kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 106

60 б Приближенное вычисление лроизводнык Подставляя эти оценки в (60.35) и введя обозначение 1+(т -1-1) р г) Ф мы и получим неравенство (60.32). ( ) Из формулы (60.32) следует, в частности, что при вычислении интегралов с помощью квадратурных формул прямоугольников и трапеций (они, как мы знаем, точны для многочленов первого порядка, и потому для них можно взять с=2) ошибка имеет 111 порядок О( —,), а при вычислении интегралов с помощью формулы Симпсона (она точна уже для многочленов третьего порядка и можно взять г=-4) ошибка составляет уже всего лишь величину О Я Отметим, что при приведенном подсчете постоянных с, мы не получили для них минимальных значений. Этого можно достичь, усовершенствовав методы их подсчета.

Задача 43. Доказать, что для формулы прямоугольников можно взять ! 1 1 с,= .—, для формулы трапения с,= —, а для формулы Симпсона се= —. 24' !2' 2880 ' 60.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ Приближенное вычисление производных производится на основе формул, которыми они определяются. Например, поскольку 1(к+ л) — 1(к) 1'(х)= )ш а о л то так называемое разностное отношение 1(к +д) — 1(л) (60.36) дает приближенное значение производной.

При этом эта формула позволяет вычислить производную с любой степенью точности за счет выбора соответствующего й — это следует нз определения предела. Оценим порядок приближения производной, вычисляемой по формуле (60,36), относительно й. Предположим, что функция 1 имеет в окрестности точки х ограниченную вторую производную.

То~да по формуле Тейлора 1(к+ге) =1(к)+1 (к) й+ — 1 (к+8Ь), 0(6 ~ 1, отсюда "+",' "") =1(х)+",1 (к+ой), 0~6(1, от64 б бО. Некоторые вопроси приближенных вычисления т. е. Г(х+и) — т(х) (,( )+О()) Очевидно, что если в точке х существует производная, то их+И) — П вЂ” И) (ш „=)" (х). и-о Оказывается, что приближенное вычисление производной в точке по приближенной формуле ) (х-)-Ь) — 7(х — Л) (60.37) обеспечивает более высокий порядок малости погрешности относитсльно й. Покажем это.

Пусть функция ( имеет в окрестности точки х третью ограниченную производную. Тогда по формуле Тейлора ((х+й)=7(х)+)'(х)й+ — ')"(х)йе+-')" (х+()тй)йз 0:.В,.с-! ((х — й) — 7(х) — ~ (х)й+ — ~ (х)й' — — ~ (х+Вей)йе, 0(ве(!. Вычитая второе равенство из первого и деля на 2й, получим: ""+"' "" "' =('(х)+ —,'. (7 (х+О,й)+( (х+В,й))йе= =7'(х)+0(й'), й — «О. Таким образом, разностное отношение (60.37) аппроксимирует производную на порядок лучше чем (60.36). Для приближенного вычисления второй производной в точке х можно поступить следующим образом: приближенно вычислить первую производную в точках х и х+И, например, по формулам (60.36): ((х+Ь) — )(х) )т т й ((к+ 2И) — )(х+(т) тогда Р (х+И) — Г(х) ((х+2И) — 27(т+И)+)(х) И Разностиое отношение, стоящее в правой части полученной формулы и принимается за приближенное значение второй производной в точке х.

В случае, когда у функции ) в окрестности точки х существует третья ограниченная производная, то раскладывая числитель по формуле Тейлора, получим )( +2") — 2)( + и)+«) ). (х)+О(й) й .0 (60 36) 60.6, Приближенное вычисление производных Аналогично случаю первой производной можно показать (в предположении ограниченности четвертой производной в ок- РЕСТНОСТИ ТОЧКИ Х), ЧТО 1(х+ "1-"(х)+"х — ") =1" (х)+О(йв), 5- О, (60.39) т. е.

