А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 8

Скорость изменения объема Ре области, занимаемой пеизл1енной массой, будет, л г —— ) отаБ (4.4) Ниже на выкладки, сопровождающие утверждения н определения, можно не сосредоточивать особого внимания, так как они обстоятельно делаются в следующих параграфах.

Среда с массой те, заключенная внутри движущейся поверхности, называется частицей тела, или физической частицей; в частности, бесконечно малой частицей мы будем называть среду с массой рЛг. Координата хе(г) центра массы частицы: хе = ~ хР (х, 1) а'Р', (4.5) /ле Р 47 Основные понятия МСС вя — = о(х, 1). ж (4.8) Рещение этого уравнения при начальном условии е=-О, х=х (4.9) и=х — х (4.11) называется вектороси пере,чещения бесконечно малой частицы и на основании (4.10) может рассматриваться, как и все другие, приписываемые ей величины, либо как функпия х, 1, либо х, й Понятие плотности р сплошной среды в МСС доопределяется требованием, чтобы масса, заключенная внутри границы Зя, не изменялась во времени, т.

е. жп 'и à — — 1 р (х, 1) ~Л/ =- О. ',4.12') йт сд У Именно зто требование ставит величину р в соответствие постоянству числа частиц системы Ян, а о — средней по ансамбл|о скорости системы (гл, 1) и называется законом сохранения массы. Соотношение (4.!2') чисть формалино может быть приведено квиду ЯЗ,1) — — + д)у (р о) = О. др дс (4.12) На основе понятия частицы естественно вводятся понятия массовой силы, действующей на частицу, как интеграла по 1'в от г(х, 1)рс(у, и потому поле вектора то(х, 1) рассматривается как сила, действующая на единицу массы, а грс((т — на объем (с1(т')в бесконечно малой частицы.

Также вводится ускорение ия(х, 1) бесконечно малой физической частицы: щ(х, Т)— ио(х, с) дает закон движения точки среды х =- х (х, 1). (4,10) По свойству функции о(х, 1) решение (4.10) однозначно и непрерывно по х, 1, откуда следует непрерывность преобразования начальной области, занятой средой,. в область, занятую ею в момент б Разность ки!!еизтикА и ВнутРенпие нАпРяжения »г». !Г» где х удовлетворяет уравнениям (4.8), (4.10). Так как х = х(х, !), то — дй дй а!= — =— и! д! дй ;Π—, (4.13) — дэ где конвективное ускорение, т. е. вектор о — имеет компоненты дх о1 — -го! ' оз 1=1 2 3. дэ1, дь1, дэ! (4.14) дх1 дх, дх;! Скорость изменения во времени какой-нибудь функции ф(х, 1), ха- рактеризующей физические свойства частицы в (х, 1), д Р д»Р — д!Р +о= —, и! д! дх (4.15) где — д»р д!Р, д<р, д!Г = = о! — + ай — -'Газ дх дх, дх, дх» ' называется полной или субстан!(ионаланой производной !р.

Согласно (4.!3) ускорение есть полная производная скорости по времени. Кинетическая энергия Кг частицы в объеме Уг, внутренняя энергия (!г, энтропия 5г и другие экстенсивные (пропорциональные массе частицы) величины вводятся по нх определению для постоянной массы тг, т. е. соответственно Кг —— ~ ~ »(У, (Уг =- ~рис(У, 5 =- ~рза!У, ... (4.18) У, Уг где и, з — плотности внутренней энергии н энтропии в точке среды.

