А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды

В книге даны основы механики сплошной среды (МСС): физическая трактовка основных понятий и статистическое обоснование законов МСС; аксиоматика МСС; кинематика и теория внутренних напряжений в средах; физические законы — сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии; методы получения замкнутых систем уравнений, основные типы граничных условий и постановки краевых задач МСС. Ланы заикнутыс системы уравнений для классических сред (газов, жидкостей, упругих тел) и для сред со сложными свойствами (вязко-упрутих, нелинейно вязких, упруго- и вязко-пластических, плазмы и др.) при действии электромагнитного поля. Лапа теория размерностей и подобия с ревизионным анализом уравнений МСС, критериями подобия в моделирования, с примерами автомодельпых решений.

2-4-2 142 — У! Предисловие среды 118 118 124 132 138 и теория упругости Литература 246 Глава 1. Система частиц и континуум . 9 1. Основы аналитической механики . з 2. О сгагистичсском описании состояния системы . 9 3. Термодинамика замкнутых равновесных систем Глава П. Кинематика н внутренние напряженая . 9 4. Основные понятна МСС . 9 5. Лагранжево и эйлерово представление движения сплошной з 6. Леформацня окрестпостн точки сплошной среды . 7.

Малые и бесконечно малые деформации 8. Тензор напряжений 9 9. Напряжения н деформации в произвольных координатах . Глава ! П. Физические законы и постановка задач МСС . й !О. Уравнения движения $11. Уравнения сохранения энергии и баланса энтропии . $12. Связь между напряжениями и деформациями н получение замкнутых систем уравнений МСС , 9 13. Постановка задач МСС и граничные условия Г л а в а !Н. Классические среды. Аэрогидродинамнка э 14. Идеальные жидкости и газы $ !5. Вязкие жидкости й 16.

Линейная теория упругости й 17. Нелинейная теория упругости Глава Н. Среды со сложными свойствами . $18. Идеальные нелинейные жидкости, твердые н сыпучие тела . $19. Процессы малых деформаций в начально изотропной среде. в 20. Упруго-пластические деформации твердых тел $ 2!. Линейная теория вязко-упругости . в 22. Влияние электромагнитного поля Глава Н1. Методы теории размерностей 9 23. Основы теории размерностей н подобия .

$24. Примеры ревизионного анализа и некоторые задачи й 25. Об ннвариантиых решениях уравнений МСС . 7 9 15 29 44 44 54 61 78 90 105 145 146 153 160 169 178 182 188 200 208 2!5 224 224 232 242 Предисловие Механика сплошной среды (МСС) является разделом теоретической физики, в котором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред. В ней вводится фундаментальное понятие материального континуума и полевые характеристические функции, определяющие внутреннее состояние, движение и взаимодействие «частиц» среды,.взаимодействия между различными контактирующими средами. Для этих функций устанавливаются конучпые, дифференциальные и другие функциональные уравнения, представляющие физические свойства среды и законы сохранения массы, импульса и энергии; определяются начальные и граничные условия, при которых все характеристические функции могут быть найдены чисто математическими методами.

Исторически МСС развивалась параллельно с аналитической механикой системы материальных точек н абсолютно твердого тела. Но ее основные понятия полей: плотности массы, векторов перемещения и скорости среды, тензоров внутренних напряжений, деформаций н скоростей деформаций, плотности кинетической и внутренней энергии и энтропии, а также законы сохранения не могут быть получены как следствия из аналитической механики и термодинамики. МСС имеет свою независимую аксиоматику, свои специфические экспериментальные методы изучения свойств среды и развитые математические методы; она позволяет с удивительной точностью предсказывать макроскопические явления в природе, анализировать н выбирать параметры различных проектируемых аппаратов, сооружений, конструкций и процессов.

МСС вЂ” обширная и очень разветвленная наука, включающая теорию упругости, вязко-упругости, пластичности н ползучести, гидродинамику, аэродинамику и газовую динамику с теорией плазмы, динамику сред с неравновесными процессами изменения структуры и фазовыми переходами. Естественно, что литература по всем этим разделам МСС, ее приложениям в машиностроении, строительстве, металлургии, горном деле, исследованиях строения Земли и космоса, прогнозированию землетрясений, погоды, приливов и многим другим приложениям очень обширна. Этот учебник МСС, рассчитанный на нормальный годовой курс в университетах, составлен на основе лекций автора по МСС на механико-математическом факультете МГУ, читавшихся и из- данных МГУ (на ротапринте) в 1965 — 1966 гг. Его содержание, изложенное в шести главах и представленное оглавлением, составляет базис МСС: изучающий узнает полные замкнутые системы уравнений, типичные граничные условия, простые методы их анализа на основе теории размерностей и подобия и получит доступ к свободной проработке и активному использованию любого из перечисленных выше разделов МСС; но что, пожалуй, более важно — изучающий познакомится с методом построения полных систем уравнений МСС, особенно — уравнений состояния среды, т.

