А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 5

Среди них наименее ограничительным является вывод закона сохранения массы, который и приводится ниже для простой системы. Некоторые основные термодинамические соотношения для равновесных систем будут даны в $3. Пусть дз — радиус-вектор я-той точки простой системы Бн и а~ „аз ь аз — его декартовы координаты г1з(~зз — з, Чзз — ц Чзз), 34 = ц (2.39) удовлетворяющие условию (2.3).

Обозначим г(х', хз, хз) — радиус вектор неподвижной точки пространства внутри объема )г. Вероятность нахождения определенной частицы с номером Й=1, например первой (1= 1), в единице объема с центром г, точнее — плотность вероятности нахождения частицы й=1 в точке г в момент 1 при условии, ч(о импульсы всех частиц и координаты всех остальных (кроме Й 1) частиц имеют какие угодно значения из области Г=Гр+Гч, пропорционалыза 6)Ч вЂ” 3 — кратному интегралу от )(1, р, д) по всем импульсам в пределах области Ге и по координатам в пределах области Гч всех частиц, кроме й=1, для которой д~=г зафиксировано.

Обозначим область интегрирования по всем координатам, кроме д~- — г, через Г, и область Гч + Г через Г'. Вероятность нахождения 1-й частицы в единице объема в точке а =г пропорциональна величине г' где да' — произведение всех даи кроме трех, соответствующих их индексу й= 1, т. е. кроме дам-зй)з~-лодзь у г1 О статистическом описании систем Запись такого типа становится проще прн использовании 6- функции Дирака. Если на отрезке (а, 6) дана функция !р(х) и внутри (а, Ь) дана точка $, то по свойствам 6-функции О, х~$1 6(х — $) = ' ~, ~'6(х — $)с(к=1, 1оо, к= 3 а имеем ь ) !р(х)6(х — $)йх==ср($), а -4(Ь, а Если введем обозначение . 6(Ч! — г) 6(!)ьт — а — х') 6(дн ! — х') 6(дм — ха), (2.41) то рт(г, 1) можем записать в виде интеграла по всей области Г=г„+Г, Р(г, 1) = 1(р, ), 1) бй! — г) ФрФ, т= ~' (6(дь — г)) =- (~) 6(д — г)), ь=! ь=! (2,42г т.

е. математическое ожидание всех точек системы в единице объ- ема; причем инте!рал от т(г, 1) по всему объему )Г, занимаемому системой Зк, равен числу )ч' частиц системы ~ т(г, 1) с(г = ~' ~ (6 (!)ь — г)) с(г = Л', ь=! и с(г ы с(1т = с(х! с(хе с(хм. Макроскопической плоткостью, естественно, называется величина р(1, г) = (~~ гпьб(д» вЂ” г)). А=! В случае одинаковых масс всех частиц р=гпт. (2.43) так как 6-функция при этом автоматически превращает область Г,„ в Г'. Следовательно, согласно обозначению (2.34), )! (г, с) = (6(!)! — г)). Средним числом частиц системы 5к, находящихся в момент. 1 в единице объема Р в точке г пространства наблюдателя, назы.

вается величина ч(б г), определяемая равенством СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ [Гл. !. 54акроскопическая скорость соответственно определяется через импульсы равенством 17(Г 1) — — — (,"р',РМ вЂ” Г)). Р А=! Уравнение Лиувилля (2.36) запишем в виде л ~ кл — -)- ~ ~ — (о!~) + — (Р, ~) ~ = О, д д! ~ дч! др, !=! (2.44) (2.45) где о! =Р!/т; и Г!= — дН|дч! (Р; не зависит от р). Умножим (2.45) на ткб(Г1! — Г), й.=!, 2, ..., Ф, и просуммируем по й от 1 до Ф; ре- зультат интегрируем по области Г, т. е.