Свободная энергия ф(х, !) определяется соотношением ф =- и — Тз, (4.18) совпадающим с определением (3 3.!). Температура Т(х, 1) и другие интенсивные величины вводятся как некоторые полевые функции х, г; ~все эти функции ниже доопределяются уравнения»ии. Изучаемые в МСС величины являются аналогами классической и статистической механики замкнутой системы, хотя исторически они введены в МСС до создания статистической механики и совершенно независимо. (Некоторые из них введены в статистическую механику позднее как аналоги понятиям МСС, например понятия напряжений, деформаций, потока тепла.) Вводимые в МСС для тх аналоги уравнениям количества движения и момента количества движения абсолютно твердого тела Основные понятия МСС приводят к понятию внутреннего напряжения Рт. Поскольку векторы внешней массовой силы г" (х, 1) и ускорения м(х, г) уже введены, найдем разность Ре: ) р (аг — гт) Л' =- Р . На основании ранее введенных определений левая часть (419) равна т нге — тз1ге и поэтому (4.19) лгеие ..— гггЯ -;- У'е, а прп стягивании 5е к точке х отсюда получается (4.20) р — „=- р с -:с Р(х, 1).

(4.21) Уе = а,а, ( 'у'г — 'у'г) + а;а, (у'з — Рз) + а,а, (Рз — у'з). Применим теперь соотношение (4.19), получим с точностью до ма- .чых высшего порядка По аналогии с динамикой абсолютно твердого телавга трактуется как сулгяа всех сил, дейстнугощах на поверхность 5е тела (сумма всех сил, действующих внутри объема Р в (4.19) уже учтена).

с".ледоватсльно, необходимо ввести плотность вектора силы Т',, (х, 1) в каждой точке поперхпости 5к и понимать ес как действие в этой точке на 5е части тела, находящейся вне 5е. При таком понимании мы должны считать У,, (х, г) зависящим не только от х, й по и от ориентации площадки д5=тй5, т. с. от т. Значит Р, — сложный вектор, структуру которого надо выяснить. Пусть поверхность 5з в момент 1 совпадает с поверхностью малой области, имсгощей вид прямоугольного координатного параллелепипеда (рис.

4,1) с бесконечно малыми ребрами аь аь аз. На каждой грани ч — постоянно, координаты х отличаются между собой на величины порядка аг, аз или аз и, значит, с точностью до бесконечно малых г-, — постоянны в пределах каждой грани. Главный вектор снл, действующих со стороны поверхностг~ на объем а)г=агазаз, получим сложением всех векторов г""г =- Ры (г=1, 2, 3) (т; есть единичный вектор, направленный по оси х;1. Обозначая штрихом и двумя штрихами значения этггх векторов на противоположных гранях, получаем главный вектор поверхностных снл, действующих на параллелепипед с ребрамп аь аз, аз.' кпнемлтикл и внгтренние напряжения ~г,л, (ры — г) а,а,а, = т-и = — азиз Л 4Т', + а,а,А Узе + а,а,Л У'з, (4.22) где ЛТ, = 'у'; — Ж.

Поскольку этп разности, согласно (4.22), имеют порядок а, (4.23) т. е. опи стремятся к нулю прп а; -О, следоваеельио справедлив закон равенства действия и противодействия: Ж= Щ, Внося значения (4.23) в (4.22) и сокращая на а1азаз, получим (4.21), причем (4.24) Если применить соотношение (4.21) к координатному тс~ раэдру (рпс, 4,2) с наклонной плоскостью, имеющей внешнюю нормаль и с ее паправляюшими косинусами т, ((=1, 2, 3), то аналогичными выкладками получим выражение плотности силы гауз, па наклонной площадке через координатные векторы еуь;: Р,(х, 1) — — Хауьзтз (4.25) По определению подчиняющиеся таким преобразованиям векторы образуют объект, нс зависящий от выбора системы координат Рис. 4.2 Рис.

43 (х;), называемый в МСС тензором внутренних напряжений, Здесь мы обозначим ' егор; он вполне определен векторами Рз или их компонентами, обозначаемыми ом в пространстве наблюдателя (х;). Выражение Рь(У'з) ~ т-'(он) — означает, что т"з — векторные, ' Вообще, в зависимости от удобства буиеы обозиачать теизоры либо Т, либо То. Оеноонме понятие МСС а о;, — скалярные компоненты тензора Р. Определение и уравнение момента количества движения лге вводится аналогично и в результате доказывается, что тензор Р симметричен, 'т.

