kudryavtsev2a (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 107

Тем самым топологию во множестве можно задавать, определяя локальные базы топологии в каждой нз его точек. С помощью понятия окрестности для топологических пространств дословно так же, как для метрических (см. п. 57.1 и и. 18.2) вводятся понятия точек прикосновения, предельных и изолированных, а также понятие замкнутого множества. б2.2.

Фильтры 62.2. ФИЛЬТРЫ В дальнейшем через 4)(Х) будем обозначать множество всех подмножеств множества Х. Определение 4. Пусть Х вЂ” непуспие множество. Множество 5с:ч)(Х) называется фильтром (или, подробнее, фильтром на множестве Х), если: 1". Для л~обых А' еп5 и А" ен 5 существует такое А спи, что А с: А' () А". 2 . 3 фТС, Я~ф. Из свойств !' н 2' вытекает, что пересечение любого конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, непусто. Примеры. 1.

Пусть Х~ дб, Х:э АьФ ф. Тогда множество $ = (А: А, с: А ~ ~3 (Х)) является фильтром на Х. Действительно, очевидно, что Авен 5, а если А' ен 5 и А ен 5, то А' () А":э А,чь ф, т. е. оба условия !' и 2' определения 4 выполнены. 2. Пусть хан Х. Тогда множество 5=(А: хан Аеас(ХЦ есть фильтр на Х.

Этот фильтр является частным случаем фильтра, рассмотренного в предыдущем примере, когда множество А, состоит из одной точки х. 3. Пусть Х = й) †множест натуральных чисел и А„= (т: т я 1»', т > и), и е= й(. (62.1) Тогда множество всех А„образует фильтр, обозначаемый Р»=',А„) и называемый натуральным фильтром. Проверим, что Р» — фильтр. Действительно, й!еяР», и следовательно Р»Ф 3, все А, ~ 9, а если т<и, то А„() А = А,енР» 4.

Пусть снова Х=)»'. Система подмножеств 3» множества М, каждое из которых является дополнением к конечному подмножеству множества 1»' также образует фильтр на й1, называемый фильтром Фреше и содержащий в себе натуральный фильтр Р». Покажем, что $» действительно фильтр. Если А вне» и Вен 5», то обозначим через и еп й! наибольшее из чисел, входящих в множество (ЛГ А) () ()» ° В).

Такое число существует, так как указанное множество в силу,определения $» состоит лишь из конечного мнсжества чисел. Тогда множество А„ен Р» (см. (62.1)) содержится в А () В. Далее, поскольку множество натуральных чисел й( счетно, а У' А, где А ен 5», по определению множества й» конечно, то А ~ ф. Наконец, У ~ б» и, следовательно, К»Ф ф. Таким образом 5» — фильтр. 5. Пусть Х вЂ” топологическое пространство и х ен Х.

Локальная база топологии Э(х) образует фильтр. Действительно, прежде всего, очевидно, что для каждой окрестности Рыб(х) имеем х ен У и потому У Ф. ф. Далее, для любых У ен З (х) и г' е= о (х) пересечение 0() 'г" является открытым множеством, содержащим' точку х, поэтому по определению локальной базы топологии существует такая окрестность 27 ~ 3 (х), что я7 ~ У () У. о 70 Э б2. Предел ло фильтру 6. Пусть Х вЂ” топологическое пространство, х — предельная точка пространства К, З(х) — локальная база топологии в этой точке н Ь(х) множество всех «проколотых окрестностей» этой локальной базы топологии, т. е. 3 (х) состоит из множеств (,г (х) ='-'(7 (х)'ч (х), (7 (х) я 3 (х). Тогда З(х) образует фильтр.

В самом деле, если (,с~ 3(х), то поскольку точка х является предельной для пространства Х, то существует точка у еи (7 м, следовательно, (7ыь ф. Далее, для любых (уеиЗ(х) и ьт ~З(х) имеем согласно их определению: У=Рч,(х), 1=Г ч(х), (7 АЗ(х), )л «АЗ(х). Пересечение (7Д)7 является окрестностью точки х, поэтому существует такая окрестность 1Р ен З(х), что йг с:0П1' и потому Ф'=йтЯх) с грП(7. Итак, З(х) действительно фильтр.

Определемме 5. Фильтр $,= (А) на множестве Х называется фильтром, который сильнее фильтра $в = гВ) на том же множестве, если для любого множества В еи 5« суи4ествует такое А еи $„ что Ас:В, Определение 6. Если фильтр Ягтг сильнее фильтра $в, а 5 сильнее Я„то филыпры 3г и Яе называются эквивалентными. Пример 7. Пусть З(х) — локальная база топологии точки х метрического пространства, состоящая из всех ее е-окрестностей, а З,(х) — ее локальная база топологии, содержащая только окрестности радиуса е= —, п=!,2, .... Фильтры З(х) и З,(х) эквиваг п' лентны.

Упражнение 2. Доказать, что фильтры в примерах 3 и 4 эквивалентны. Определение 7. Фильтр гтг называется подфильтром фильтра $„аьги каждый элеменгп фильтра Яг является и элеменпгом фильтРа 5е, и. е. если г«»с: бт. Очевидно„что фильтр сильнее всякого своего подфнльтра. Определение 8. Каждый подфильтр фильтра, эквивалентньгй самому фильтру, называетпся его базам. Например, в примере 7 фильтр З,(х) является базой фильтра З(х), а натуральный фильтр Р» — базой фильтра Фрегпе 5», построенного в примере 4. Иногда бывает удобно рассматривать фильтры, удовлетворяющие еще одному доволиительному условию. Определеаме 9. Фггльтр $ на множестве Х назьааегпся полным„ если из условий А е= оч В си сВ (Х) и А ~ В следуетп, что В с=$.