вычисляем равную нулю сумму ~' ть ( ) (р, !), 1) 5 (д — Г) Ыр !(!г = О. А ! Г (2.46) Очевидно, на основании определения (2.43) ~~ть ~ — 6(!1ь — Г)!(р а!4 = — (~!~~ т„,б(!)ь — г)~ = —. — г ь=! Поскольку для любых ! и й согласно (2.38) 6 (!)А — Г) — (РД) г1р = Ь (г1, — ! ) ! — (Р,)) г(р = О, др, .! др!. 1 6(!)А — ) — (о!!') !!!1 дч! г для (!ФЗк — 2, Зй — 1, Зй) функция ЬД» — Г) выйдет из-под интеграла по !)!, интеграл возьмется и будет равен нулю, так как координата д! выйдет,на границу области Г,; следовательно, останется сумма, которая на основании определения Р и )Г(Г, 1) (2.43), (2.44) будет равна (при ! =Зй — 2, Зй — 1, Зк) ! г г так как импульс р! принимает значение на границе области Гр, то соответствующая сумма в (2 46) исчезнет; что касается слагаемых, содержащих 'вторые члены суммы в (2.45), они будут содержать выражения типа 0 статистическом описании систем '~" б Й.

—, » — '(рййрй4 = ~ — '(рУ7), дч! дкт и ! !=1 где хт, Рч — компоненты т, )т, Таким образом, из (2.46) получается закон сохранения массы (2.47) у=! который из других соображений получается в МСС. Умножав (2.45) на Рпб(!7п — т), пРоизводЯ сУммиРоваиие по й и составляя аналог уравнения (2.45), можно получить векторное уравнение сохранения импульса. Если (Р является потенциалол! парного взаимодействия, т. е. сила взаимодействия двух любых частиц простой системы центральна и зависит только от расстояния между ними, то уравнение импульса довольно сложным путем приводится к виду з д'! ч-ч до;у р — — -~ .

+рг!' (!==1, 2, 3), Ш дтт (2. 48) й 3. ТЕРМОДИНАМИКА ЗАМКНУТЫХ РАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ Система Ян равновесна, если 1) она консервативна, т. е, потенциал (/(!7, сс) всех внешних и внутренних сил явно ие зависит от времени 2) среднее переносное (поступательное и вращательное) движение ее отсутствует (граница объема тт неподвижна, среднее количество движения и момент количества движения Зн равйы нулю); 3) функция распределения 7(р, !7, р) явно не зависит от времени. При этих условиях функция Гамильтона где оо — — стн — некоторый симметричный тензор внутреннин напряжений, г'; — вектор массовой силы внешнего поля. Напряжения Б очень сложно выражаются через (7', ! и р и не будут использоваться нами.

Но уравнение (2.48) лежит в основе МСС и выводится в ней сравнительно просто для произвольной среды. Определения, аналогичные (2.43), (2.44), можно ввести для энергии и энтропии, после чего получить для них из (2.45) некоторые уравнения сохранения. Эти термодинамические соотношения получим в й 3 для равновесных систем. СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ !Гп. 1, Н(р 0 р)=К(р Ч)+и(Ч,р)=Е, л К = — '~ ! й1,(г)) р,р;, п > ЗН (3. 1) Ь1=! Н (р, О) ~ (Н) — ) Н ( р, 11, р) т ( Н, О) Йр Й~ — К + (7, г К(р, О) = <К) = ~ К(р, цу (Н, О) йрй4, г ~(~~, 0) (Н) ~ Н(О, р) ~(Н, О) йрйЧ, Г (3.4) является энергией системы, причем она постоянна для каждой системы 5А1' ансамбля (может быть различна для различных 1х).

Следовательно, функции ) (р, 4, р) = У(Н, О), (3.2) где Π— некоторый набор параметров, является решением уравнения Лиувилля. Именйо эта функция лежит в основе термодинамики замкнутых равновесных систем. Условие нормировки функции 1' (2.19) переписывается в виде ~ )(Н(р, д, р), 0)йрй = 1, (3.3) г причем существенно, что на границе области Г функция 1 обращается в нуль.

Возникает вопрос, реализуются ли указанные выше условия равновесности 5к в физических средах, так как опи движутся, вообще говоря, неравномерно во времени и неоднородно в пространстве. Но если рассмотреть макроскопически очень малый движущийся объем, включающий, однако, большое число одних и тех же частиц, н проследить за такой системой в течение макроскопически очень малого, но превосходящего тз времени, то в соответствующей подвижной системе координат система будет приближенно удовлетворять условию 2, так как силы инерции переносного движения будут (обычно) очень малыми сравнительно с силами взаимодействия частиц, в частности, за счет малости занимаемого такой системой объема. По свойству физических тел условие ! не является ограничительным. Что же касается условия 3, оно выделяет обычно класс так называемых обратимых процессов, которые возможны во многих физических средах.