е. для его компонент справедливы равенства ос=-пя (если пет специального внешнего момсптного поля снл). Умножая выражение (4.21) на о и интегрируя результат по ооьему $'е массы тю после преобразований получаем закон сохранения механической энергии (4.26) де называютсЯ А — мощностью массовых сил Р в объеме )хк н поверхностных снл Рчна Яе, ]т' — мощностью внутренних напряжений (тензора Р) А == ) рГ Л -, ) Жх-. Ю, зч )т' = ) Г,Л', ]р',:=,~ опон, ч — ьел (4.27) причем %1 — плотность мощности. При этою возникают величины о;ь образующие тензор скорости деформации с компонентами (он) = де((о), (4.28) вполне определяемый вектором о(х, е).

В МСС вводится также понятие тензора дегрормаций еп, компоненты которого формулами, аналогичными (4.28), выражаются через вектор перемещения а(х, г) Кинематический смысл оо и е,; состоит в том, по они однозначно определяют соответственно скорость изменения и изменение формы границы рассматриваемой физической частицы, которая при ~=.]е заключена в бесконечно малом кубике с ребром а'; оказывается, что этот кубик в любой другой момент е)го становится косоугольным параллелепипедом с размерами ребер порядка а', изменение объема определяется плотностью р(х, 1), которая однозначно выражается через тензор еи. Термодинамические соотношения в МСС вводятся в предположении, что малую частицу с массой те можно рассматривать как термодинамическую систему с макроскопически однородным по объему распределением средних по ансамблю, причем время т„ кинемлтикл г! Внятен!гнив нлпгяжения 1г».

ы, системы (ч 2) мало настолько, что бесконечно малый с точки зрения МСС интервал времени сгг очень велик сравнительна с т„. и малая с позиций МСС частица ггг«=рг(У«лвлпетсл системой 5н с очень большим числом гУ частиц, К этому есть основания, так как масштабы рассматриваемых в й(СС времен г и размеров тел 1 предполагаются несоизмеримыми с масштабами представительных систем статистической механики. Применительно к ти имеющей форму кубика объемом единицы, мощность К, является секундной работой внешних по отношению к пг«сил Р!.

За время г(! работа их будет равна )Уг!иг, приращение внутреяпей энергии равно р — М. «Сообгцаемов тепло» гги ггг обозначим ггс(г н положим в соответствии с законом сохранения энергии (обозначив Й через и) гги р — = )Уг+О, ш (4.29) где Ю'* называется рассеянием. В системе 5н (э 2) эптропия— фУпкциа тех же паРаметРов состоЯнии (1гь, 1гг, ...), от котоРых зависит и и, но учитывая в целом перавновесность состояний и „ рассеяние ))т"', вообще говоря, отлично от нуля. Свободная энергия вводится, по определению, формулой (4.18).

Лоток тепла. определяется как вектор д(х, г), создающий приток тепла Як к частице через ее поверхность, точнее, он вместе с Я доопределяется одним скалярным соотношением г')х =- — ) д т д5, г~, ш ) (г г(У, Б 1' (4.31) причем и, %'г, Ц вЂ” функции (х, 1) при условиях (4.8), (4.10). Система 5х, составляющая тг, за время т — 1, прошла через последовательность очень болыпого числа .различных состояний, медленно и мало меняющихся. Кроне внутреннего параметра — температуры Т(х, 1), внешними параметрами 5н являются изменяющийся обратно пропорционально р(х, 1) объем и «перекосы кубика», характеризуемые тензором еп(х, 1). Так как длительный процесс за время 1 — 1« в целом неравповесный, то компоненты тензора деформаций ег„ вообще говоря не являются параметрами состояния, определяющими, плотности внутренней энергии и(х, 1).