А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 3

3) Например, для простой системы 5Н координаты д~ являются декартовыми ортогональпыми; обозначая ЧАйзь-з, Чзь-ь Чзь) радиус вектор лл-той частицы, условия задания Гч получим в виде Р(ДзА — л Т)зА — и л)м) ев Р(Т)А)( О (й = 1, 2,..., лч). (2.3') Границу области Гч считаем недостижимой для точек системы 5х. Для импульсов д„поставим некоторые условия их ограниченности по модулю, т. е. область Г„нх изменения такова, что ! р,- ! ( оо (1 =- 1, 2, ..., и = Злл1). (2А) Условия (2.3), (2.4) уточняются в частных задачах. Обе области изменения координат и импульсов вместе будем обозначать г=г,+Ге (2.6) Заменим стенки ящика неподвижными точками М, густо и равномерно расположенными на его гранях, наделив их близко- действующими силами отталкивания частиц системы 5н.

Как только частица (ди р;) системы 5И приближается к грани, ближайшие точки М на ней с координатами, мало'отличающимися от до отталкивают частицу с силой, зависящей от ее природы (номера 1). Множество точек М, а значит и условия (2.3) эквивалентны некоторому, консервативному внешнему потенциалу (лл граней. ' Точки М можно либо включить в систему 5Н (от этого не изменится число степеней свободы, т. е. перейенных координат йи и импульсов р;), либо отнести к числу внешних тел.

Мы включим их в систему и сумму потенциала У' взаимодействия между точками 5лт и потенциала взаимодействия 5лт со стенками ящика (7„'р,„будем считать внутренним потенциалом системы 5АК и и (р) + и"р " (ч' рт)' (2.6) Здесь р, — параметры, характеризующие объем )т, координаты точек М и потенциал сил отталкивания точек 5А от стенок. Полный потенциал системы (2.1) теперь записывается в виде (7(), р) =()л.(7, и )+7-"(р, р ), (2.7) и все ограничения на координаты д, частиц 5Н определяются самим потенциалом (2.7).

17 О статистическом описании систем Если система Бн консервативна, функция Гамильтона (1.18) (2.8) ед=! (для частиц простой структуры йо=бо!тп; представлет полную энерги1о Е системы 5к, и она постоянна О(Р, д) = Е' = сопз1. (2.9) Движение системы 5.ч можно найти с помощюо уравнений Гамильтона (1.20) дяе дН ит др; (2.10) Рч= — — — — — (1:=1,2, ...,п=ЗйГ), дре дН дГ дяе но для этого необходимо задать начальные условия т =ге Ж=Чр Рч Р~~ (2.11) Постоянная Е' интеграла энергии (2.9) на основании начальных условий (2.1! ) вполне определенна: Е" =- Ко —,' (и'(ао, )с).

(2.12) Но фактически задать определенные «правильные» начальные условия (2.11) для реального тела невозможно. Переходя к определению макроскопическитс свойств среды, необходимо установить, при каких физических условиях Ф она рассматривается.

Допустим, что мы с некоторой степенью достоверности задали потенциалы У' и с/', заключили систему Ян физического тела в неподвижный обьем !'о, т. е. окружили ее другими телами, которые почти точно оставляют Ьм замкнутой, т. е. отражают точки системы 5; в объем Ро. Газ, например, можно заключить в баллон и тогда, пренебрегая химическими поверхностными явлениями, условия )ч).=сопз1, )т=сопз1 будут выполнены. Можно предположить еще, что взаимодействие каждой частицы Ян со стенкой эквивалентно абсолютно упругому удару; для этого необходимо баллон сделать из очень плотного тяжелого' металла с очень гладкой внутренней поверхностью и с некоторой точностью задать н поддерживать постоянной его течпературу, обеспечив теплопроводность стенок баллона (рваче наш «газ» может оказаться жидким или твердым телом); этим н будет исчерпан вариант условий Ф для газа, причем в этом варианте, как н во всяком другом, многое приближенно и достаточна неопределенно.

Но 18 1г. н СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ именно такова особенность максимально точного задания физических условий Ф и только они заменяют «правильные» начальные условия (2.1!) н условия взаимодействия 5н со стенкой. Предположим, что некоторые физические условия Ф=соп51 для системы 5н заданы (например, кроме е1, задан объем у' и температура или энергия Е«или что-то другое) и мы хотим выяснять, какими свойствами обладают «инчальные условия» (2,11). Консервативная система 5н при условиях Ф=сопз( называется равновесной или она находится в равновесном состоянии, если на интервале времени 1»(т(1«+т, где «» — любой момент (начало отсчета Г), среднее значение по времени для любой заданной функции координат д; и импульсов р; (1= 1, 2,..., п) гг (р ч) — гт (р ° - ° р ' ч ° ° ° ч,) т.

е. величина (2.13) (2.14) не зависит от 1, и т при условии, что Т )~ Тч = СОП51 (2.15) Наименьшее значение длины интервала времени, при котором т остается постоянным, т. е. т, называется характеристическим временем системы 5н при условиях Ф. Само среднее значением называется макроскопическим или наблюдаемым значением функции сг(Р ч) Причина трактовки 5г как наблюдаемой в опыте следующая. Если начиная с любого момента Г» мы стали бы в опыте измерять д, р через минимальные доступные отрезки времени Лт, то накопили бы за время т очень большое число измерений (у«, р"), т.

