А.А. Ильюшин - Механика сплошной среды, страница 9

Второй закон — баланаа энтропии з(х, 1) в гЧСС обычно записывается по аналогичным соображениям в виде рт — '=~+ В", (Р >0, гг» . сп Освоение понятна МСС с 4! в котором с!чс(5=-дд5 — поток вектора д через площадку с)5 поверхности Яе в единицу времени. Иногда учитывают, что приток тепла (с в единицу объема частицы может возникать не только через ее поверхность, ио и прямо в объем (проникаюгций приток), чего для простоты не рассматриваем. Из (4.3!) формально сле- дует (4.32) Вектор с! реализует теплообаен между соседними частицами и зависит от их состояния (обычно — температуры), но не от скорости движения частиц, Выпишем теперь сводку всех диутсреренциальиых соотношений между введенньытн пятью скалярными величинами р, Т, и, з, )р', ДВУМЯ ВЕКтОРПЫМИ и, д Н ДВУМЯ тЕНЗОРНЫМИ Оыь и„. СОХРаНЕНИЕ массы (4.!2): др д! + йч(р и) = О, сохранение импульса (4.21), (4.24)': р до = рР+б!ч(а!!), и! (ии) =- бе!(о), сохранение знергии (4.29), (4.32), (4.27): (Ш) а ди %ч р — = з вмоп — ~т!!ч!1, пт=! баланс знтропии (4.30), (4.32): дв рТ вЂ” = — б!ч с! + )Р .

д! ! Здесь внедено ойозначенее з дон - у дскб! дхг л ! дяч е!. —— д!ч (оы) =- ! и=! е; — еднннчний вектор но осн хс, выражение тензора скоростей деформаций через вектор скорости о (4.28): гг.. г!. кинемхтикА и ВыутРеннив нлпеяжения Почти всегда вектор!( связывают с полем температур законом Фурье д =-- — А ига Т, (Н1) й 5. ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Пусть е; (1=1, 2, 3) представляет ортогональный нормированный репер наблюдателя: ! е; ( = 1, е! е; =- б„=- неподвижный трехмерный (базис) в пространстве (5. !) где А — известная матрица- коэффициентов теплопроводпости.

Система (()--(1() незамкнутая, так как содержит трн скалярных (1), (1Н), (Н), два векторных (П), (Н1) и одно тензорное ([П) дифференциалы>ых уравнений 1-го порядка по (, х, иначе— 15 скалярных уравнений относительно 23 функций, т. е. не хватает 8 уравнений, что естественно, так как среда не конкретизирована, Для некоторых сред и процессов число введенных скалярных величин (23) умепьп!астся; в жидкостях часто тепзор о>; сводится к одному давлению р(х, (), для равновесных процессовприиимается йга=О, иногда поле температуры Т(х, () считается известным и т.

д. Постулируется, что существу>от для каждой среды некоторые паРпмегРы состояния Рм 1г>,..., Р.„, ЯвлЯющиесЯ фУнкциЯми х, (! р;(х, (), по свойству которых система (!) — (Н1) замыкается, т. е. они вместе с введенными выше функциями связаны достаточным числом соотношений. В МСС обычно считается, что внешним параметром час>ппы является тензор деформации е;; (или, что тоже, скорости деформации о;,), внутренним — температура Т (аналог р, Т в $ 3) и потол>у для конкретной среды все параметры р>, однозначно определяются функциями о„(х, () и Т(х, (), т.

е. зависят от всех их значений па интервале ( — (м Это утверждение называется постулатом макроскопичсской определимосги, Как будет показано, этот постулат также замыкает систему (1) — (Н1) некоторой доопределя!ошей системой функциональных уравнений. Утверждается принципиальная возможность иэ макроскопическнх опытов непосредственно найти эти функционалы для каждой конкретной сплошной среды. 55 Лагранзеево и эйлерово представление днижения Сплошная среда движется и деформируется с течением времени 1, занимая область объема Уе в начальный момент времени !=1е и )г — в момент б Пусть ~ х --= х' е, + х' е, ~; хз е ю х| е| (5.2) обозначает радиус-вектор (х| — ортогональные декартовы координаты) какой-нибудь физической точки М в момент >=го и х =- х' е, + х- ее —,'- х' е, ю х' е| (5.3) х =- х (х, г), (5.4) т.

е. три скалярных соотношения: х' =- х'(х', х'-', х', '!), хе -= х'(х', х-', х', г), х' =- (5.4') Соотношение (5.4) называется законом движения точки х. Функции х|(х', х', х", г) счита|отса непрерывными и днфференцнруемыми достаточное число раз по х и Г и соответствие между векторами х п х для каждого г' считается нвзаизгно однозначным, т. е.

