А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 7

Из (3.34) находим свободную и внутреннюю энергии газа В качестве простейшего примера физической равновесной системы.рассмотрим разреженный одяоатомиый газ, заключенный в объеме К Система является простой, причем массы всех частиц одинаковы (пгг=т), и потому постоянная Вг, определяемая из (3.32), равна массе атома (В,=т). Атомы на больших расстояниях не взаимодействуют, имеют пути пробега в пределах всего объема )г и кратковременно взаимодействуют только при «столкновениях».

Поэтому такой газ можно рассматривать как идеальный, т. е. потепциальнуго энергию Ь' положить равной нулю. Из (3.30) имеем 40 1Г . 6 системл члстиц и контингкм ф = — — Л1йТ (1пТ+ — 1пР-,'- сопз1 ~, 3 Г 2 2 ~ 3 Л = — ')Уйт. 2 (3.36) Поскольку для рассматриваемого газа Ф й= (Н) = (~~1,' — ") = Ч( — 'йт), то 3кТ72 есть средняя кинетическая энергия одного атома — = — 'яТ. 2 2 (3.3?) Внешней силой для нашего объема У газа является давление — р (р)0), так как работа б'А, сообщаемая газу, равна 6'А =- — рЛ'.

Из (3.26) и (3.36) находим выражение энтропии и уравнение со- стояния; 5 = Уя(!п(РТ'~ ) + сопз11, р = — — = —, рР = )у)еТ ж етТ, 31 (3.38) Теплоемкость при постоянном объеме при Ми=от на основании (3.27) равна ЗА сг = —. 2и Из (3.37) найдем характерную скорость атома и ' )~е,и се к ' "с як 2 1= —, и„= Ус(еос. пст где М вЂ” молекулярный вес.

Используем еще некоторые формулы для средних величин без их вывода. Длина 1 снободного пробега атома, имеющего эффективный диаметр е), выражается через скорость ос, число молекул в единице объема Л'/Р и число столкновений одной молекулы в единицу времени и„: 41 Терхтвдинимика аа,кинутых равновесных систем Сведения о некоторых газах даны в таблице для Т=ЗОО К: оо км(сек лст !/сек Всиесство Не Аг Ис 1,26 0,40 О, 475 6,5 10в 5,7 1Ов 7,3.10в 4,0 39,9 28,0 1936 694 654 2,2 3,6 3,7 Неточность уравнения состояния (3.38) увеличивается с увер1т личеннем давления р.

В таблице дано значение — для тех же теТ газов при различных йч р=вс атм а=свив асам Вещество Р=1 слсм Не Аг Мв 1,024 0,971 0,996 1,44 1,675 1,99 1, 0005 0,9999 0,9998 Поправка для больших давлений и температур может быть най- дена при учете потенциала взаимодействия молекул (т'(с)); тогда получается уравнение состояния: рк в (т) О (т) — „г -=' Коэффнциенты В(Т), С(Т) определяются путем вычисления интеграла состояний Е Потенциалы взаимодействия. Неполярныс молекулы илн ча- стицы обладают сферической симметрией, т. е.

не поляризованы, полярные имеют несимметричную относительно центра масс фор- му. Первые подобны шарам, вторые — эллипсоидам. В газах прн больших р, в жидкостях и твердых телах потен- циал У(с7) взаимодействия частиц полностью определяет их свой- ства. Силы взаимодействия между двумя молекулами убывают с расстоянием и потому важную роль играют взаимодействия бли- жайших соседей, т. е. потенциал пары атомов. Однако сложные атомы и молекулы являются полярными и сила взаимодействия пары зависит от присутствия третьего и потому описание систем суммой парных потенциалов является более или менее прибли- женным.

Типичные неполярные парные потенциалы (рис, 3.1): 1) барьер радиуса г=о (рис. 3.1а): и= (3.39) О, г)а, 43 Термодинамика вамкнутых равновесных систем где ге,е,— радиус-вектор, соединяющий уе;тую и й;тую частицы Например, если все частицы одинаковы, то Ц,,н,=-У((гмн,~). Обозначая -е гю ое — начальный постоянный радиус-вектор й-той частицы и вектор ее смещения относительно точки г», так что (рис, 3.2) г„= ге + д», -а, получим выра>копие (у(д), как функции всех дс и начальных координат точек. Для идеального кристаллического тела с периодической решеткой, находящегося в равновесном состоянии, при малых колебаниях атомов около положения равновесия У(д) можно разложить в ряд по д;; значениям д;=0 соответствует положение равновесия и потому Рис. 3.2 (е', ) = 1, 2, ..., 3 йт).

Ограничиваясь квадратичными члепамп разложения, получим зл (7 — (У + ~~У,' С,, 7, др (3.43) ',У=,1 где С;,— постоянны, ста — начальная энергия в состоянии д;=О. Интеграл состояний е. в этом случае имеет вид (3.33), причем интеграл сс (3.30) может быть вычислен, если допустить, что все координаты д, изменяются водннаковойобласти ( — оо -де -оо). Прн этом условие (=О на границах Гр и Г будет выполнено, так как квадратичная форма (3.43) положительна.