б2.2. Филю ри эы В выше рассмотренных примерах 1, 2 и 4 фильтры являлись полными. Например, в примере 4 (фильтр Фреше) это вытекает из того, что если А ~ $н и, следовательно, его дополнение в множестве натуральных чисел М конечно, то любое подмножество натуральных чисел В, которое содержит А, также имеет конечное дополнение в Д1, ибо, если А сВ с: М, то М' В с М", А. Фильтры же, рассмотренные в примерах 3, 5 и 6, уже не являются полнымн. В примере 3 натуральный фильтр Рн не является полным, поскольку ие всякое подмножество А множества натуральных чисел, содержащее множество вида А„ (см. (62.1)), само имеет такой вид, т.

е. принадлежит натуральному фильтру гн. Фильтры, рассмотренные в примерах 5 и 6, не являются полиымн, так кяк не всякое множество, содержащее открытое множество, является обязательно само открытым. Иногда в математйческой литературе полный фильтр называется просто фильтром, а фильтр в смысле определения 4 базисом (или базой) фильтра.

Это оправдано тем, что справедливо следующее утверждение. Лемма !. Всякий фильтр является базой некоторого полного фильтра. До к аз а тельство. Пусть $=(А) — фильтр на множестве Х. Определим множество 9, как множество всех таких подмножеств В множества Х, что каждое из них имеет в качестве своего подмножества некоторый элемент фильтра $, Короче, В оп 9 тогда н только тогда, когда существует такое А с $, что А с В. Покажем, что 9 является полным фильтром, а фильтр $ — его базой. Если В' е9, В" еп9, то существуют такие А' я$ и А" я$, что А' с: В', А" с В".

Поскольку $ — фильтр, то найдется такое А а= $, что А ~ А'ДА". Заметив, что А'ПА"с:В' П В", получим А с: В' П В" и, следовательно, согласно определению 9 множество В' () В" является его элементом: В' П В" ~ 9. Тем самым выполняется условие 1ь определения 4. Если бы ф оп 9, то снова, согласно определению 9, нашлось бы такое А оп$, что А с= (О, ио тогда А = ф, т.

е. пустое множество оказалось бы элементом $, что противоречило бы тому, что $ — фильтр. Следовательно, ф ~ 9. Кроме того, так как А ~ А, то каждое множество А ея$ является и элементом 9, т. е. $ с: 9, а поскольку $, как всякий фильтр, не пуст: $ ~ ф, то не пусто и множество 9: 9 ~ 6. Таким образом 9 удовлетворяет всем условиям определения 4, т. е. является фильтром. Его полнота тоже сразу вытекает из его определения. В самом деле, если В оп 9, то существует такое А е= $, что А с В. Поэтому для каждого множества В', такого, что В с В' с: Х, также справедливо включение А с: В', которое и означает, что В' оп 9. Наконец, 5 является базой полного фильтра 9.

Действительно, с одной стороны, как было показано, $с:9, т. е. фильтр $ 572 З 62, Предел по Фильтру является подфильтром Ж; а выше отмечалось, что всякий фильтр сильнее любого своего подфильтра. С другой стороны, определение фильтра Я как раз и означает, что фильтр Д сильнее фильтра 6): каково бы ни было ВяСь) существует такое А евй, что А с В (см. определение 5). Итак, фильтры й и М эквивалентны.

Ц Лемма 2. Пусть й,— филыпр на множестве Хе, б — филыпр на множестве Х, и ~'='-'-(С: С = А х В, А е- =5„В ен 5,);. (62.2) тогда й является фильтром на произведении Х,хХв множетпв Х, и Х,. Фильтр и, определенный равенством (62.2), называется произведением фильтров 5, и К. Если й является произведением фильтров й, и й„то пишется 5=$1 хйе. Доказательство. Пусть С, ~ $, и С,й бм тогда, согласно определению (62.3) существуют такие А, ев'йо А ев (5 и В1 ((м В,е='бв, что С,=А1хВ,, а С,= А.

хВ,. Поскольку й, и 5,— фильтры, то найдутся такие А ~$, и В е-=5„что Ас:,А, Д А„В~В, () В,. (62.3) В силу того же определения (62.2): А хВ ен (), причем из (62.3) следует, что АхВс: (А,хВ,) () (А,хВ,), ибо, если (х, у) ен А х В, то х е А, у ен В. Следовательно в силу (62.3) х ен А, Д А„у я Ве Д Ве, поэтому (х, у) е А,х В, и (х, у) е ен А,хВ„т. е. (х, у) ен (А,х В,) () (А,х В,). Наконец, каждое С =АхВ чь ф, А ен$п В Щ, ибо в силу определения фильтра А~(В, ВФ(д.

Из того, что ЬФ ф н б,Фф, следует, что и й='й,х$,Ф 6. Таким образом й = йт х йь удовлетворяет определению фильтра. Д Лемма 3. Пусть Х и У вЂ” некоторые множества, 1: Х-~-У— отображение Х в У и и =(А) — фильтр на множестве Х. Тогда совокупность всех образов ~(А) множеств из фильтра й является фильтром на множестве У.

Фильтр (Д(А)), А ~й, называется образом фильтра о при отображении г и обозначается через ) (()) = (~ (А) ), А ен 3. (62А) Докажем, что 1(8) действительно является фильтром. Пусть ~(А) еп)(6) ~(В) е-=)(о), Аен6, В я о. Тогда существует такой элемент С фильтра $:С ~ й, что С с А Д В. Поскольку )'(С) с с~(А () В) с)(А) () )(В), и по определению системы )(й) имеем Г(С) ен~(8), то первое условие определения фильтра (см.