='.'Р("ч)+9( )+~-)(.4 »-! Теперь нетрудно написать квадратурную формулу Симпсона: н и л'е,)»( ) н, Х ( б ~(» !)+ 3 ! ("»)+ 6 ! ( «))ь *= !х», »=1 (60.26) или А» Я =: (!" (а)+г'(Ь)+2 (! (х,)+...+!' (х„-!)]+ 4 (г'($!)+...+1(ь„)1). 66.5. ПОГРЕШНОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ен Мы видели, что всех трех рассмотренных нами случаях квадратурные формулы (см.

(60.23), (60.24), (60.26)) имеют вид ~В= Х (.а, (60.26) » — ! кн В этом пункте мы следуем илеим, раэиитым и монографии С. М. Николь ского «Каадратуриые формулыь М., 1974. ба Погре~иноеть хводротурньм формул е где (69.27) г.= о хь т айаг(хь, А=1, 2, ..., и, 1=.0, 1,, т, а р; — некоторые числа. В случае формулы прямоугольников мы имели хь -ь+ха, т=О, р,=1, $ьо= 2 в случае формулы трапеций 1 т= 1 Ро=рт= 2 еьье =ха-ы Вьг=хь' в случае формулы Симпсона 1 2 „т хь д+хь т=2 Ре=ра= О.~ Рг= з вез=ха-ы вы= ~ сье=хь й = 1, 2, ..., и. Пусть теперь заданы какие-либо числа рь называемые весами„ и пусть на отрезке [О, Ц задана какая-либо система точек $;, 1=0, 1, ..., пг, называемых узлами.

Пусть, как и раньше, отрезок [а, Ь1 разделен точками ха, й=О, 1, ..., п, на п равных отрезков [хь ы хь), й=1, 2, ..., и, и пусть точки $м получаются из узлов $г при линейном отображении отрезка [О, Ц на отрезок [хь ы ха), пРи котоРом точка ноль пеРеходит в точкУ х„,, т. е. при отображении х=(хь — х„,) У+ха „0=.1~1. Формула (60.26) в этом случае называется квадратурной формулой, соответствующей узлам $г и весам рь 1=0, 1...,, т. Всякая квадратурная формула (60.26) обладает свойством линейности: для л1обых двух функций у и у, определенных на отрезке [а, ЬЬ и для любых двух чисел Л и р, очевидно, справедливо равенство Е. (Лу + )ьу) = ЛЕ (1') + рЕ (д).

Определение. Формула Е. (1) = .5 (а(1) называется точной для ь=! многочленов степени г, если для любого многочлена Р (х) степени 'не воине чем г, для любого отрезна [а, Ь) и для любого числа и (т. е. для любого Разбиения отрезка [а, Ь1 на равные отрезки) справедливо равенство ь Е (Р (х)) = ~ Р (х) г(х. а У яр аясненне. Лоназать, что, для того чтобы наадратурная формула Е 111, соотаетстау1ощая узлам $; н весам рь 1 — — О, 1, ..., тн, была точной длн б 60. Некоторые вопросы приближенных сы и;глсния многочленов степени г, необходимо и достаточно, 'побы дла л|обого многочлсна Р (х) степени не выше г было справедливо равенство ! ы 1Р(х)бх= Х ргр(Ц.

а г=о Поскольку интерполяцнонный многочлен порядка г совпадает для многочлена степени г с самим многочленом, то квадратурпые формулы прямоугольников, трапеции и Симпсона точны соотв тственно для много- членов нулевои, вернои н второн степени. Однако, более того, квадратурная формула прямоугольников точна для много- членов первой степени, а формула Симпсона — для многочленов третьей степени. Докажем это. Действительно, в случае х;, хан+аз х; формулы прямоугольников (см.

(60.23) н (60.27)) Рис. 240 1ь(0 =1~ ) (хю ха-г). Простой подсчет дает, что для любой линейной функции справедливо равенство 1ь(Ах+В) = ~ (Ах+В) г(х. (60.28) "ь-т Это наглядно видно н на рис. 240. Суммируя равенства (60,28) по й от 1 до и, получим ь Еа(Ах+ В) = ~ (Ах+ В) г(х, а что н означает точность квадратурной формулы прямоугольников для многочленов первой степени. В случае формулы Симпсона (см. (60.26) и (60.27)) 1ь(0= — "['б Р(ха-т)+ 3 )( о )+ б 1(ха)1 (60.29) Достаточно показать, что для любого многочлена'третьей степени Р(х) в этом случа" 1ь(Р(х))= ~ Р(х)г(х, й=1, 2, ..., п. "ь-т В самом деле, если этп равенства будут доказаны, то„суммируя нд по й от 1 до и, получим и Ев (Р (х)) = 1 Р (х) с(х, а зо) 605.