е. в определенной мере научится переводить на язык математики интересующие практику новые явления в новых материалах и средах с заранее неизвестными свойствами. Позтому автор придает значение главе 1, в которой разъясняется физическое содержание вводимых в курсе основных понятий и законов. Подробное изложение азрогидродинамикн, теории упругости, пластичности и других разделов МСС должно в различных вариантах читаться в специальных курсах лекций в зависимости от специализации. Метод инвариаптных решений (з 25) обычно не включается в основной курс лекций.

Однако он существен для получения фундаментальных решений уравнений механики сплошной среды. Автор благодарен сотрудникам кафедры теории упругости МГУ за помощь в подготовке рукописи. А. А. Ильюшин ГЛАВА СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ Физическое тело обычно представляет себе в виде системы большого числа частиц„взанмодействуюших между собой, с пограничными телами и находящихся в поле внешних снл. Для такого тела предполагаются справедливыми классические законы механики системы материальных точек (или законы квантовой механики). Предполагается, что любая частица системы будет взаимодействовать с границей лишь в непосредственной близости к ней. Взаимодействие между любыми двумя частицами системы не допускает их соударения, но позволяет им как угодно удаляться.

Например, центральную силу взаимодействия двух электрически нейтральных атомов часто представляют в виде где 6! — характеристическая, выраженная в градусах Кельвина (К'), температура взаимодействия атомов, Й=1,38 10-м эра/(К')— постоянная Больцмана, г — расстояние между атомами, а — равновесное расстояние (Р=О). При г(а сила г' является отталкива!ошей, г- — сс при г-эО; при г>а — притягивающей; при 1,11 а>г>а сила притяжения г возрастает, а затем (г>1,11 а) убывает по мере удаления частиц, составляя менее 1% от максимальной уже при г=й а.

Сила взаимодействия частиц Г, следовательно, возникает прн сближении и ночева- э ет прн удалении на расстояния порядка а (рис. 1.1). Величину с(,порядка а называют диаметром атома, хотя масса его сосредоточена в ядре значительно меньшего диаметра. Моделью атома является точеч- Рис. !.! ная масса, заключенная в упругую почти безынерционную обойму диаметра д, имитирующую электронное облако; свойства модели уточняются введением заряда, механического и магнитного моментов, которые определяют энергию н силы взаимодействия атомов между собой, а также с электромагнитным внешним полем. СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ ~г.

ц Движение системы большого числа взаимодействующих частиц во внешнем силовом поле может представлять движение и свойства тела в различных агрегатных состояниях. Моделью твердого тела при низких и нормальных температурах и давлениях является система почти плотно упакованных частиц, совершающих небольшие тепловые колебания около состояния равновесна, Моделью газа является система удаленных (на расстояния гл д) частиц, которые взаимодействуют только при «соудареннях», т.

е. сближениях па расстояния поряд.ка диаметра частиц д н, следовательно, совершающих хаотическое движение. Охлаждать систему— значит уменьшать кинетическую энергию ее относительного хаотического движения, нагревать — наоборот. Охлаждение н нагревание возможно как за счет внешнего силового поля, так путем торможения или возбуждения частиц у границы; очевидно, — также и за счет увеличения нли уменьшения объема, занпмаемогосистемой. При охлаждении системы — газа — в результате скользящего соударения двух частиц с некоторой малой энергией будут происходить «захваты», система станет жидкостью, а при дальнейшем охлаждении перейдет в твердое тело с колебаниями частиц около положения устойчивого равновесия. Приведенное качественное описание системы, моделирующей тело, не может быть дополнено количественным без специального подхода по двум причинам: 1) в 1 см' твердого тела находится система 10»» — 10»'- атомов, движение которой описывается в 6 раз большим числом дифференциальных уравнений 1-го порядка; 2) для каждого атома необходимо задать начальные условия.

Специальный подход к этой проблеме дают методы статистической механики, позволяющие ввести основные понятия — плотности, скорости, внутренней энергии, температуры, энтропии и количества тепла, необходимые в МСС. В механике сплошной среды тело представля>бт себе в виде некоторой субстанции, называемой материальным континуумом, непрерывно заполняющей объем геометрического пространства. Бесконечно малый объем тела также называется частицей. Феноменологически вводятся понятия плотности, перемещения и скорости, внутренней энергии, температуры, энтропии и потока тепла как непрерывно-дифференцируемых функций координат н времени. Вводятся еще:фундаментальные понятия МСС вЂ” внутренние напряжения и деформации и постулируется существование связи между ними и температурой, отражающей в конечном счете статистику движения и взанмодеиствия атомов.

В МСС используются основные уравнения динамики системы и статистической механики, в первую очередь — законы сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии. Обоснование этого и установление взаимосвязи вводимых феноменологических и статистических одинаковых понятий и величин целесообразно для более полного понима- Основи аналитической механики ния и возможно на основе статистической механики.