В случае, когда С;;=СЬ;;,,причем С)0 и Уо пе зависят от Т, из (3.30) находим сс=пйТ!С, из (3.34) Ч = — ЗттйТ)пТ+С1Т и из (3.27) получаем коэффициент теплоем кости с; =Зй/т. глдвд и КИНЕМАТИКА И ВНУТРЕННИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МСС Будем рассматривать иасэолько большие тела, что весьма малые их части объема с(Г будут содержать достаточно много частиц и потому для этих малых областей тела можно ввести понятия макроскопических величин плотности тела, перемещения, скорости, ускорения, внешних сил, внутренней энергии и других в смысле средних по ансамблю (гл. 1, ~2). Идеализация истинного физического тела в МСС состоит в том, что все рассматриваемые средние величины принимают в качестве истинных. Количество и математическая природа вводимых средних величин должны быть таковы, чтобы могло быть с достаточной точностью описано внутреннее состояние тела и взаимодействие между телами.

В МСС главным образом рассматриваются механические и тепловые взаимодействия и деформации малых объемов, причем иногда учитывается действие иа них электромагнитных полей, химических реакций и др. Для изображения сосгояний и процсссов в й!СС используется трехмерное евклндово пространство с различными системами координат и классическое время. Выбор системы координат произволен и не должен сказываться на протекании физических явлений. Значит, математическими объектами, характеризующими физические явления, долмсиы быть такие, которые ис зависят от ча-' стного выбора системы координат, н физические законы должны выражаться через эти объекты математическими соотношениями, инвариантными относительно преобразований систем координат.

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков: нулевого порядка — скаляры (плотность, энергия и др.), первого йорядка — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость и др.), второго порядка (тензоры деформаций, внутренних напряжении и др.). Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, следовательно, ограничены вместе с их производными в области тела. Определения основных величин в МСС можно рассматривать как априорные, и тогда получаюшиеся уравнения, подобно закону Ньютона для точки ах=с'„станут содержательными законами только на основании экспериментально обоснованных гипотез, устанавливавших дополнительные связи между введенными величинами.

В случае гнх=г„дополнительная связь дается гипотезой Основные ваилтчя МСС т= (рай~, (4.1) Координатой центра масс называется точка хс, определяемая равенством тхс = ( хр(х, 1) дт'. (4.2) Расширенную область 6, включающую границу 5 и окрестность со стороны внешней нормали, обозначим 6*. Предполагая 6 одпосвязной и стягивая ее внутрь 6* к точке х, заключаем, что р(х, 1)дт' есть масса среды в объеме дт', а хс отличается от х на величину порядка й' дг' по модулю.

Пусть дано поле вектора о(х, т), называемого скоростью среды. Величину рЛ'о назовем импульсом или количеством движения массы рйг'; и(х, 1) — вектором скорости массы рйК Количеством движения массы л1 естественно назвать тогда выражение /иос= ~'ро,Л:, (4.3) ис — вектором скорости центра масс. Г»='1(х, 1). Решение уравнения тх )(х, г) составляет математическую, а нахождение г«=1(х, т) — физическую задачу.

Стремление сохранить понятия н общий вид (форму) соотношений между вводимыми величинами, такими же, как в механике системы и термодинамике, подсказывает целесообразньш набор и характер вводимых в МСС величин. Каждое из вводимых ниже определений изучающему МСС целесообразно сопоставить с соответствующим средним по ансамблю (по времени), считая, что системе 5н соответствует некоторая конечная (т) или «бесконечно малая» (рЛ~) масса..

Пусть 6 — произвольная конечная область неподвижного пространства наблюдателя, х(хь хз, хз) — радиус-вектор некоторой точки, Р— объем, 5 — граница 6, т — единичный вектор внешней нормали в како1ьинбудь точке хв границы 5, д$'=дх,дхздхз — элемент объема; д5=тд5 — вектор-элемент площади поверхности 5. Плотностью греды в нскоторой точке х в момент времени 1 назовем неотрицательную однозначную функцию р(х, (), определенную в области 6 и на границе 5, а также в окрестности 5 со стороны внешней нормали т. Массой среды в объеме г' называется интеграл по объему У области 6 кинемАтикА и ВнутРенние нАНРяжения 1Гл.

1Н как и его скорость о ®1 — 1 о /И в ~ Роде' Р (4.6) будут изменяться со временем. Стремясь сохранить кинематическое соотношение механики системы материальных точек между скоростью и координатой центра масс, положим Ехе(0 о (1) = (4.7) Стягивая б в точку х получим из (4.5), (4.6) хе — — х+ 0(раей' ); ое = о+ малая высшего порядка. Таким образом, значение о(х, 1) в точке х можно рассматривать, как скорость движения бесконечно малой частицы илн точки среды с координатой х в момент й Если х — радиус-вектор бесконечно малой частицы, меняющийся по закону х(1), то ее скорость о(х, 1) равна х. Отсюда получается дифференциальное уравнение траектории движения бесконечно малой частицы: ДвижУЩейсЯ гРаниЦей Яе (с внУтРенним объемом Р'е) неизменной массы те среды называется граница 5 односвязной области О, которая при изменении времени г па 1+И перемещается на величину отйй оставаясь в области б*, причем о и внешняя нормаль т берутся в одной и той же точке М на 5е.