Внутренней энергией Й физического тела, представляемого ансамблем системы 5н, называется среднее по ансамблю значение энергии Н: 3( Термодинамика замкнутых равновесных систем 6Н = ~ ~— бр, = ~)~ ~— бр„ д(сс дрс Г 6И = ~~~( — бр, + ~т — 60з, 3 (3,6) Эти выражения верны независимо от того, возрастают или убывают параметры р, О во времени; при заданных числовых значениях р, (), р, О, бр, 60 вариации 6Н, 6), 6Н, ... суть постоянные числа, так как коэффициенты при вариациях в правых частях равенства явно от времени не зависят. Такие свойства связей между вариациями различных определяющих систему функций типячны для обратимых процессов, По аналогии с определением сил, действующих на частицы системы 5н через производные от потенциала (т' по координатам точек, в выражении 6Н производные дО дйт — = — =Р, д(сс д(ст (3.6) где К вЂ” кинетическая (тепловая) составляющая, 0 — потенциальная.

Энергия Н(р, (), (() каждой системы 5н ансамбля, имеющая (а1 для нее постоянное значение Н=Е' ', зависит от внешних параметров р(р„рз, ..., ((„, ...), определяющих внешнее силовое поле и границу объема )), занятого системой. Среди р„находятся сам объем (Т, геометрические параметры, определяющие форму границы объема )т, координаты внешних тел, действующих на систему 5н, и т. п. Они, конечно, одинаковы для всех систем 5н ансамб(а1 ля. Поэтому параметры ((„можно назвать внешними. Параметры 0(Оь Ом ..., Оз, ...) возникают как произвольные константы интегрирования уравнения Лиувнлля: при любых, одинаковых для всех систем ансамбля, значениях Оз функция ДИ, О) является решением этого уравнения.

Эти параметры можно назвать внутренними микроскопическими параметрами. Равновесньсм процессом изменения состояния тела называется непрерывная последовательность равновесных его состояний, получаемая непрерывным изменением макроскопических внешних и внутренних параметров р, О; при этом, конечно, сам вид функций Н(р, с), р), )(Н, 0), Н((с, О), ... не изменяется, т. е.

пх изменения за счет приращении р„, Ое выражаются полными дифференциа- лами 32 систсмл члстиц и континетм можно определить как истинные внешние силы, действующие на систему Юн со стороны внешних тел. Заметим, что так как и„— «координата» внешнего тела, то сила ви — — = '( — Р,) дн« действует на внешние тела со стороны системы. Поскольку Н=Е' ' различны для разных систем ансамбля, то различны,и силы Р,. Средней внешней силой Р„, соответствующей параметру и, и действующей на тело, называется среднее по ансамблю значение Р„: (3.7) 6'А = )'Р,бр, = (6Н) =~6Н~йрйр.

(3.8) Отметим два важных соотношения, используемых в дальнейшем. Вариируя по параметрам м, О нормированное соотношение (3.3), необходимо учитывать, что граница области интегрирования Г зависит от некоторых нз параметров и„; но, как уже отмечалось значение функции 1 на этой границе при любом значении и„равно нулю. Следовательно, знак вариации по и и 0 в (3,3) можно внести под интеграл, следовательно, 6|йрйд =- О. (3.9) По такой же причине для любой функции Р(р, е, и, О) среднее ее значение по ансамблю У =- (~> =- ( К»р, д, р, О) ):(Н, О) йр йв (3АО) г вариируется так, как будто граница области Г не зависит от р, 0: 6К = 6 ~ Я ~ йр йв = ( 6 (У)') йр ф.

г г (3.11) Теперь получим первый основной закон термодинамики. Варипруя выражение внутренней энергии Й (ЗА) по параметрам и, О и учитывая свойство (3.11), находим Работа 6'А, сообщаемая телу при изменении внешних параметров, определяется суммой Р„бр, по г и равна, очевидно, среднему по ансамблю значению вариации функции Гамильтона (6Н): Тере!одинах!ика эамкнутах равновесие!к систем бй=~6(НР (р (О =~6Н~ (рЬ|+~Н6| (р (д, или, на основании (3,8), 6Н= 6 А+ ) Нб~с(рс(Ошб А+6Щ г (3.12) где обозначено 64 = ~ Н61 ( а). 1 (3.13) Если энергия всех систем ансамбля одинакова, т. е. Н = Е<а! = = Е = сопз1, то согласно (3.9) 64= Е ( 6)".с(р!1д= О. !' — '64= М.