е. нашли бы множество состояний системы 5«~(а = 1, 2,..., ™ ))1), Ьт и так как внешние условия Ф и потенциалы 11', У' от времени ие зависят, то дальнейшие измерения за пределами интервала стали бы давать результаты, почти повторяющие те, которые найдены на достаточно большом отрезке времени т,. Например, в случае «макроскопически неподвижного» монокристалла при нормальных условиях (давлении, температуре) некоторый меченый атом будет колебаться около положения равновесия, проходя все возможные значении координат и скоростей за время порядка 10-м 10-'5 сек, н, значит, т, будет такого же порядка илн несколько большего.

В случае газов (Не, Аг, Н») при нормальных температуре и давлении каждая молекула будет иметь около 5 1О» столкновений в секунду, т. е. т, будет порядка 10-» сек. 19 0 статистическом описании систем Поскольку характеристическое время т, очень мало сравни- тельно с очень малым макроскопическим временем, которое для кристаллов и газов, например, порядка 10-' - 10-с аек, то все най- денные выше в опыте состояния системы он ((а = 1, 2, ..., — )) ' '"'' д, )> 1) можно считать допустимыми начальными условиями (2.11) для системы Ян.

Получается, что как будто вместо одной системы Вн при (=(ь мы имеем ансамбль (набор) систем В~й((а = 1, т, 2, ..., — )) 1), отличающихся начальными условиями, соответстЛт вующими внешним условиям Ф. Теоретически мы можем считать отрезки времени Лт, через которые находятся системы Бн, квк угодно малымн и, следова(сс) т, тельно число систем ансамбля А = — — как угодно большим фик, Ьт сированным числом.

При соответствующей перенумерации наблю- даемых состояний Вн по индексу с( два соседних состояния си(сс( стемы Ян, т, е, две соседние системы ансамбля Зни"~ и 3~ можно считать как угодно близкими по значениям координат и импульсов. Обозначая (Чь Ч; ), (рь р,') произвольные Фиксирован- ные значения координат и импульсов, предполагая конечные раз- ности "Р =Р; Р йЧ(=Ч( Ч( (2.16) сколь угодно малымн, фазовым объемом в точке (р, Ч) назовем величину йрйЧ = йРФР» . йрсйЧ(йЧ» йЧ' (2.1 7) Число А систем ансамбля предполагается столь большим, что в фазовом объеме йрйЧ в момент г заключено также большое число систем.

Системы Зн при различных а неравновероятны, например, (а> атом в кристалле чаще всего можно наблюдать около положения равновесия, молекулу газа почти невозможно наблюдать в момент столкновения с другой молекулой и т. д. Обозначим через А, плотность числа систем ансамбля о(й((а = =1, 2, ..., А) в состоянии с координатами (р„р„...

р„; Ч,,..., Чн)ав =(р, Ч), так что А (Р, Ч)йр Ч представляют число систем, импульсы и координаты которых нахо- дятся в объеме йрйЧ, включающем точку (р, Ч). >г . >, СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ Плотностью вероятности нахождения системы 5н в состоянии с данными значениями (Рь Рм-, р, д>,-., »„), т. е. в точке (р, »), назовем предел отношения (2.18) Условие того, что система 5и не выходит за границу области Г=Г„+Г (2.3), (2.4) изменения всех координат и импульсов, иначе говоря, означает, что вероятность нахождения системы 5И во всей области Г равна единице Как уже отмечалось, начало отсчета времени Те в равновесной системе 5> при фиксированных физических условиях Ф=сопз1 не влияет на набор наблюдаемых систем ансамбля 5и, так как [а! средние по времени значения У любой функции т (Р, >т) не зависят от (а Это значит, что если вместо (е взять момент Т>— - Те+Л, где е>Т>т„то (2.20) Равновесную систему 5ту при фиксированных физических условиях Ф=сопз( можно определить еще и как такую, для которой ансамбль систем одинаков в различные моменты времени, т.

е, плотность систем А~(р, д) явно ие зависит от времени и фиксированная система ансамбля 5 а>прп любом т существует в ансамбле с неизменной вероятностью. Пусть в момент ( имеем Р<а>(Т) =Р, д>а>(() =д с вероятностью 1(р, >т) и пусть в >момент Т+Ж имеем Р' > ((+>Й) =Р+ЛР, д>а> (1+>Н) =д+Лд, причем в силу закона движения т>Р = Р»г = — Й, б>) '= 4">й= — >(1. (2.21) '(а! дН .

дН дч др Поскольку для 5>Й> в момент Т+>ТТ вероятность )=)(р+Ьр, »+Л») сохранятся, то >(Р+Ьр, >>+Ля) =)(р, »). 21 О статистичесноти описании систел Следовательно, Это уравнение для плотности вероятности нахождения системы Як в состоянии (р, с)) получено Лиувиллем и носит его имя. Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно 1(р, д) зависящее от 2л)6Ж переменных (рь де), прячем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н(р, с)).

Характеристики этого уравнения определяются системой 2л обеикновенпых диффереипнальных уравнений первого порядка дрт "Рт = ... = с(с, (2.24) дч! дч дН дИ дрт дре дН дат которые совпадают с уравнениями Гамильтона (2.10). Эти уравнения имеют решение, зависящее от 67чс произвольных постоянных: ре=ре(~;С,,Се Сеи) ('=1 2 . ") (2.25) де= ),.(г; С,,с„...,се„). Разрешая (2.25) относительно С», получим С = 1е(р„ 'р„ ..., р;, д,, о„ ..., д„; ~) (й = 1, 2, ...,2л).