у приближенной формулы (60.39) для вычисления второй производной погрешность на порядок лучше, чем у формулы (60.38). Аналогичным образом вычисляются производные более высоких порядков и частные производные функций многих переменных. й 61. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Много раз в нашем курсе мы сталкивались с понятием эквивалентности: эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции (п.

8.3), эквивалентные отображения отрезка (и. 16.2) и области (п. 50.1), эквивалентные фундаментальные последовательности метрических пространств (п. 57.1), эквивалентные функции при построении пространства )ТХ, (п. 57.10) и т. д. Во всех этих случаях отношение эквивалентности обладало следующими тремя свойствами: если элементы рассматриваемого множества обозначить буквами х, у, г, ..., а эквивалентные элементы х и у обозначить символом х у, то: 1.

Каждый элемент рассматриваемого множества эквивалентен самому себе: х х (рефлексивность). 2. Если х у, то у х (симметричность). 3. Если х у и у г, то х г (транзитивиость). Всегда предполагалось само собой разумеющимся, что множество тех или иных элементов, в котором введено понятие эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности, симметричности и транзитивностн, распадается на непересекающиеся классы эквивалентных элементов, В действительности так и есть.

Сформулируем и докажем зго утверждение в общем случае. Пусть задано множество А = (х, у, г, ...) и некоторое подмножество множества его упоридочсниых пар, обладающее следующими свойствами: если пара (х, у) принадлежит этому подмножеству, то элементы х и у называются эквивалентными и пишется х у, прн этом выполняются условия рефлексивности, симметричности и транзитиввости.

В этом случае говорится, что в множестве А задано отношение эквивалентности. Теорема. Если в некотором леножествв задано отношение эквивалентности, то мпо множество является суммой своих попарно не пересеказои(ихся подмножеств эквивалентных между собои злемензпов. Доказательство. Пусть А=(х, у, г, ...) — множество, в котором задано отношение эквивалентности. Для каждого Баб в ба Разбиение л~ножества на классы эквивалентных элементов элемента хек А через А, обозначим множество всех элементов множества А, эквивалентных элементу х. Покажем, что А= 0А.

(61. 1) хоЛ и что это представление множества А в виде суммы подмножеств А. является искомым, т. е. что слагаемые А„попарно ие пересекаются. Прежде всего в силу рефлексивиости отпошсния эквивалентности для каждого х~ А имеем к х и, следовательно, хе= Ах, т. е. каждый элемент множества А принадлежит некоторому А„, поэтому Ас () Ах. хсе Л (61.2) С другой стороны, каждый элемент множества А„в силу самой конструкции является элементом множества А.

Следовательно, А„с: А и потому О А„сА. (61.3) ке Л аналогично А„«с: А,. Из (61.4) и (61,5) следует, что Ах =А„.. (61.5) Таким образом, если у множеств А, и А~ имеется хотя бы один общий элемент, то они совпадают; если же такового элемента нет, то эти множества, очевидно, не пересекаются. Итак, представление (61.2) действительно обладает всеми сформулированными в теореме свойствами. Д Из включений (61.2) и (61.3) вытекает равенство (61.1).

Докажем теперь, что любые два элемента каждого из множеств А, эквивалентны между собой, В самом деле, пусть у ~ А, ген А,; это означает, что р х и г х. В силу симметричности отношения эквивалентности отсюда следует, что х г, откуда согласно транзитивности — у г. Покажем, наконец, что слагаемые в правой части равенства (61.1) попарно не пересекаются. Именно, покажем, что для любых двух элементов х'и х" множества А, и А„. либо совпадают, либо ие пересекаются. В самом деле, пусть у множества А, и А, найдется хотя бы один общий элемент: у ен А, () А„- и пусть ген А„.