Погренгноать к»одра!урнах фора!уг! к т. е. что формула Симпсона точна для многочленов третьей степени. Пусть Р (х) = Ах*+Вх'+Сх+О. Положим 9(х)=Вх'+ Сх+О, тогда Р (х) = Ах»+Я(х). Позтому 1» (Р (х)) = А1» (х') + 1» (Я (х)), к„ к» к,.! Р(х)!(х=А ~ х'дх+ ~ 9(х)дх, 1=1, 2, ..., п. (60.31) к»-1 » †! В силу того, что формула Симпсона точна для многочленов вто- рой степени, имеем к 1г,.

(!',)(х))= ~ 9(х)г(х, 1=1, 2, „., п. к» С другой стороны, непосредственным вычислением убеждаемся, что к» х' — х' к»-! 1(")=("-"-)~"' +-~-~"';"')'+7~=" ",'-' Это и доказывает равенство (60.30). Порядок погрешности квадратурных формул оказывается связан со степенью многочленов, относительно которых точна рассматриваемая квадратурная формула. Теорема. Пусть функция )' г раз непрерывно дифференцируеиа на отрезке [а, Ь1 и пусть число М )0 таково, что ))!')(х))(М, а=х~Ь. Если квадратурная формула (60.26) точна для многочленов степени г — 1 (г=1, 2, ...), пю сущеспыует постоянная с,~О, не зависящая от функции [, такая, чпю ь $ [(х) д — Еа «'-"'",' '.

(60.32) а Доказательство. Представим функцию 1 на каждом отрезке [х» „х»1, согласно формуле Тейлора, в виде [(х)=Р„(х)+г»(х), й=1, 2, ..., п, где к — 1 Р»(х) = ч)„ч ' (х — х~,)г рр (х»-!) !'! !'=- а 552 З 50. Некоторые вопросы прибхихееииык вьмивлвииа — многочлен Тейлора степени г — 1, и, следовательно, га (х) — остаточный член формулы Тейлора, который мы запишем в форме Лагранжа: Р"' (хь +За (х — хь )1 ( (60. 33) 0 = йь ( 1, й = — 1, 2, ..., л; тогда ь и ~ ~ (х) г(х — 7.

Д) = 'У', ~ 7'(х) с(х — ~Ч" ,)ь Д) = в и=. ! ха, а:=- ! и 1 хг, = Х ~ ) Р,(х) )х-1а(Ра(х)) + и= — ! х и 1 ха + ) , '~ ~ га (х) т(х — 1а (га (х)) . (60.34) а=-1 х В силу того, что данная квадратурная формула точна для многочленов степени г — 1, справедливо равенство хт, ~ Рь(х)г(х — 1„(Р„(х))=0, Й=1, 2, ..., и*'.

хь-! Поэтому из (60.34) следует, что ! ь "а и ')7(х)дх — Е(7) ~~,5, '~ )га(х) ~ г(х+ ~ )1а(гь(х))~. (60.36) а и= !а„ и=! Далее, из (60.33) имеем М /Ь вЂ” атх ~га(х) 1=.— 1~ — ~, й=1, 2, г!! и )' Применяя это неравенство, получим х» «ь гь х х==- ( г(х= ( ) ~,~ М(Ь вЂ” о)х (,~ М(Ь-о)ом г! пх 3 Х г! пгт! 'а-! а-! Полагая Р= и!ах ~рг~ (см. (60.27)), имеем т=а,!,...,ы (1ь(га(х))! (: ~) !Рг!!га($м!( ! о "' хтействительно, это следует из определения точности квадратурной формулы относительно многочленов данной степени, приведенного на стр, 559, если в этом определении в качестве отрезка [а, Ь) взять отрезок (ха,, ха] и полоа<ить п.= 1.