якобнан системы (5.4') отличен от нуля: д» Следовательно, (5.4) разрешимы относительно х: х' = х'(х', х', хз, 1), х =- х (х, !), х- .=- х'(х', х', х', !), (5.5) хз хз ( т| хз,з Г) з з з Сулима вида ~~ а; Ь>, ~т Л! В,',, обозначаются кратко; а| Ь>, !=| |.| =| А> и| А| и> ..., т. е. одночлены, имеющие повторяющиеси индексы, означа|от суммы по ним от 1 до 3. В противном случае отсутствие суммирования прч повторяющихсч индексах будет оговорено; |шогда для этой цсли используют в качестве индексов буквы греческого алфаннзз либо обозначение вида ( |'= 1,2,3 >.

— радиус-всктор (х' — ортогопальмые декартовы координаты) той жс физической точки М в момент времени !. Движение сплошной среды считается известным, если для любого ! известна связь между х и х, т. с. извес|оп вектор-функция ки10емлтикл и ВИИТРГ11ние иАпРяжеиия гг .11, дх ! дх 1-«. О,. °, о*( — =О ° ~ — ~-О, дх дх ческими . Перемещение и, скорость о и ускорение 10 точки М в момент 1 будут равны — — — дх — до х и=х — х, о= — а1= д1 ' дп (5.6) причем и, о и 10 согласно (5.4) являются функциями х и 1, и и (»' 1!' д1 0 (»' 1~' д1 =- Ф (х, 1) дн (5.7) до до до — 1 дх до, — до д! д! дх (5.9) д! д! дх или подробнее — — дй .

до дй , дй до о до 10 (х, О = — + 01 —. = — -'- 01 — + 02 + оо —. д1 дхо д! дх1 дх' дхо (5.9') Поскольку начальные координаты х, хо (1'=1, 2, 3) физическои точки М, зафиксированы, т. е. это определенные числа, опи и остаются для этой физической точки 1постоянныеян 1прн любом 1. Все другие скаляряые (плотиость, температура, энергия и ч.

д.), векторные (ноток тепла и т. д.) и тензорные (тензор напряжений и др.) 'вслпчниы, характеризующие состояние тела в окрестности точки М (иногда говорят — состояние частицы М), на основании (54) и (5.5) могут быть выражены либо в виде функций х и 1, либо х и б Этому соответствуют два основных метода изучения движения сплошной среды: метод Лагранжа и метод Эйлера. Метод Лагранжа. Координаты х', хх, хз (вектор х) называются лагранжевымн координатамн точек тела. Это, вообще говоря, криволинейные координаты, хотя прн 1=1о они выбраны нами как де- Однако, пользуясь обратными соотношениями (5.5), и, 0 и в можно выразить как функции х и 1, например о =- о (х(х, г), 1! .=- о (х, 1). (5.8) Произведя дифференцирование'последнего выражения о(х, 1) как сложной функции, найдем 57 Лигриниеево и эйлерово иреоогипление дпилгенил в о] картовы.

Действительно, семейство физических плоскостей х'=сопз1 при Г го, как видно из (5.4) и ясно из физических соображений, преобразуется в некоторое семейство поверхностей. Метод Лагранжа основывается на использовании лагранжевых координат и состоит в изучении движения частиц сплошной среды и всех необходимых параметров в виде функций х и г'. Вместо радиуса-вектора х при этом часто используется вектор перемещения частицы и(х, Г). Скорость и ускорение частицы выражаются по формулам (5.7). Если какая-нибудь скалярная нли векторная функция г определена для физической частицы, т.

е. известна как функция лагранжевых координат х и времени г', У=У(х, (), то скорость ее изменения во времени для этой частицы определяется как дсг(х, 1) дг Разность же этой величины у двух соседних частиц (частицы х+г(х и частицы х) в момент ( равна дгг(х, г) ( — дУ ( г о(х ==, г(х'. дх' Ввиду того что в момент г лагранжевы координаты являются криволинейными иеортогональными и следящими во времени за физическими частицами, они приводят к довольно сложным выражениям и уравнениям для тепзоров напряжений и деформаций, но вместе с тем дают исчерпывающую информацию о поведении связанных с фиксированными частицами параметров. Но в теории напряжений и малых деформаций среды метод Лагранжа приводит к весьма простым и наглядным результатам.

Метод Эйлера. Рассмотрим движение среды в любой момент времени Г относительно фиксированной декартовой ортогональной системы координат и обозначим теперь х — радиус-вектор фиксированной точки этого пространства. В различные моменты времени в точке х будут находиться различпыс физические частицы среды, вещество будет «протекать» в этом пространстве. Вместо того чтобы по методу Лагранжа следить за параметрами движения фиксированной физической частицы, будем следить за тем, с какими параметрами различные физические частицы в разные моменты времени проходят через точку х пространства.

Таким образом, мы можем построить поле интересующих иас параметров в неподвижном пространстве х. Это пространство с построенным в пем полем параметров движения, в первую очередь — с полем вектора скорости гг физических частиц, называется эйлеровым. Каждая физи. кинемАтикА и ВнутРенние нАпРяжения !г» ы, ческая частица х=сопз! со временем «прочерчивает» в нем свою траекторию, причем уравнение этой траектории будет иметь вид (5.4).