Поскольку было доказано, что для каждого множества А„ любые два его элемента эквивалентны, то г у, р х" и, следовательно, г х", т. е. г ~ А„.. Элемент г являлся произвольным элементом из множества Алэ поэтому А, ~А,-; (61.4) 62Л. Тоаолоеитесаае пространства 9 62. ПРЕДЕЛ ПО ФИЛЬТРУ При изучении курса анализа нам встретились два понятия предела: предел функции, частным случаем которого является предел последовательности, и предел интегральных сумм. Оказывается, что существует более общее понятие предела, называемое пределом по фильтру, которое содержит в себе оба указанные понятия предела как частные случаи. Существование ~акого понятия доставляет, безусловно, эстетическое удовлетворение, поэтому в настоящем параграфе будет дано его оп(геделение. Однако для изучения математического анализа введение этого понятия не дает по существу никаких преимуществ, чем и объясняется, что оно помещено в конце курса.

62.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Определение 1. Пусть Х вЂ” некогпарое множество и в нем задана систельа 1«=гг6) подмножеств, удовлетворяющих следующим условиям: 1'. Пересеьгение конечного числа множеств системы 1г принадлежит этой системе. 2'. Объединение лгобой созокупности множеств системы 12 принадлежит этой системе. 3'. ХОП, г?)ай.

Тогда множеспмо Х называепгся топологическим аросаьранаиеаи, система Й вЂ” его топологией, а множества системы Я вЂ” егв открытыми подмножествами. Для любойг точки х ~ Х каждое содержащее ее множество 6 ен Й называется ее окреспгностью, Если у любых двух точек тоггологического пространства существуют непересекающиеся окрестности, то пространство называется хаусдорфовым Примером хаугдорфова топологического пространства являетса всякое метрическое пространство, так как его открытые множества образуют систему, удовлетворяю:цую условиям 1, 2', 3 определения 1 (см. и. 5?.1).

Существуют и так называемые неметризуемые топологнческие пространства (см. об этом в книге П. С. Александров «Введение в теорию множеств и общую топологиюа. М., 1977). Для любой точки х ~ Х всякая ее окрестность заведомо не является пустым множеством, так как она содержит по крайней мере один элемент в саму точку х.

Определение 2. Всякая подсистема чг системы П открытых множеств пюпо,югического пространства называется базой пюно- " Ф. Х а у с дор4г (1868 — 1942) — иемеикий математик. У б2. Предел по фильтру логии этогс пространства, если любог нгпуспаог открыпзсг множгстзс пространства (т. г. непустог множество из системы ьг) являетсл объгдиненигм некоторой совокупности множеств из 6. Так, в метрическом пространстве базой топологии является множество 6 всех е-окрестностей всех точек этого пространства.

Действительно, каково бы ни было непустое открытое множество Сг данного метрического пространства, для каждой его точки х~ 6 существует такое е )О, что е а-окрестность содержится в 0: У(х, е)сб. Выб рем и зафиксируем для каждой точки хяО одну из таких окрестностей, тогда множество Ст очевидно будет являться их объединением: 6=- Ц и( хм о Упражнение 1.

Доказать, что в любом метрическом пространстве мноихество всех в-окрестностей с рациональным в всех точек этого цростран. ства образует его базу тополог1нь Топологию можно задавать с помощью базы топологии. Именно, если 6=(А) — база топологии ьз пространства Х, то согласно определению 2 ь) является системой всех подмножеств пространства Х, каждое из которых либо является объединением некоторой совокупности множеств из 6, либо пусто.

Определение 3. Система 6(х) окрестностей точки х топологичгского пространства Х называется локальной базой топологии в этой точке, если какова бы ни была окрестность и' точки х в просгпранствг Х, то существует такая окргспзность У еь 6 (х), что у с 1г. Очевидно, что совокупность всех окрестностей данной точки образует ее локальную базу топологии. Для любой точки метрического пространства ее локальную базу топологии образуют 1 также, например, все ее е-окрестности радиусов в= —, п =1, 2, ... и' Объединение локальных баз топологии во всех точках образует базу топологии всего пространства, ибо каждое непустое открытое множество можно представить„ как объединение входящих в и<го окрестностей его точек, где указанные окрестности берутся из рассматриваемых локальных баз топологии.